Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений, страница 4

В тоже время набольших расстояниях возмущения заметной амплитуды приходят спустя некотороевремя после старта, причем их величина примерно на порядок меньше чем в областималых расстояний. Максимум амплитуды колебаний наступает тем позже, чем дальшенаходится выбранная точка наблюдений. После достижения максимального значенияамплитуда колебаний медленно затухает со временем.Смена типа течения будет происходить при переходе к большим временам существенно превышающим диффузионные.

В этом пределе эффектами диффузии пренебрегать уже нельзя, и решение приближается к стационарному, пространственные характеристикикоторого1/ 42l = ⎡ 4νκ / ( N sin α ) ⎤⎥⎦⎣⎢определяютсякомбинационныммасштабомдлины.Представленные в работе разложения решения в виде временных рядов − асимптотических рядов видаu⎛ η= erfc ⎜U0⎝ 2 νt∞n∑∑m⎞⎛ η ⎞ 4n − m⎛ η ⎞erfc ⎜( −1)n ( 4 Nt sin α )2n Pnm ⎜⎟+⎟ i⎟⎠ n =1⎝ 2 νt ⎠⎝ 2 νt ⎠m =117здесь i n erfc ( z ) − кратный интеграл вероятности, Pnm − коэффициенты разложения.0,2U/U0Эволюция скорости течения неодно-1234560,1родной жидкости вблизи наклоннойплоскости.Кривые рассчитаны для α = 90o ,N = 0,99 c−1 . 1 − 6 − η = 0.05, 0.10,0,00.15, 0.5, 1.0, 1.5 см.-0,1040t, с 12080Эволюция скорости течения неодно-0,041234U/U0родной жидкости на больших расстояниях от плоскости согласнопредставлению в виде временных0,00рядов на расстоянии от пластиныη=0.5 см. Кривые рассчитаны дляα = 90o , N = 0,99 c−1 , при ограничении ряда суммой с n = 5, 10 и 20-0,04051015t, с20членами, кривая 4 соответствуетаналитическому решению, полученному для стратифицированнойсреды без диффузииТакое представление решения позволило регулярным образом описать течения насущественно нестационарной фазе их эволюции, что особенно важно для моделей учитывающих диффузию, когда аналитическое решение в явном виде найти не удается.Во втором параграфе главы 3 исследуется влияние периодического движенияграницы на структуру колебаний стратифицированной среды при исключительно вязком механизме вовлечения.

На примере движения плоской и цилиндрической границпроанализирована трансформация картины установившихся колебаний при последова-18тельном усложнении модели течения от вязкой однородной жидкости к вязкой стратифицированной и стратифицированной жидкости с диффузией.В результате перехода к модели стратифицированной жидкости в показатель затухания Стокса γ 0 = ω 2ν (здесь ω − частота колебаний границы) периодическоготечения однородной жидкости, эффекты плавучести вносят существенную поправкуω2 − N 2 sin 2 α 2νω , уменьшая его величину. Анализ зависимости показателяγN =затухания γ N от частоты колебаний границы показывает сходство в поведении теченийпри больших ( ω >> N sin α ) и малых ( ω << N sin α ) значениях частот, что существенноотличает их от течений однородной жидкости. Причем в первом случае эффекты стратификации малы и γ N ≈ γ 0 ~ ω , а во втором наличие отличной от нуля частоты плавучести в γ N (второго механизма колебаний) приводит к росту затухания характеристик течения с уменьшением частоты колебаний границы ( γ N ~ 1ω ).N = 0.99 рад/сЗависимость установившихся0,8ω = 0.1 рад/сω = 0.9 рад/сω = 1.1 рад/сω = 10 рад/сU/U0периодических слоистыхтечений от частоты0,4колебания пластины0,00,00,51,01,52,0η, смЕсли колебания границы происходят с частотой равной эффективной величинечастоты плавучести N эф = N sin α , то к моменту установления колебаний вся жидкостьприходит в движение и для такой частоты колебания границы условие затухания возмущений на бесконечности не выполняется.Учет эффектов диффузии приводит к расщеплению единого пограничного слоя надва подслоя разной толщины, с характерными масштабами длины19l±2=12ω2 −1 −1 2ω −1 −1κ +ν+ β2 ±κ +ν42()()−12, где β =ω2 − N 2 sin 2 ανκ.Показано, что в моделях с диффузией пограничный слой всегда разделен на дваподслоя независимо от значения диссипативных параметров жидкости, причем толщина скоростного (вязкого) пограничного слоя существенно зависит от соотношения между частотой вынужденных колебаний, частотой плавучести и углом наклона пластины.lκ = l+ ~ κ / ω , lν = l− ~ ω / ωN ν / ω , где ωN =ω2 − N 2 sin 2 α .Как и в случае среды без диффузии существует вырожденный случай колебаний счастотой ω = N sin α , когда у характеристического уравнения появляется двукратныйнулевой корень.

В этом случае дифференциальный оператор в пространстве образовЛапласа распадается на два коммутирующих оператораv′′ = 0 и v′′ = iωνκv , ν эф =≈ κ.ν эфν+κпервый из них отвечает стационарному решению задачи об импульсном старте пластины с постоянной скоростью, второй − его же нестационарной части с эффективным коэффициентом вязкости, вторая возможная интерпретация − установившиеся колебанияплоскости в жидкости с эффективным коэффициентом вязкости.В третьем параграфе главы 3 исследуется влияние нелинейности на двумерныестационарные вихревые течения идеальной несжимаемой жидкости и равномерностьпредельного перехода от стратифицированной среды к однородной.

Решения определяющего уравненияS0⎡ r cos ϕ∂ r − sin ϕ∂ ϕ ⎤ ψ = 0{ψϕ∂ r − ψ r ∂ϕ} ∆ψ + Fr⎣⎦(4)строятся методом разделения переменных в цилиндрической системе координат ( r , ϕ ) .ψ=ψ n ( r ) exp ( inϕ )∑n=0Предварительный анализ уравнений однородной жидкости показал, что решения,состоящие из любого конечного числа членов (содержащие конечное число мод по ϕ )отвечают линейной связи между завихренностью и функцией тока. Связям нелинейного типа (собственно нелинейным особенностям гидродинамических уравнений) отве-20чают бесконечное число членов ряда Фурье, подстановка которого в определяющиеуравнения приведет к рекуррентным дифференциальным уравнениям второго порядкаотносительно функций ψ n ( r ) , причем нулевой член разложения − функция ψ 0 ( r ) −остается произвольным.

Общность решения представленного разложения обусловленаналичием одной произвольной функции одного аргумента и двумя счетными наборамипостоянных интегрирования системы рекуррентных дифференциальных уравнений.Анизотропия уравнений стратифицированной жидкости вносит значительные изменения в вид решения.

Использование свойств дискретной симметрии по угловой переменной ϕψ(−ϕ) = −ψ (ϕ) и ψ(π − ϕ) = ψ(ϕ)позволяет, не решая задачу, определить, что разложение в ряд Фурье функции токадолжно содержать только синусы нечетного аргумента.∞ψ=∑ψn ( r ) sin ( (2n + 1)ϕ )n=0Уравнение (4) может быть один раз проинтегрировано∆ψ = F ( ψ ) +S0r sin ϕFrА в широко распространенном случае линейной связи между завихренностью и функцией тока решение опять, как и в случае однородной жидкости, описывается функциями Бесселя.В Приложении 1. приведены необходимые сведения из теории точных и прибли-женных непрерывных групп непрерывных преобразований.Приложение 2. содержит блок-схему и текст программы расчета приближенныхгрупп симметрии стационарных уравнений стратифицированной жидкости.Публикации по теме диссертации1.

Васильев М.П. Приближенные симметрии и приближенно инвариантные решенияуравнений стратифицированных течений и пограничного слоя // Всероссийская научно молодежная школа “Возобновляемые источники энергии” г. Москва. 2003 г.Тезисы докладов. С. 160.212. Васильев М.П. Приближенные симметрии и приближенно инвариантные решенияуравнений стратифицированных течений и пограничного слоя // Ломоносовские чтения.

г. Москва. 2004 г. Тезисы докладов. С. 172.3. Васильев М.П. Анализ совместного влияния нелинейности и диссипации на структуру течений стратифицированной жидкости // Четвертая всероссийская научнаяконференция «Физические проблемы экологии» Москва. 22 – 24 июня 2004 г. Тезисы докладов. С. 40 – 41.4. Васильев М.П. Взаимодействие диссипативных и нелинейных факторов в стратифицированном пограничном слое около горизонтальной пластинки // Сборник научныхтрудов «Физические проблемы экологии (Экологическая физика)». 2005. № 13. С. 55– 69.5. Байдулов В. Г., Васильев М.П.

Инвариантные и приближенно инвариантные решения задач о движение горизонтальной пластины в стратифицированной и/или вращающейся жидкости // Международная конференция “Потоки и структуры в жидкостях”. Москва. 20 – 23 июня 2005 г. Тезисы докладов. С. 190.6. Baydulov V.G., Vasiliev M.P. Approximate Groups of Transformations and AsymptoticSolutions of the Stratified Liquid Boundary Layer Equations // Selected Papers of the International conference “Fluxes and Structures in Fluids”. Moscow, Russia, June 20 – 23,2005. Moscow. IPM RAS.

2006. P. 41 – 45.7. Васильев М.П. Влияние эффектов плавучести, нелинейности и диссипации на структуру стационарных двумерных течений стратифицированной жидкости // Научнаяконференция “Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности”. Москва. Февраль, 2006 г.8. Байдулов В.Г., Васильев М.П. Формирование тонкой структуры слоистых стратифицированных течений // Известия РАН Механика жидкости и газа, 2006 (в печати)9. Байдулов В.Г., Васильев М.П., Показеев К.В. Структурная устойчивость общихсвойств моделей геофизической гидродинамики // Вестник МГУ.

Физика и астрономия, 2006 (в печати)22ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ ИТОНКАЯ СТРУКТУРА СЛОИСТЫХ ТЕЧЕНИЙВасильев Михаил Петрович23.