Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений, страница 2

Однако, кроме естественных предположений о том, чтовыбор модели должен осуществляться с учетом масштаба течений, детального сопоставления свойств моделей до сих пор не проводилось. Вторым распространенным приближением гидродинамики неоднородных сред является приближение Буссинеска. Величина эффектов плавучести характеризуется характерным размером (масштабом стратификации Λ = d ln ρ / dz−1), собственным временем − периодом ( Tb = 2π / N ) и часто7той ( N = g / Λ ) плавучести.

При переходе к исходной системе уравнений движениянесжимаемой жидкости первое из приведенных выше уравнений должно быть переписано в виде1∂u+ ( u∇ ) u = −∇P + ν∆u + g − 2Ω × u∂tρ(S )Естественным средством анализа общих свойств физических моделей являютсянепрерывные группы. В сферически симметричном поле силы тяжести g = − ge r с осьювращения Oz группа симметрии порождается генераторами, отражающими такие фундаментальные свойства физических систем как однородность времени X1 = ∂ t (временныесдвиги);взаимосвязьмеждудавлениемиконцентрациейпримесиX 2 = ∂ S − gr ∂ P , свободу выбора давления с точностью до произвольной функции времени X π = π ( t ) ∂ P .

Эти свойства являются общими для всех вышеприведенных моделей.Кроме того, не зависимо от использования приближения Буссинеска, глобальныемодели геофизики обладают симметрией поворотов относительно вертикальной осиX 3 = ∂ ϕ (повороты вокруг оси Oz );В остальном свойства сферической и плоской моделей существенно различаются.В силу центральной симметрии поля тяготения глобальные модели в приближенииБуссинеска обладают в неинерциальной системе координат изотропией пространстваотносительно осей Ox% и Oy% , вращающихся вместе с Землей с угловой скоростью Ω .Генератор группы поворотов относительно оси Oy% имеет вид1⎞% ϑ + 2 ctg ϑ sin ϕ∂% ϕ + 2sin ϕ% ⎛⎜ r Ω +X 4 = −2 cos ϕ∂w ⎟ ∂u +sin ϑ ⎠⎝1⎛⎞2% Pu sin ϕ% ⎟ ∂ w + ( r Ω ) sin 2ϑ cos ϕ∂+2 ⎜ r Ω cos ϑ cos ϕ% −sin ϑ⎝⎠здесь ϕ% = ϕ + Ωt , r sin ϑ sin ϕ% = y% = inv , r sin ϑ cos ϕ% = x% = inv .Модели плоской Земли в силу действия двух однородных полей сил Кориолиса итяжести в разных направлениях не допускают свойств изотропии пространства вообще.Однако, с другой стороны использование постоянного по направлению поля силытяжести увеличивает число симметрий локальных моделей за счет другого основногофизического принципа − принципа относительности Галилея, расширенного за счетвсех поступательно движущихся систем координат.8&& ( t ) x + 2χ& ( t ) Ωy ) ∂ P ;X χ = χ ( t ) ∂ x + χ& ( t ) ∂u − ( χ&& ( t ) y − 2η& ( t ) Ωx ) ∂ P ;X η = η ( t ) ∂ y + η& ( t ) ∂ v − ( ηX ζ = ζ ( t ) ∂ z + ζ& ( t ) ∂ w − &&ζ ( t ) z∂ P .где χ ( t ) , η ( t ) и ζ ( t ) − произвольные функции времени, физическое содержание которых − закон движения системы координат относительно исходной в направлениях x ,y и z соответственно.В моделях со сферически симметричным полем силы тяжести существование выделенной точка пространства − центра симметрии − приводит к полному отсутствиюсимметрий связанных с однородностью пространства.

Дополнительной симметрией вэтом случае является модифицированная за счет эффектов вращения симметрия автомодельных преобразований с генератором()X 5 = 2t ∂t + r∂ r − 2Ωt ∂ ϕ − v∂ v − u∂u − ( 2Ωr sin ϑ + w) ∂ w − 3S ∂ S − 2 P + r 2Ω 2 sin 2 ϑ ∂ PНаличие симметрий автомодельных преобразований характерно для многих гидродинамических моделей и широко используется для построения точных решений. Вслучае плоской геометрии присутствие вращения (эффекты Кориолиса) делает невозможным наличие у модели любых симметрий растяжения.Особенности, вносимые приближением Буссинеска в геофизические модели, изучались на примере уравнений стратифицированной жидкости записанных в отсутствиисил Кориолиса для однородного поля сила тяжести.

Поскольку полный список симметрий уравнений стратифицированных течений был приведен в литературе ранее, далееанализируются только наиболее существенные изменения, вносимые приближениемБуссинеска.Отличительной чертой общих уравнений несжимаемой стратифицированнойжидкости, является точное следование принципу относительности Галилея без возможности его расширительного толкования. В этом случае генераторы групп преобразований совпадают с генераторами уравнений газовой динамики и имеют видX 6K8 = t ∂ xi + ∂ui (Принцип относительности Галилея);Анализ показывает, что расширительное толкование принципа относительностиГалилея для уравнений записанных в приближении Буссинеска происходит из-за пренебрежения зависимостью плотности от солености в члене, содержащем давление, и,9таким образом, из-за придания стратифицированной жидкости свойства баротропности,которое выполняется не для всех течений.Второй отличительной чертой приближения Буссинеска является нарушение равенства гравитационной и инерционной масс, следствием этого факта является появление анизотропии при переходе в свободно падающую систему координат в однородномполе силы тяжести.

Если исходная модель инвариантна относительно трех групп вращения в горизонтальной и вертикальных (с модификацией) плоскостяхX 9 = y∂ x − x∂ y + v∂ u − u∂ v (вращения в горизонтальной плоскости);⎛ gt 2⎞X10,11 = ⎜+ z ⎟ ∂ xi − xi ∂ z + ( gt + w ) ∂ vi − vi ∂ w⎜ 2⎟⎝⎠то исходные уравнения Буссинеска инвариантны только по отношению к поворотам вгоризонтальной плоскости.Таким образом сравнение общих свойств симметрии выявило значительное различие между свойствами глобальной и локальных моделей геофизических течений, когда поля сил тяжести и Кориолиса считаются однородными. Переход к сферическисимметричному полю силы тяжести вместе с эффектами вращения естественным образом приводят к потере свойства однородности пространства. Этой же причиной вызвана и потеря модельными уравнениями инвариантности по отношению к преобразованиям Галилея.

В тоже время изотропия пространства сохраняется не только по отношению к поворотам вокруг оси Oz , но также и относительно двух других осей системыкоординат, однако теперь координатная система должна вращаться вместе с Землей сугловой скоростью Ω .Сравнительный анализ групп симметрий уравнений несжимаемой стратифицированной жидкости с учетом эффектов вращения, стратификации, в приближении Буссинеска и при отказе от него показал, что нарушение принципа эквивалентности гравитационной и инерционной масс приводит к потере изотропии пространства в выделеннойпадающей с ускорением свободного падения системы координат (состояние невесомости отсутствует), остается только инвариантность по отношению к поворотам в горизонтальной плоскости.

Другим следствием замены члена ∇P ρ ( S ) на ∇ ( P ρ0 ) в приближении Буссинеска является фактическое придание жидкости свойств баротропности, в результате, как и в случае однородной несжимаемой жидкости, принцип относительности Галилея расширяется за счет всех поступательно движущихся относительно10друг друга систем координат.Второй параграф главы 2 посвящен анализу симметрий уравнений стратифицированного пограничного слоя и использованию групп растяжения для построения инвариантных решений. Уравнения стратифицированного пограничного слоя, записанныедля плоскости, наклоненной на угол α к горизонту, имеют вид∂u∂u∂u∂ 2u+u+v=v− g S sin α∂t∂x∂y∂ y2∂S∂S∂S∂2S+u+v=κ+ ( u sin α + v cos α ) Λ∂t∂x∂y∂ y2∂u ∂v+=0∂x ∂yГруппа симметрий уравнений пограничного слоя во многом совпадает с группойуравнений несжимаемой стратифицированной жидкости, однако в ней, как и в случаеоднородной жидкости, отсутствуют группы вращения.

Эта анизотропия заранее навязана неравноправием осей x и y, следующим из условий построения модели. Однако,если несжимаемость вместе с условием баротропности приводят к эквивалентностивсех систем координат, движущихся поступательно с произвольным ускорением, топренебрежение поперечной компонентой скорости в одном из уравнений движениярасширяет класс таких систем. В поперечном направлении эквивалентными оказываются также и системы координат движущиеся и с вращением, и с деформацией.X η = η ( t , x ) ∂ y + ( ηt + η x u ) ∂ v +cos αgη∂ S −sin 2α η dx ∂ PΛ2Λ∫Преобразование поперечной компоненты скорости при этом будет определятьсяконвективным переносом закона движения η ( t , x ) вдоль тангенциальной компонентыскорости. Непосредственные вычисления показывают, что таким же свойством обладают и уравнения пограничного слоя в однородной жидкости. Обычно указывается назависимость закона движения только от времени, и генератор X η приводится в видеX η = η ( t ) ∂ y + ηt ∂ v .В работе найдены все расширения допускаемой группы преобразований при частных значениях угла наклона α ( α = 0, π / 2 ).В качестве примеров использования групп симметрии рассмотрены краевые задачи двух типов.

Одна из них характерна для задач о распространении тепла вызваннаяразностью температур в нуле и на бесконечности, а другая типична для динамики стра11тифицированных течений, когда границы тел являются непроницаемыми для диффузионных потоков примеси, а на бесконечности возмущения, вызванные движущимся телом, затухают, и распределение солености становится близким к исходной стратификации.В случае горизонтального движения пластины происходит расширение группырастяженияX1 = x∂ x + u ∂ u , X 2 = y ∂ y − 2 u∂ u − v∂ v , X 3 = S ∂ S .что позволяет решать широкий класс задач.В задаче с краевыми условиями первого рода (задача об источнике)u = v = 0, S = S0 , y = 0u = U ∞ , S = S∞ , y → ∞для построения автомодельной замены переменных генератор группы растяжения должен выражаться через генераторы базиса какX = 2 ∗ X1 + 1 ∗ X 2 + 0 ∗ X 3 = 2 x ∂ x + y ∂ y − v ∂ v .z= y(1)U∞1 U∞, u =U∞ f ′ , v =( z f ′ − f ) , ψ = νxU ∞ f ( z ) , S = σ ( z )2 νxνxВ задаче об обтекании горизонтальной пластинки потоком линейно стратифицированной жидкости с диффузией граничные условия для солености становятся второгородаu = v = 0, S y = 0, y = 0yu = U∞ , S = − , y → ∞Λчто приводит к изменению линейной комбинации базисных генераторов группы растяжения, с помощью которой уравнения пограничного слоя могут быть сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и вместо формулы (1) имеемX = 2 ∗ X1 + 1 ∗ X 2 + 1∗ X 3 = 2 x ∂ x + y∂ y − v ∂ v + S ∂ S .z= y(2)U∞1 U∞1 νx, u =U∞ f ′ , v =σ ( z ) , ψ = νxU ∞ f ( z )(z f ′− f ), S =−Λ U∞νx2 νxПосле перехода к автомодельным переменным приведенные выше задачи описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, решение которых строятсяметодом сращиваемых асимптотических разложений.12Решения описывают расщепленный (на скоростной и плотностной) пограничныйслой, функции скорости и солености на некотором удалении от края пластины являются гладкими монотонными функциями независимых переменных задачи.Соленость SГоризонтальная компонента скорости uВ отсутствии диффузии в стационарном пределе соленость и функция тока связаны друг с другом соотношением S = F ( ψ ) .

Вид функциональной зависимости определяется из краевых условий, причем свобода выбора функции оказывается настолькобольшой, что в качестве решения можно построить такую функцию солености, котораяодновременно удовлетворяла бы и заданным условиям первого рода на пластине и бесконечности, и обеспечивала бы условие непротекания на пластине. А во второй задачевыполнение условия на бесконечности налагает связь σ = f , что одновременно обеспечивает и условие непротекания на пластине.Таким образом, построение решений приведенных выше краевых задач оказывается возможным благодаря широкой группе автомодельных преобразований допускаемых уравнениями пограничного слоя около горизонтальной пластины.