Моделирование функциональных методов решения двумерных и трехмерных обратных задач акустического рассеяния, страница 2

Оценить возможности и перспективы реализации этих алгоритмов дляпрактических целей.Научная новизна работы1. Поставлена не рассматривавшаяся ранее задача поиска методов объединенияневзаимосвязанных решений множества монохроматических задачакустического рассеяния в единый процесс согласованного использованиявсей совокупности данных рассеяния. Найдено обобщение двумерногометода Новикова-Гриневича и модифицированного метода Новикова нанемонохроматический случай.2. Проведен цикл модельных исследований возможностей предложенногометода решения полихроматической обратной задачи томографическоготипа. Полученные результаты позволяют прийти к выводу оперспективности использования модифицированного полихроматическогодвумерного алгоритма Новикова для прикладных задач акустическоготомографирования медицинской направленности.

Полихроматическийалгоритм более устойчив и информативен, чем результат аддитивногосинтеза одночастотных решений при тех же исходных данных.3. Впервые выполнена конкретная реализация математических алгоритмоврешения трехмерной обратной задачи акустического рассеяния и проведеноисследование возможностей этих методов на примерах различныхмодельных задач на основе алгоритмов Новиоква-Хенкина и новогоалгоритма Новикова.4.

Проведенциклчисленныхмодельныхэкспериментов,продемонстрировавший широкие возможности нового функциональноаналитического трехмерного алгоритма Новикова и выявивший егоработоспособность для рассеивателей произвольной силы.Достоверностьрезультатов,представленныхвдиссертации,подтверждается решением обратных модельных задач, давших оценки, близкие6к исходным характеристикам двумерных и трехмерных рассеивателей,использованным при синтезе тестовых данных рассеяния.Практическая ценность работы:1.

Показана практическая реализуемость и широкие прикладные возможностипредложенного обобщения двумерного функционально-аналитическогометода на немонохроматический случай, что открывает возможность егоприменения в реальных ультразвуковых томографах, работающих вимпульсном или многочастотном режиме.2. Показана практическая реализуемость алгоритма решения трехмерноймонохроматической обратной задачи, а также возросшая устойчивостьрешения по сравнению с двумерной задачей, что позволяет говорить опрактической перспективности данного направления, требующего, однако,высокой производительности используемых вычислительных средств.3.

На численных примерах исследована помехоустойчивость перечисленныхалгоритмов, которая оказалась достаточно высокой для практических целеймедицинской диагностики.Основные положения, выносимые на защиту:1. Совокупностьотдельных(независимых)процедуррешениямонохроматических обратных задач акустического рассеяния может бытьобъединена предложенным в диссертации образом во взаимосвязанныйединый процесс поиска решения, приспособленного для применения вакустических томографических системах, работающих в импульсномрежиме. Результат такого объединения – возросшая информативность ипомехоустойчивость томограмм.2.

Трехмерная обратная задача рассеяния имеет практически реализуемый ипромоделированный в диссертации путь решения, учитывающего всюсложность многократного рассеяния сильными неоднородностями,пригодный к практическому применению в системах акустоскопии,снабженных многоэлементной приемно-излучающей системойивысокопроизводительными вычислительными устройствами.Апробация работыМатериалы диссертации докладывались на конференции «Ломоносов2004» (Москва, апрель 2004), XV сессии Российского Акустического Общества(Нижний Новгород, ноябрь 2004), конференции «Ломоносов-2007» (Москва,апрель 2007), XIX сессии Российского Акустического Общества (НижнийНовгород, сентябрь 2007) и семинарах кафедры акустики физическогофакультета МГУ.7ПубликацииОсновные результаты диссертации изложены в семи работах (две из них –в рецензируемых журналах), список которых приводится в конце автореферата.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения и спискацитируемой литературы, включающего 108 наименований.

Общий объемработы составляет 155 страниц, включая 130 страниц текста и 23 рисунка.Личный вклад автора заключается в проведении физического анализаосновных методов решения обратной задачи акустического рассеяния вдвумерном и трехмерном пространстве, позволившего найти органичноеобъединение монохроматических методов в единый процесс нахожденияполихроматического решения, в анализе физического смысла операциймногошагового процесса решения трехмерной обратной задачи и в разработкеконкретных численных схем всех обсуждаемых в работе подходов и ихконкретной реализации. Большинство работ по моделированию и анализуполученных результатов проведены им лично.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВ первой главе (введении) обсуждается актуальность темыдиссертационной работы, определяются ее цели, формулируется постановказадач, излагаются результаты диссертации, выносимые на защиту.

Приведенакраткая характеристика научных работ по теме, также кратко описана историяи специфика существующих функциональных методов решения обратнойзадачи рассеяния, рассказано о работах по моделированию таких методов.Вторая глава состоит из шести разделов и посвящена решениюдвумерной обратной акустической задачи рассеяния в полихроматическомрежиме.В разделе 2.1 приводится общая характеристика основных понятий,уравнений и обозначений, принятых в современной литературе, посвященнойрешению обратных задач методами функционального анализа.В первой части раздела описана процедура формального распространениядействительных волновых векторов падающего и рассеянного полей на областькомплексных значений при заданной ориентации их действительных и мнимыхчастей. Решение монохроматической обратной задачи рассеяния заключается ввосстановлении функции рассеивателяv(r, ω) = ω 2 c 0−2 − c −2 (r ) − 2 i ω α(r , ω) c (r ) ,()где c 0 – скорость звука в однородном непоглощающем фоне, а неоднородностьхарактеризуется отклонением скорости звука c(r ) и амплитудного8коэффициента поглощения α(r, ω) внутри области рассеяния от их значений вфоновой среде.

Падающая плоская монохроматическая волна описываетсяволновым вектором k ∈ IR n , рассеянная волна в дальней зоне – волновымвектором l ∈ IR n , где k 2 = l 2 = k 02 , n – размерность пространства; k 0 = ω c 0 .Для решения поставленной задачи проводится (следуя методу Л.Д.Фаддеева[8, 9]) формальное распространение волновых векторов на областьI n , считая, что k = k R + ik I , l = l R + il I . Прикомплексных значений k , l ∈CI n,таком переходе остается справедливым соотношение k 2 = l 2 = k 02 , где k , l ∈Cчто означает одновременное выполнение следующих условий:k I ⊥ k R , k 2R − k 2I = k 02 ;l I ⊥ l R , l 2R − l 2I = k 02 .(1)Из (1), следует, что в двумерном случае существуют только две возможныеориентации вектора k I = k ±I , ортогонального фиксированному вектору k R(рис.1а).

Взаимная ориентация векторов l R и l I аналогична.В трехмерном случае вводится дополнительное требование(2)kI = lI .Из (1), (2) вытекает:k I ⊥ k R , k I ⊥ l R , | l R |=| k R | .(3)Поэтому k I ортогонален к плоскости, в которой лежат векторы k R и l R , а,следовательно, и вектор p ≡ k − l = k R − l R .

Тогда количество возможныхориентаций вектора k I относительно этой плоскости становится равным двум(рис.1б), так же как в двумерном пространстве.kI = k+IkI = k+IlRkRpkRkI = k−IkI = k−IабРис.1. Ориентация взаимно-ортогональных действительной и мнимойкомпонент волновых векторов в двумерном (а) и трехмерном (б) случаях.Во второй части раздела определены классическая и обобщеннаяамплитуды рассеяния, рассмотрены обобщенное уравнение типа ЛиппманаШвингера и уравнение Фаддеева.

Экспериментальными данными являетсяклассическая амплитуда рассеяния f (k , l ) , где k , l ∈ IR n . При переходе вобласть комплексных волновых векторов, она переходит в обобщенную9I n . Мнимую часть волнового вектораамплитуду рассеяния h (k , l ) , где k , l ∈Cможно представить в виде k I ≡| k I | γ , где γ – единичный вектор. При | k I |→ 0предельные значения обобщенных функций зависят от направления γ . Так,предельнымизначениямифункцииh (k , l )являютсяhγ (k R , l R ) ≡ lim h(k R + i | k I | γ , l R ) . Величины hγ (k R , l R ) ≡ hγ (k , l) , где|k I |→0k , l ∈ R , взаимооднозначно связаны с f (k , l ) следующим соотношением [8]:nh γ (k , l ) = f (k , l ) + 2πi∫h γ (k , m) Θ[(m − k , γ )] δ(m 2 − k 2 ) f (m, l )dm , (4)m∈IR nгде Θ[(m − k , γ )] – функция Хевисайда, аргументом которой является скалярноепроизведение векторов m − k и γ .Поскольку как в двумерном, так и в трехмерном случае количествовозможных ориентаций мнимой части k I волнового вектора k равно двум,предельные значения hγ (k , l) , отвечающие таким двум ориентациям, будутобозначаться как h + (k , l) и h − (k , l) , соответственно.В последующих разделах дано подробное описание, с физической точкизрения, модифицированного монохроматического двумерного алгоритмаНовикова [10], и приведены соображения о возможном расширении еговозможностей за счет введения немонохроматичности в алгоритм.В разделе 2.2 показано, как дополнительно к основным уравнениямвводятся уравнения связи при использовании совокупности данных рассеяниядлянаборачастот.Примоделированиивпервыеприменялсямонохроматический модифицированный алгоритм Новикова, являющийсясерьезной модификацией известного ранее алгоритма Новикова-Гриневича.Первым этапом модифицированного алгоритма является нахождениепредельныхзначенийобобщеннойамплитудырассеяния±±h (k , l ) ≡ h (ϕ, ϕ' ; ω j ) из классических значений амплитуды рассеянияf (k , l ) ≡ f (ϕ, ϕ' ; ω j ) :±h (ϕ, ϕ' ; ω j ) − π i2π∫h±(ϕ, ϕ' ' ; ω j ) Θ [± sin( ϕ' '−ϕ)] f (ϕ' ' , ϕ' ; ω j ) dϕ' ' = f (ϕ, ϕ' ; ω j ).0Данное соотношение является записью уравнений Фаддеева (4) в терминахклассических углов: в двумерном пространстве волновые векторы представимыкак k = {k0 j , ϕ} и l = {k0 j , ϕ'}; k0 j ≡ ω j c0 – волновое число фоновой среды; ω j –частота (в дальнейшем при введении полихроматичности j = 1, J ; J – общееколичество частот).На втором этапе алгоритма находится классическое запаздывающееволновоеполеu cl (r , k ; ω j ) ,аточнее,модулирующаяфункция10µ cl (r, k ; ω j ) ≡ exp( −ikr ) u cl (r, k ; ω j ) .

Для этого последовательно находятсянесколько вспомогательных функций:h ± (r, ϕ, ϕ' ; ω j ) ≡ h ± (ϕ, ϕ' ; ω j ) exp[ik 0 j {x(cos ϕ'− cos ϕ) + y (sin ϕ'− sin ϕ)}] ;Q ± (r, ϕ, ϕ' ; ω j ) ≡ h ± (r, ϕ, ϕ' ; ω j ) Θ [± sin( ϕ'−ϕ)] ;B(r, ϕ, ϕ' ; ω j ) =i 2π −i 2π ++= ∫ Q (r, ϕ' ' , ϕ' ; ω j ) χ (ϕ − ϕ' ' ) dϕ' ' − ∫ Q (r, ϕ' ' , ϕ' ; ω j ) χ − (ϕ − ϕ' ' ) dϕ' ',2 02 0где r = {x, y} ; χ ± (ϕ) ≡ 1 [1 − (1 m 0) exp(iϕ)] ; и далеелинейных уравненийрешаетсясистема2πµ (r, ϕ ; ω j ) + ∫ B(r, ϕ, ϕ' ; ω j )µcl (r, ϕ'; ω j ) dϕ' = 1 .cl0На третьем этапе из классического поляµ cl (r, k ; ω j )рассчитываютсяпредельные значения обобщенного поля µ − (r, ϕ; ω j ) :2πµ (r, ϕ; ω j ) = µ (r, ϕ; ω j ) + πi ∫ Q − (r, ϕ, ϕ' ; ω j ) µ cl (r , ϕ' ; ω j ) dϕ' ,−cl0после чего на последнем, четвертом этапе вычисляется искомая функциярассеивателя:k0 j ∂∂ 2π −v (r , ω j ) =(i + ) µ (r, ϕ ; ω j ) exp( iϕ) dϕ .2π ∂x ∂y ∫0Модифицированный алгоритм Новикова сохраняет все достоинстваалгоритма Новикова-Гриневича: локальность по пространственной координатеr , возможность получения решения безытерационным способом, учетэффектов перерассеяния; оба алгоритма имеют одни и те же пределыработоспособности.Эквивалентностьоценкифункциирассеивателямодифицированным алгоритмом и алгоритмом Новикова-Гриневича удобнопроиллюстрироватьнапримеренесимметричногорефракционнопоглощающего рассеивателя (рис.2), выбранного в качестве одной из моделей в[4]: восстановление с помощью обоих алгоритмов в монохроматическомрежиме практически идеальное (рис.2а) благодаря учету перерассеяний.