Моделирование функциональных методов решения двумерных и трехмерных обратных задач акустического рассеяния, страница 5

Дляиллюстрации были рассмотрены два чисто рефракционных фокусирующихрассеивателя. Один – двумерный, цилиндрической формы с радиусомa = 1.2λ 0 ; другой – трехмерный, шарообразный, с тем же радиусом. Обарассеивателя имеют c c 0 ≈ 1.208 , ∆c / c 0 ≈ −0.172 и относятся к классу сильных22рассеивателей: дополнительный набег фазы вдоль диаметра каждого из нихсоставляет ∆ψ ≈ π . Оценка цилиндрического рассеивателя, полученнаядвумерным алгоритмом Новикова-Гриневича, искажена даже в центральнойчасти, а на периферии возникают сильные осцилляции – признакнеустойчивости решения обратной задачи (рис.9а). В то же время,шарообразный рассеиватель с той же искажающей силой воспроизводитсяалгоритмом Новикова вполне удовлетворительно (рис.9б).Раздел 4.3 содержит выводы о применимости нового алгоритма Новиковадля рассеивателей достаточно большой силы.В пятой главе (заключении) сформулированы основные результатыработы.ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ1.

Проведено детальное исследование модифицированного двумерногомонохроматического алгоритма Новикова, предназначенного для решенияобратных задач рассеяния. Показано, что этот алгоритм имеет рядпреимуществ по сравнению с предшествовавшим ему алгоритмом НовиковаГриневича: меньшее число вычислительных операций, возможность оценитьширину области локализации пространственного спектра вторичныхисточников, допускает результативное обобщение на полихроматическийрежим.2.

Впервые разработано обобщение модифицированного алгоритма Новикована полихроматический режим. Разработана и апробирована насодержательномнаборемодельныхакустическихрассеивателейпрограммная реализация этого обобщения. Полученные результатывосстановлениярассеивателейполихроматическималгоритмомсвидетельствуют о перспективности его использования. Алгоритмобеспечивает значительно более устойчивое восстановление акустическиххарактеристик рассеивателя, чем одночастотные решения или результат ихаддитивного синтеза.3.

Определена основная трудность при восстановлении цилиндрическихрассеивателей полихроматическим алгоритмом: влияние рассеяния назадобобщенных волн. Картину восстановления удается улучшить путемфильтрации обобщенной амплитуды рассеяния.4. Проведено детальное исследование трехмерного монохроматическогоалгоритма Новикова-Хенкина.

Впервые осуществлена программнаяреализация и выполнено численное моделирование приближенной версииалгоритма,полученырезультатывосстановленияакустическихрефракционно-поглощающих рассеивателей разной силы, размера и знакаконтраста. Выявлено, что для рассеивателей средней силы качествовосстановления существенно лучше, чем в борновском приближении.23Адекватное же восстановление сильных рассеивателей возможно только прииспользовании строгой версии алгоритма.5. Исследование и проведенное впервые численное моделированиетрехмерного модифицированного алгоритма Новикова показало, что этоталгоритм, строго учитывающий процессы многократного рассеяния,работоспособен для рассеивателей любой силы, однако требует большогоколичества вычислительных операций как в силу трехмерности задачи, так иза счет итерационной процедуры решения.Выявлено, что дополнительная пространственно-спектральная фильтрацияявляется регуляризацией решения.

Достоинство алгоритма состоит в том,что критичность итоговой оценки рассеивателя к деталям такойрегуляризации невысока.6. Проиллюстрировано, что, в отличие от двумерной монохроматическойзадачи рассеяния, трехмерная монохроматическая задача снимаетограничение на силу восстанавливаемого рассеивателя при обеспеченииединственности и устойчивости решения задачи.7. Вовсехслучаяхпримененияисследованныхалгоритмовпомехоустойчивость к случайным ошибкам в экспериментальных данныхрассеяния достаточно высока для их практического использования всистемах медицинской диагностики.Список цитируемой литературы1.

Гриневич П.Г., Манаков С.В. Обратная задача теории рассеяния длядвумерного оператора Шредингера, ∂ -метод и нелинейные уравнения// Функцион. анализ и его прил., 1986, т.20, № 2, с.14-24.2. Новиков Р.Г. Восстановление двумерного оператора Шредингера поамплитуде рассеяния при фиксированной энергии // Функцион. анализ иего прил., 1986, т.20, № 3, с.90-91.3.

Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение двумерной обратной задачиакустического рассеяния на основе функционально-аналитическихметодов. II. Область эффективного применения // Акустич. журн., 1993,т.39, № 5, с.793-803.4. Burov V.A., Morozov S.A., Rumyantseva O.D. Reconstruction of fine-scalestructure of acoustical scatterer on large-scale contrast background // Acoust.Imag., 2002, V.26, p.231-238.5.

Новиков Р.Г. Многомерная обратная спектральная задача для уравнения− ∆ψ + (v(x) − Eu (x))ψ = 0 // Функцион. анализ и его прил., 1988, т.22,№ 4, с.11-22.6. Буров В.А., Румянцева О.Д. Единственность и устойчивость решенияобратной задачи акустического рассеяния // Акустич. журн., 2003, т.49,№ 5, с.590-603.7.

Weder R. Global uniqueness at fixed energy in multidimensional inversescattering theory // Inverse problems, 1991, V.7, p.927-938.248. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния II // Сб.:Соврем. проблемы математики, М.: ВИНИТИ, 1974, т.3, с.93-180.9. Фаддеев Л.Д. Растущие решения уравнения Шредингера // ДАН СССР,1965, т.165, № 3, с.514-517.10. Новиков Р.Г.

Приближенное решение обратной задачи квантовой теориирассеяния при фиксированной энергии в размерности 2 // Труды Мат.Инст. Стеклова, 1999, т.225, с.301–318.11. Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. ∂ -уравнение в многомерной обратной задачерассеяния // УМН, 1987, т.42, № 3 (255), с.93-152.12. Novikov R.G. The ∂ -approach to approximate inverse scattering at fixedenergy in three dimensions // International Mathematics Research Papers,2005, V.6, p.287-349.Список работ, опубликованных по теме диссертации1.2.3.4.5.6.7.Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмернойобратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма НовиковаХенкина // Акустич.

журн., 2005, т.51, № 4, с.437-446.Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмернойобратной задачи акустического рассеяния. Модифицированный алгоритмНовикова // Акустич. журн., 2008, т.54, № 3, с.469-482.Буров В.А.,Алексеенко Н.В.,Румянцева О.Д.Многочастотноеобобщение функционального метода решения обратной двумерноймонохроматической задачи рассеяния // Препринт физического факультетаМГУ, № 10/2008, 36 с.Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д.

Моделирование решениятрехмерной обратной задачи рассеяния по алгоритму Новикова-Хенкина// Сборник трудов XV сессии Российского Акустического Общества, М:ГЕОС, 2004, т.1, с.192-195.Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмернойобратной задачи рассеяния по модифицированному алгоритму Новикова// Сборник трудов XIX сессии Российского Акустического Общества, М:ГЕОС, 2007, т.1, с.211-215.Алексеенко Н.В. Моделирование решения трехмерной обратнойзадачи акустического рассеяния по алгоритму Новикова-Хенкина// Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых пофундаментальным наукам “Ломоносов-2004”. Секция “Физика”.

Сборниктезисов, М.: Физический факультет МГУ, 2004, с. 32-34.Алексеенко Н.В. Решение трехмерной обратной задачи акустическогорассеяния по модифицированному алгоритму Новикова // Международнаяконференциястудентов,аспирантовимолодыхученыхпофундаментальным наукам “Ломоносов-2007”. Секция “Физика”. Сборниктезисов, М.: Физический факультет МГУ, 2007, с.

77-78.25.