Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА,ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ,ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиУДК 551.46ВАСИЛЬЕВ МИХАИЛ ПЕТРОВИЧОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ ИТОНКАЯ СТРУКТУРА СЛОИСТЫХ ТЕЧЕНИЙСпециальность 25.00.29 – физика атмосферы и гидросферыАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква 2006 годРабота выполнена на филиале кафедры физики моря и вод суши физического факультета Московского Государственного университета им. М.В. Ломоносова в Институтепроблем механики РАННаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор К.В. ПоказеевНаучный консультант:кандидат физико-математических наук,В.Г.

БайдуловОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор В.Н. Зыряновдоктор физико-математических наукдоцент А.В. КистовичВедущая организация:НИИ Механики МГУ им. М.В. ЛомоносоваЗащита состоится “ 14 ” декабря 2006 г. в 15 час. на заседании диссертационногосовета Д 053.05.81 по геофизике в Московском Государственном университете им.М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физическийфакультет, ауд. СФА.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.Автореферат разослан “ 14 ”ноябряУченый секретарьдиссертационного советакандидат физико-математических наук,2006 г.В.Б. СмирновОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫДиссертация посвящена изучению структурной устойчивости общих свойств моделей геофизической гидродинамики и частных видов течений, по отношению к сменетипа модели. Усложнение модели происходит за счет “малых” факторов двух видов:векторных геометрических (размерности задачи, типа обтекаемых препятствий, характера внешних сил) и скалярных динамических (учет эффектов вращения Земли, неоднородности жидкости, диссипативного характера течений).

Отдельно исследовалисьпроцессы установления течений неоднородной жидкости и их зависимость от выборамодели.Актуальность темы:В связи с появлением высокоточных средств глобального мониторинга атмосферы Земли и океана, а также с необходимостью совершенствования качества прогнозадинамики геофизических систем и перехода к среднесрочному и долгосрочному прогнозированию, актуальной оказывается задача разработки адекватных физикоматематических моделей, учитывающих одновременно большое число определяющихфакторов динамического и диссипативного типов, нелинейный и нестационарный характер протекающих процессов, сложную геометрию течения.Вплоть до настоящего времени остается актуальной задача исследования природытонкой структуры геофизических систем, процессов ее формирования, устойчивости,взаимодействия с другими элементами течений, а также влияния на процессы переносапримеси и энергии.Принимая во внимание нелинейность моделей гидродинамики и широкий спектрупрощенных моделей важным представляется исследование и сравнительный анализ ихобщих свойств методами теории групп Ли.

Ввиду большого числа определяющих факторов, учет которых часто приводит к появлению малых параметров в системе уравнений движения, делает актуальной задачу изучения структурной устойчивости теченийпо отношению к малым изменениям выбранной модели. Качественно исследовать такие эффекты представляется естественным на примере течений около тел правильнойформы − плоскости, цилиндре, сфере − традиционных объектах гидродинамики.3Цель работы: Целью данной работы является– Изучение общих свойств распространенных моделей геофизической гидродинамики,отражающих основные физические принципы механических систем, а также свойства пространства и времени.– Исследование влияния гипотез использованных при построении распространенныхупрощенных моделей на структуру групп симметрий исходной системы уравненийгеофизической гидродинамики.– Изучение процессов формирования одно- и двумерных слоистых течений и ихструктурной устойчивости к модификации модели течения по степени сложности отоднородной жидкости до стратифицированной жидкости с диффузией;– Исследование зависимости установившихся периодических течений от частоты колебаний тела и их устойчивости по отношению выбранной модели.– Изучение возможности расширения области применения теоретико-групповых методов для построения приближенных решений задач теории стратифицированныхтечений за счет использования приближенных групп симметрии.– Разработка программ компьютерной алгебры, реализующих процедуру поиска приближенных групп симметрии уравнений геофизической гидродинамики.Методы исследований:При выполнении диссертационной работы использовались методы теории непрерывных групп, теории возмущений, интегральных преобразований, асимптотическогоанализа.

При проведении вычислений и представления решений широко использовались методы компьютерной алгебры.Научная новизна: В работе получены следующие результаты:– На основе сравнительного теоретико-группового анализа показаны изменения физических и пространственно-временных свойств моделей геофизических течений припереходе от глобальных моделей к локальным, выявлено полное механикокинематическое содержание перехода к приближению Буссинеска и пограничногослоя в неоднородных жидкостях.– Впервые на примере слоистых течений стратифицированной жидкости детальноизучен процесс формирования тонкой структуры геофизических течений. Показано4качественное изменение свойств течений при смене модели (от модели однороднойжидкости к модели стратифицированной жидкости с диффузией).

В ряде случаеввыявлена неравномерность предельного перехода к моделям стационарных течений.– Впервые для периодических слоистых течений с диссипацией двух видов выявленоналичие резонансной частоты колебаний генератора, когда амплитуда колебанийчастиц жидкости не затухает с удалением от источника (неравномерный переход крежиму установившихся колебаний).– Показано, что в многокомпонентной среде пограничный слой всегда расщепляетсяна плотностной и скоростной независимо от значений коэффициентов диссипации.– Показано, что использование приближенных симметрий в теории неоднородныхжидкостей позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точные группы растяжений.– Разработан и реализован пакет программ поиска приближенных групп симметрийсистем дифференциальных уравнений в частных производных.Практическая значимость:Полученные результаты могут быть использованы при построении новых моделей геофизических систем, являющихся основой долгосрочных прогнозов их динамики.

В частности на базе могут быть уточнены представления о тонкой структуре океанических и атмосферных течений и ее влиянии на интегральные характеристики геофизических процессов.На защиту выносятся:– Результаты сравнительного анализа групп симметрий уравнений геофизической гидродинамики и приближенных моделей.– Решение и анализ задач формирования одно- и двумерных слоистых течений в линейно стратифицированной жидкости.– Решение и анализ задач динамики одно- и двумерных периодических слоистых течений.– Классификация групп приближенных симметрий уравнений стратифицированногопограничного слоя в зависимости от соотношения между основными безразмерными5комплексами (числами Рейнольдса, Фруда, Шмидта) и их применение для решениягеофизических задач;– Программы расчета приближенных симметрий уравнений геофизических течений;Публикации: Результаты работы опубликованы в 9 научных публикациях.Апробация работы: Основные результаты были представлены на Всероссийскойнаучно-молодежной школе “Возобновляемые источники энергии”.

(Москва. 2003), Научной конференции “Ломоносовские чтения” (Москва, 2004), Четвертой всероссийскойнаучной конференции “Физические проблемы экологии” (Москва, 2004), международной конференции “Fluxes and Structures in Fluids” (Москва, 2005); неоднократно докладывались на семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУим. М.В. Ломоносова, Объединенном семинаре “Динамика природных систем”, ИПМехРАН.Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, трех глав,заключения, списка литературы из 105 наименований и двух приложения. Общий объем диссертации 111 страниц, включая иллюстрации.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении Обосновывается актуальность работы по сравнительному анализугеофизических моделей, структурной устойчивости их общих свойств и свойств характерных типов течений. Приводится обзор работ по теме, определены основные видызадач.В первой главе вводятся основные характеристики и понятия неоднородных,вращающихся жидкостей, базовые термодинамические соотношения между ними, приводятся уравнения движения геофизической гидродинамики.

Обсуждаются граничныеи начальные условия, распространенные приближения. В приближении несжимаемойжидкости выведены уравнения стратифицированных течений, в том числе и в приближении Буссинеска. Эффекты вращения рассматриваются в рамках геометрии двух видов: сферической (глобальные модели) и плоской (локальные модели). Приведеныважные с практической точки зрения уравнения стратифицированного пограничного6слоя. Теоретико-групповой анализ (как точный, так и приближенный) всех приведенных моделей проводится в следующей главе.Отдельно обсуждаются основные размерные характеристики и безразмерныекомплексы, входящие в модели, определяется система малых параметров.

Формулируются базовые требования к построению приближенных моделей геофизических течений.Во второй главе изучены общие свойства базовой модели геофизических течений и распространенных ее приближений в зависимости от геометрических, динамических и диссипативных факторов. Инвариантные свойства моделей демонстрируются напримере автомодельных решений.В первом параграфе главы 2 обсуждаются группы симметрий уравнений вращающейся стратифицированной жидкости находящейся в поле плоского и центральносимметричного поля силы тяжести. Для несжимаемой стратифицированной жидкости вприближении Буссинеска уравнения движения с учетом вращения Земли с угловой скоростью Ω , вязкости и диффузии имеют вид∂u+ ( u∇ ) u = −∇P + ν∆u + Sg − 2Ω × u∂t∂S+ ( u∇ ) S = κ∆S∂tdiv u = 0Здесь u = ( u , v, w ) − скорость, S − концентрация примеси, P − давление, отнесенное к единичной плотности, Ω − угловая скорость вращения Земли, g − ускорениесвободного падения, ν и κ − коэффициенты кинематической вязкости и диффузии соли, соответственно.В геофизической гидродинамике используются две основные модели: глобальная,когда течения происходят в рамках сферической геометрии в центрально симметричном поле силы тяжести g = − ge r и локальные, в приближении плоской Земли и однородном поле тяжести g = − ge z .