Моделирование функциональных методов решения двумерных и трехмерных обратных задач акустического рассеяния

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАФизический факультетНа правах рукописиУДК 534.2 : 517.9АЛЕКСЕЕНКО Николай ВасильевичМОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВРЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХОБРАТНЫХ ЗАДАЧ АКУСТИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯСпециальность: 01.04.06 – акустикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2008Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московскогогосударственного университета им.

М.В. Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Валентин Андреевич БУРОВОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,старший научный сотрудникПетр Георгиевич ГРИНЕВИЧ,Институт Теоретической физики им. Л.Д.Ландаукандидат физико-математических наук,ассистент Иван Михайлович ПЕЛИВАНОВ,физический факультет МГУ им. М.В.ЛомоносоваИнститут проблем управленияВедущая организация:Российской Академии наук, г.МоскваЗащита диссертации состоится “ 19 ” июня 2008 г. в 16-00 часов назаседанииСпециализированногоСоветаД.501.001.67вМГУим. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г.

Москва, ГСП-1, Ленинские Горы,МГУ, физический факультет, Центральная физическая аудитория им.Р.В.Хохлова.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физическогофакультета МГУ им М.В. Ломоносова.Автореферат разослан “15” мая 2008 г.Ученый секретарьСпециализированного Совета Д.501.001.67кандидат физико-математических наук2А.Ф. КОРОЛЕВОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темыРешение обратных волновых задач представляет собой активноразвивающееся направление как математической, так и прикладной физики(акустики и оптики). В акустике под обратными волновыми задачамипонимается восстановление источников звука (обратная задача излучения) илихарактеристик неоднородностей, рассеивающих первичное поле (обратнаязадача рассеяния), по измерениям акустического поля. Наиболее актуальныминаправлениями применения на практике результатов разработок в теорииобратных задач рассеяния являются медицинская диагностика и акустикаокеана.

Проблемам разработки медицинских акустических томографов,решающих задачу ранней диагностики, более безопасных, чем рентгеновские, именее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы, посвящено в последнее времябольшое количество как теоретических, так и экспериментальныхисследований. Помимо медицинских приложений, результаты исследованийразличных обратных задач рассеяния имеют широкое применение в задачахсоздания систем промышленной диагностики (дефектоскопии), решенияприкладных проблем геоакустики и акустики океана.Существует два крупных класса подходов к решению обратной задачирассеяния, один из которых основан на итерационных методах, а другой – наметодах функционального анализа. Преимуществом итерационных методовявляется то, что они могут базироваться на фрагментарных данных,полученных при различной геометрии эксперимента, различных частотах.

Вэтих методах не накладывается жестких требований на полноту данныхрассеяния отдельно для каждой из частот или каждой конфигурациипадающего поля в эксперименте, любая априорная и апостериорнаяинформация может быть также использована. Основные же преимуществафункционального подхода заключаются как в получении строгого (или почтистрогого) решения, так и (в ряде случаев) в меньшем количествевычислительных операций, по сравнению с итерационными методами.Функционально-аналитическиеметоды имеют свои корни вматематических и физико-теоретических работах, исследовавших процессыквантовой теории рассеяния и, соответственно, решения прямых и обратныхзадач потенциального рассеяния.

В силу ряда принципиальных отличийприроды потенциального рассеяния в квантовой механике и рассеяния волн нанеоднородностях фазовой скорости, такие методы не всегда применимы вполной мере к обратным задачам акустики. Однако в последние годынаблюдается стремление разработать общие подходы, пригодные для решенияобратных задач рассеяния различной физической природы (как квантовомеханических,такиакустических,электродинамических,эластодинамических), в том числе изоэнергетических (монохроматических)обратных задач.

Проведенные исследования опираются на методы3функционального и многомерного комплексного анализа и отличаются высокойматематической строгостью.Анализ возможности применения на практике разработанных в последниедесятилетия функционально-аналитических методов решения двумерныхобратных задач рассеяния был подробно проведен в последнее время в работахсотрудников кафедры акустики физического факультета МГУ.

Созданыработоспособные компьютерные программы, позволяющие достаточно быстровосстанавливать двумерные рассеиватели любой формы по данным рассеянияна основе функционально-аналитического двумерного монохроматическогоалгоритма Новикова-Гриневича [1, 2, 3], и показано, что областьработоспособности этого алгоритма реально намного больше, чемпервоначально предполагалось [4].

Тем не менее, при увеличении силырассеяния, на модельных численных решениях двумерных задач наблюдалосьвозникновение неустойчивости и повышенной чувствительности к ошибкам вданных рассеяния. Основная и принципиальная причина этого явления кроетсяв безызбыточности данных рассеяния для двумерной монохроматическойзадачи. А именно, массив таких данных соответствует двумернойпараметрической области углов падения и рассеяния 0,2π × 0,2π .

Той жеразмерностью характеризуется искомая двумерная неоднородность конечныхразмеров.Отсутствиеразмерностнойизбыточностиданныхдлямонохроматической задачи определяет более ограничительный характерусловий многочисленных теорем и утверждений относительно единственностирешения таких задач [5, 6].Импульсный, или, во многом эквивалентный ему, многочастотный режимснимает это ограничение (поскольку в параметризации данных рассеянияпоявляется дополнительное измерение – частота).

Однако простое аддитивноеобъединение множества решений монохроматических задач не являетсяэффективным методом и не эквивалентно решению единой задачи, в которомиспользуется факт общности рассеивателя для каждой монохроматическойзадачи. Поэтому необходим более полный метод объединения решений,который не лежит «на поверхности» и нуждается в дополнительномисследовании.Обратные задачи рассеяния в трех измерениях обладают размерностнойизбыточностью даже в монохроматическом случае. Поэтому проблемыобеспечения единственности, свойственные двумерной задаче, здесь невозникают [6, 7]. В настоящее время основным методом синтеза трехмерныхакустических томограмм является простое объединение послойных двумерныхизображений.

В этом методе пренебрегается «обменом» рассеянными полямимежду слоями. Между тем, ошибки, вызываемые этим пренебрежением, имеютпорядок второго борновского члена (при разложении рассеянного поля в рядБорна-Неймана), т.е. достаточно существенны.Строгоерешениетрехмернойобратнойзадачирассеянияфункциональными методами не удается получить простой модификациейдвумерных алгоритмов, что требует разработки новых методов решения.(4) ()Результаты этих исследований появились в самое последнее время, но ихпрактическая пригодность в акустических системах отнюдь не очевидна, атребуемый объем вычислений в настоящее время представляется чрезвычайнобольшим.

Тем не менее, быстрый прогресс в данной области позволяетпоставить вопрос о первых попытках реализации этих новых подходов прирешении трехмерных обратных задач акустического рассеяния (хотя бы самыхпростых). Любой способ решения обратных задач рассеяния на практикетребует детального исследования алгоритмов восстановления рассеивателей сцелью их наилучшего функционального и технического согласования сизмерительной установкой (томографом), методом получения первичныхданных рассеяния и способами отображения итоговых результатов.

При этом содной стороны, функциональные методы являются наиболее продвинутыми имощными в теоретическом и принципиальном плане, а с другой стороны, ихприменение для решения обратных задач рассеяния классических полейнаходится только в начальной стадии исследования, что делает несомненноважным дальнейшее продвижение в этом направлении. Поэтому актуальностьпредставляемой работы заключается в создании метода решения единойакустической многочастотной двумерной задачи томографического типа,основанной на функциональном подходе.

Это открыло возможностьприменения данного метода для импульсного режима медицинскихтомографов, повысив, тем самым, информативность и расширив область ихработоспособности. Вторая часть работы носит исключительно пионерскийхарактер и открывает цикл исследований по применению в решениитрехмерных обратных задач акустического рассеяния строгих функциональныхметодов их решения. Эти исследования направлены, в конечном счете, насоздание трехмерных систем акустоскопии принципиально нового типа.Можно выделить следующие основные цели диссертационной работы:1. Найти и апробировать на численных моделях метод органичногообъединения многочастотных данных и методов решения множествамонохроматических двумерных обратных задач акустического рассеяния ввидеединогофункциональногоалгоритма,базирующегосянамонохроматических вариантах решения, развитых в работах С.П.Новикова,Л.Д.Фаддеева, П.Г.Гриневича, С.В.Манакова и включающих последниерезультаты Р.Г.Новикова.2.

Реализовать и апробировать на простейших моделях функциональный методрешения обратной трехмерной задачи акустического рассеяния, основываясьна результатах исследований и алгоритмах Г.М.Хенкина и Р.Г.Новикова.3. Провести сравнительную оценку практической области работоспособностиуказанных подходов.Задачи диссертационной работы можно разбить на две группы.Попервойчастиработы(немонохроматическомудвумерномуфункциональному алгоритму):51. Найти метод объединения последовательности операций при решениимонохроматических частных задач в единый взаимосвязанный процесс.2. Продемонстрироватьрасширениеобластиработоспособностинемонохроматического двумерного алгоритма решения обратной задачиакустическогорассеянияпосравнениюспростойсуммоймонохроматических решений.3.

Оценить вычислительную сложность алгоритмической реализации этогометода и физические ограничения на область его применимости.По второй части работы (трехмерным функциональным алгоритмам) задачисоответствуют начальному этапу исследований:4. Реализовать трехмерные функциональные алгоритмы в виде конкретныхработающих программ и исследовать с их помощью восстановлениехарактерных рассеивателей простейшей формы.5.