Моделирование функциональных методов решения двумерных и трехмерных обратных задач акустического рассеяния, страница 4

Кроме того, какследует из уравнений Фаддеева, для трехмерного сферически симметричногорассеивателя h + (k , l) ≡ h − (k , l) , т.е. H + (k , p) ≡ H − (k , p) , и, следовательно,другой функциональный член Z 2 ≡ 0 , поэтому моделирование алгоритмасвелось к моделированию решения уравнений Фаддеева. Следует отметить, чтосферическая симметрия здесь упрощает модель, но не ограничивает общностиполучаемых результатов.Раздел 3.2 посвящен алгебраизации уравнений при сбореэкспериментальных данных и численной реализации алгоритма: приведенаалгебраизация решений прямой задачи, уравнений Фаддеева, основногосоотношения алгоритма, а также схема получения «обрезанного»пространственного спектра и оценки функции рассеивателя для такого спектрав случае сферически-симметричного рассеивателя.Результатывосстановленияданнымалгоритмомсферическисимметричных рассеивателей разной силы приведены в разделе 3.3.

В силутого,чтовреализованномприближенномвариантеалгоритма~пространственный спектр v (−p ) оценивался на основе предельных значенийH ± обобщенной амплитуды рассеяния только для пространственныхкомпонент | p |≤ 2k 0 , результат восстановления v̂ (r ) сравнивался с функциейv cut (r ) , пространственный спектр которой совпадает со спектром истинногорассеивателя v (r ) внутри сферы радиуса 2k 0 и равен нулю вне этой сферы. Засчет того, что нелинейная связь между обобщенной амплитудой рассеяния иклассической обеспечивает учет многократных рассеяний, получаемая оценка171x 10Im vRe v51v0-250v cutRev̂ born-1x 10-2-3-3-4-4-5-5Imv̂Imv̂ born-6-6Rev̂-7-2-101x / λ0-7-22-101x / λ02аx 105Re vx 1000-5-5-10-10-15-2-101x / λ0-15-225Im v-101x / λ02бРис.5. Центральные сечения действительной (слева) и мнимой (справа)частей рефракционных рассеивателей в виде шара с одинаковым радиусомa = 1.2 λ 0 при контрасте скорости звука ∆c / c 0 ≈ −0.050 идополнительномнабегефазы∆ψ ≈ π / 4 (a);∆c / c 0 ≈ −0.116 ,∆ψ ≈ π / 2 (б):– истинный рассеиватель v (тонкая сплошная линия);– форма рассеивателя v cut после ограничения полосы частот егопространственного спектра сферой радиуса 2k 0 (пунктирная линия);– оценка рассеивателя при отсутствии шумовых помех с учетоммногократных рассеяний ( v̂ – толстая сплошная линия) и в приближенииБорна ( v̂ born – линия в виде точек).v̂ (r ) оказывается более точной, чем оценка v̂ born (r ) в первом приближенииБорна.

В случае слабых рассеивателей обобщенная амплитуда рассеяниясовпадает с классической, и обе оценки совпадают между собой: v̂(r ) = v̂ born (r ) .Однако, как только рассеиватель перестает быть слабым, в борновской оценкевозникает ложная мнимая часть Im v̂ born (r ) , возрастающая по мере увеличения18силы рассеивателя. При набеге фазы волны, достигающем ∆ψ ≈ π / 4 ,амплитуды функций Re v̂ born (r ) и Im v̂ born (r ) уже сравнимы по величине(рис.5а).

В то же время, аналогичная ложная мнимая часть Im v̂(r ) , нообусловленная пренебрежением в (5) членом Z 1 , становится лишь немногозаметной только для рассеивателей, создающих дополнительный набег фазыболее ∆ψ ≈ 3π / 4 , т.е. приближающихся к сильным рассеивателям. При∆ψ ≤ π / 2 оценка рассеивателя v̂ (r ) лучше воспроизводит функцию v cut (r ) ,чем оценка v̂ born (r ) (рис.5а).

Однако при ∆ψ около π / 2 и более, искажения,вносимые в оценку v̂ (r ) , становятся уже более существенными и выражаются вувеличенииотносительнойамплитудыосцилляций(рис.5б),чтосвидетельствует о возрастающем влиянии неучтенного члена Z 1 .В разделе 3.4 обсуждается вывод о применимости алгоритма НовиковаХенкина для восстановления рассеивателей средней силы. В общем случаепренебрежение членом Z 1 сделать нельзя, хотя для не слишком сильныхрассеивателейобобщеннаяамплитударассеяниявосстанавливаетпространственный спектр рассеивателя существенно лучше, чем классическаяамплитуда рассеяния (борновское приближение). Алгоритм также обладаетхорошей помехоустойчивостью: относительная погрешность в оценкерассеивателя не намного превышает относительную погрешность в данныхрассеяния, а размерностная избыточность данных рассеяния в трехмерномслучае приводит к дополнительному повышению помехоустойчивостирешения.Четвертая глава состоит из трех разделов и посвящена второму(новому) алгоритму Новикова [12] решения трехмерной обратной акустическойзадачи рассеяния.Описаны новые вводимые переменные и векторы, установленовзаимооднозначноесоответствиемеждупространствомтрехмерныхкомплексных волновых векторов и комплексной λ -плоскостью.

Приведеныосновные уравнения алгоритма и схема их итерационного решения. Проведенанализ итерационного решения уравнений алгоритма применительно к случаюсферически-симметричного рассеивателя (раздел 4.1).При построении своего функционально-аналитического алгоритма авторI ), где между каждойалгоритма использует комплексную λ -плоскость ( λ ∈Cпарой (k , p ) и парой (λ, p ) устанавливается взаимооднозначное соответствие.Первым этапом решения алгоритма снова является нахождение обобщеннойамплитуды рассеяния из уравнений Фаддеева (4), которая затем приводится квиду H ± (k , p) ≡ H ± (λ, p) .

После этого интегрированием значений H ± (ς, p) ,определенных на ς = 1 , вычисляется член H 0 (λ, p ) , участвующий в основномуравнении алгоритмаH (λ , p ) = H 0 (λ , p ) + P ( { H , H } ; λ , p ) .19Данное уравнение решается итерационно, так как член P ( {H , H }; λ, p )нелинейным образом зависит от значений H , вычисленных на предыдущемэтапе. При численной реализации вводится дополнительная фильтрующаяфункция F (| p |) , при использовании которой схема итерационного решениявыглядит какˆˆHˆ j (λ, p ) = F (| p |) H 0 (λ, p) + F (| p |) P  {Hˆ j −1 , Hˆ j −1 }; λ, p  ,ˆˆˆгде Hˆ (λ, p) = F (| p |) H (λ, p ) , Hˆ = (1 − ε) Hˆ + εHˆ , 0 < ε ≤ 1 – весовойj =00j −1jjмножитель, Ĥ j – оценка функции H , получаемая на итерации с номером j ≥ 1 .Заключительным этапом является оценка пространственного спектрарассеивателя из соотношения~v (−p ) = lim H (λ, p ) .λ→ 0В разделе 4.2 выполняется алгебраизация уравнений при численнойреализации алгоритма в общем случае и в случае сферической симметриирассеивателя, а также приведены результаты восстановления рассматриваемымалгоритмом сферически-симметричных рассеивателей разной силы и размера.На примере рассеивателя на рис.6 можно сравнить качествовосстановления приближенным вариантом алгоритма Новикова-Хенкина итрехмернымалгоритмомНовикова.Дляцентрально-симметричныхрассеивателей оценка приближенным алгоритмом Новикова-Хенкина совпадаетс фаддеевской оценкой v̂ , которая заметно уступает итоговой итерационнойfadоценке v̂ .

Об этом же свидетельствует и сравнение итоговой оценки данногорассеивателя с результатом восстановления приближенным алгоритмомрассеивателя, изображенного на рис.5б (оба рассеивателя близки по контрасту∆c / c0 и, следовательно, по создаваемому дополнительному набегу фазы∆ψ ≈ π / 2 ). При увеличении силы рассеивателя отличие v̂от истиннойfadфункции рассевателя v возрастает, в то время как v̂ остается близкой к истине(рис.7).Выяснено, что помехоустойчивость алгоритма к случайным ошибкам вэкспериментальных данных рассеяния достаточна для практических целейдиагностики. Так, на рис.8 представлен восстановленный пространственныйспектр рассеивателя в отсутствие и присутствии шума в данных приотносительномкоэффициентезашумленияν ns = 0.09 .Погрешностьвосстановления составила µ ≈ 0.11 .

В случае полностью некоррелированнойпомехи погрешность µ будет уменьшаться благодаря избыточноститрехмерных данных.20x 1055x 100-5Im vcutRe v̂fad-10-210Re v5Re v̂0Re vcut-10Im v̂1x λ0-22Im v̂fadIm v-1а01x λ02бРис.6. Рефракционно-усиливающий шарообразный рассеиватель радиусаa = 1.2λ 0 ; фокусирующий контраст скорости ∆c / c0 ≈ −0.094 , набег фазы∆ψ ≈ π / 2 , амплитудное усиление в рассеивателе – в 2.2 раза,действительная (а) и мнимая (б) части рассеивателя: истинныйрассеиватель v (тонкая сплошная линия); форма рассеивателя v cut послеограничения ширины его пространственного спектра (пунктирная линия);оценка рассеивателя из уравнения Фаддеева v̂ fad (линия из точек) и оценкапо алгоритму Новикова v̂ (толстая сплошная линия) при отсутствиишумовых помех.В настоящее время не выявлено жестких ограничений на силурассеивателя, нужных для обеспечения работоспособности алгоритма.Объекты, сильно отличающиеся от фоновой среды как показателемпреломления, так и поглощением, были восстановлены с хорошим качеством.Чисто рефракционный рассеиватель на рис.7 является весьма сильным,создавая ∆ψ ≈ 3π .

Его фаддеевская оценка v̂ fad существенно отличается от v cutпо амплитуде и ширине, в то время как оценка v̂ отличается от v cut тольконебольшой осцилляцией, являющейся следствием присутствия рассеяния назад.8x 106v̂fad6vv̂4vcut20-2-2-10Рис.7.1x λ02Чисто рефракционный шарообразный рассеиватель радиусаa = 1.2λ 0 ; дефокусирующий контраст скорости ∆c / c 0 ≈ 1.67 , набег фазы∆ψ ≈ 3π : центральные сечения действительной части рассеивателя, типлиний аналогичен рисунку 6.21-3x 100Re ~v̂-0.5-1-1.5-2010.51.5Рис.8.2ξ k0Чисто рефракционный шарообразный рассеиватель радиусаa = 2λ 0 ; фокусирующий контраст скорости ∆c / c 0 ≈ −0.059 , набег фазы∆ψ ≈ π 2 : центральное сечение оценки действительной частипространственного спектра рассеивателя, восстановленной алгоритмомНовикова при отсутствии шумовых помех (сплошная линия) и позашумленным данным со стандартным амплитудным отклонениемσ ns = 0.09 f (линия из точек).1x 10761v̂0.5v00v̂fad-1-0.5-1-3x 10v-2-101vcut-223x λ0а-3-2v̂-1012x λ0бРис.9.Результатвосстановлениядвумерногоцилиндрическогорассеивателя (а) и трехмерного шарообразного рассеивателя (б) содинаковыми радиусом a = 1.2λ 0 и фокусирующим контрастом скорости∆c / c0 ≈ −0.172 , дающими набег фазы ∆ψ ≈ π ; тип линий аналогиченрисунку 6.Алгоритм Новикова позволяет численно проиллюстрировать тот факт,что в трехмерной монохроматической задаче рассеяния единственность иустойчивость восстановления могут быть обеспечены для рассеивателейпроизвольной силы, в отличие от двумерной монохроматической задачи.