Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений, страница 3

Если движениеграницы происходит под углом горизонту, то группа симметрии сужается, и физический анализ задач усложняется. Однако, и в этом случае методы теории непрерывныхгрупп можно применять для построения приближенных решений гидродинамическихуравнений.Третий параграф главы 2 посвящен построению приближенных симметрий стационарных двумерных уравнений стратифицированных течений и изучению их зависимости от соотношения между основными определяющими параметрами задачи в основном приближении пограничного слоя, когда Re >> 1 .Стационарные двумерные уравнения стратифицированного пограничного слоязаписываются в безразмерном виде для переменных функция тока ψ – полная соле-13ность S .

При этом отдельно рассматриваются два случая: первый, когда эффекты диффузии малы, и соленость линейным образом связана с функцией тока. Второй случайсоответствует существенному вкладом эффектов диффузии в динамику течения, а концентрация примеси является дополнительной функционально независимой переменнойзадачи описываемой отдельным уравнением второго порядка.В первом случае уравнения движения сводятся к единственному уравнению относительно функции тока⎡1 2⎤ 2∂∂γ⎢ ψ y ∂x − ψ x ∂y − Re ∇ ⎥ ∇ ψ + Fr ψ x = 0,⎣⎦где Re = Ul ν – число Рейнольдса, l и U – характерный размер и скорость натекающе2γ ⎛ Nl ⎞го потока,= ⎜ ⎟ , Fr – число Фруда, N – частота плавучести, γ = l Λ – обезразFr ⎝ U ⎠меренный обратный масштаб стратификации.В втором случае определяющие уравнения в приближении Буссинеска образуютсистему уравнений второго порядка, которая может быть записана в виде1 ⎫γ⎧Sx = 0∆ ⎬ ∆ψ +⎨ψ z ∂ x − ψ x ∂ z −Re ⎭Fr⎩1ψ z S x − ψ x S z − ∆S = 0Sc(3)где Sc = ν κ – число Шмидта.Здесь и далее будем рассматривать три возможных типа соотношений (по порядку величины) между числами Рейнольдса и Фруда, т.е.

между инерцией, силами вязкости с одной стороны и силами плавучести с другой.A. Баланс “инерция – вязкость Re ~ ε−2 – плавучесть” Fr ~ ε2 ;B. Баланс “инерция – вязкость Re ~ ε−2 ” слабо доминирует над плавучестью Fr ~ ε1 ;C. Баланс “инерция – вязкость Re ~ ε−2 ” сильно доминирует над плавучестью Fr ~ 1 ;При этом симметрии каждой моделей ищутся приближённо с точностью до первого порядка малостиX = X 0 + εX 1 .Анализ полученных симметрий первого порядка показывает, что в случае, когдасилы вязкости находятся в балансе с силами плавучести, симметрии первого порядкаполучаются простым удвоением симметрий нулевого порядка. Иначе говоря, прибли-14женные симметрии нулевого порядка оказываются устойчивыми, и в первом приближении происходит так называемое наследование симметрий.Аналогичная ситуация имеет место и в случае (C), когда эффекты плавучести малы, и силы инерции определяют инвариантную структуру уравнения вплоть до первогопорядка малости.

С этой точки зрения наиболее интересным случаем является случайслабого доминирования сил инерции над силами плавучести (B). В этом случае из двухсимметрий растяжения с генераторами X 3 и X 4 в первом порядке малости устойчивойоказывается только их комбинация.

Однако наличие симметрий первого порядка с генераторами Y41 и Y51 , а также Y2 вместе с Yµ дает возможность строить приближенноинвариантные решения задач, в которых эффекты плавучести существенно проявляются внутри пограничного слоя.В теории пограничного слоя широко используются автомодельные решения. Однако, чтобы удовлетворить краевым условиям (например постоянства набегающего потока на бесконечности) часто необходимо иметь несколько генераторов групп растяжения.

Для построения такого решения из списка генераторов (B) необходимо выбратьтакую комбинацию, чтобы после построения редуцирующей замены граничные условия были удовлетворены в рамках новых зависимых и независимых переменных. Чтобы построить такую замену переменных рассматривается линейная комбинация трехоператоров растяженияZ = Y4 + aY41 + bY51 = ( 4 + aε ) x∂ x + (1 + bε ) y∂ y + ( 3 + ( a − b ) ε ) ψ∂ ψ .Значения параметров a и b выбираются таким образом, чтобы редуцированнаязадача с точностью до o ( ε ) удовлетворяла краевым условиям, причем в данном случаевлияние эффектов плавучести будет сказываться и на масштабах толщины пограничного слоя.Учет эффектов диффузии усложняет определяющие уравнения и существеннорасширяет номенклатуру допускаемых типов течений, границы между которыми будутопределяться балансными соотношениями между безразмерными комплексами системы (3).

В приближении пограничного слоя балансные соотношения (A), (B) и (C) дополнятся характерной величиной солености, масштаб которой выбран исходя из предельного случая отсутствия диффузии.В результате проведенных расчетов расклассифицированы симметрии первогопорядка уравнений стратифицированного пограничного слоя в зависимости от соотно15шений между величинами безразмерных комплексов (чисел Рейнольдса, Фруда, Шмидта). Показано, что использование приближенных симметрий позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точныегруппы растяжений.Третья глава посвящена изучению зависимости свойств слоистых течений стра-тифицированной жидкости, как на фазе формирования, так и для установившихся колебаний в зависимости от размерности задач, параметров стратификации и диффузии.Начиная с работ Л.

Прандтля, на примере подобных течений в геофизике традиционномоделируются процессы в океане и атмосферы, возникающие при обтекании препятствий. При этом простота геометрии позволяет детально разобрать процесс формирования тонкой структуры течений.В первом параграфе главы 3 изучались задачи формирования одно и двумерныхслоистых течений и их структурная устойчивость при переходе от модели однороднойк стратифицированной жидкости. Уравнения движения слоистых течений имеют вид∂uˆ − gS sin α,= νLu∂t∂Sˆ + 1 u sin α= κLS∂tΛ∂2 1 ∂+.где для плоскости Lˆ = ∂ 2 / ∂η2 , для цилиндра L̂ =∂r 2 r ∂rНа основании точных решений начально-краевой задачи, построенных с использованием преобразования Лапласа, детально исследован процесс формирования тонкойструктуры течений стратифицированной жидкости. В качестве модельных были рассмотрены задачи формирования плоскопараллельных течений, возникающих около наклоненных к горизонту плоскости и цилиндра, движущихся вдоль самих себя.

Трансформация свойств решений изучалась при последовательном переходе от модели однородной жидкости к неоднородной и модели учитывающей диффузию стратифицирующей примеси. Показано, что, несмотря на малость параметров отвечающих за эффектыстратификации и диффузии, величина их вклада относительно других эффектов (силинерции и вязкости) определяется не только значением скалярных параметров (чиселФруда и Шмидта), но в значительной мере и динамическими факторами. В силу большого различия по величине скалярных параметров в работе были выделены четыревременные области (три области малых времен − вязких, плавучести и диффузионных,а также области больших времен), на границах которых происходит смена модели течения. Показано, что предельный переход t → ∞ является неравномерным как в случае16плоской, так и цилиндрической геометрии для всех моделей за исключением моделистратифицированной среды с диффузией. Переход к стационарным моделям ведет нетолько к нерегулярности двойных предельных переходов, но часто и к необходимостипереформулировки краевых условий.Показано, что слабые эффекты стратификации, регулярным образом описываемые уравнениями движения, со временем меняют глобальное поведение течения и приводят к формированию тонкой структуры течения, включая сингулярные эффектыдиффузии.

В работе отдельно выделены стационарные модели, применимость которыхдля описания процессов в окружающей среде каждый раз нуждается в обосновании,особенно, когда исследуются предельные переходы между смежными геометрическими задачами или моделями.Проведенные расчеты временной эволюции течения позволили выделить два характерных типа поведения скорости в зависимости от расстояния до плоскости. На малых расстояниях первоначально сильное вязкое вовлечение жидкости в движение, чередуется сменой направления скорости и возникновением противотечения большойамплитуды. Следующие смены периодов доминирования сил плавучести и вязкостиприводят к постепенной адаптации среды к внесенным возмущениям.