Моделирование функциональных методов решения двумерных и трехмерных обратных задач акустического рассеяния, страница 3

В тоже время, модифицированный алгоритм имеет ряд преимуществ по сравнениюс алгоритмом Новикова-Гриневича. Первое такое преимущество – меньшеечисло вычислительных операций. Второе – возможность восстановитьклассическое поле u cl (r, k ; ω j ) , и, как следствие, рассчитать вторичныеисточники F cl (r, k ; ω j ) ≡ v(r, ω j ) u cl (r , k ; ω j ) и оценить ширину областилокализации их пространственного спектра. Для упоминавшегося рассеивателя,модуль поля u cl , изображенный на рис.2б для направления распространенияпадающей волны вдоль оси Oy(т.е. ϕ = π 2 ), уменьшается по мере11проникновения волны внутрь рассеивателя, главным образом, за счетдостаточно сильного поглощения. Эффекты перерассеяния изменяют формупространственного спектра вторичных источников и приводят к расширениюобласти локализации этого спектра, по сравнению со случаем борновскихclвторичных источников Fborn(r, k ; ω j ) .

Данное обстоятельство иллюстрируетсяна примере пространственных спектров, рассчитанных для центральныхсечений x = 0 вторичных источников при распространении падающей волнывдоль оси Oy (рис.2в):~F cl ( x = 0, ξ y ; ϕ = π 2) ≡ ∫ F cl ( x = 0, y; ϕ = π 2) exp(−iξ y y ) dy ;~ clclFborn( x = 0, ξ y ; ϕ = π 2) ≡ ∫ Fborn( x = 0, y; ϕ = π 2) exp( −iξ y y ) dy .Третьим преимуществом модифицированного алгоритма являетсявозможность более кардинального обобщения его на полихроматическийрежим, также следующее из возможности найти полные классические поля наодном из этапов алгоритма.

Такое обобщение впервые разработано вдиссертационной работе. Рассеиватель восстанавливается на основесовокупности полихроматических данных, полученных на разных частотах ω j .Связующим звеном является общность рассеивателя для всех частот, поэтому врешение алгоритма вводятся уравнения связи, имеющие, в простейшем случаеодинаковой частотной зависимости Re v (эта часть отвечает за рефракционныеэффекты) и Im v (ответственна за поглощение), видj = 1, J − 1 .Итогом полихроматического варианта алгоритма являются оценки v̂ poly (r, ω j )функции рассеивателя v(r, ω j ) , рассчитанные для каждой из частот вотдельности.

Однако, в силу введенных условий связи, отношенияwˆ poly (r ) ≡ v̂ poly (r, ω j ) k02 jне зависят от частоты, и получаемая далее оценка wˆ poly (r ) будет называтьсяполихроматической оценкой функции рассеивателя.При подготовке диссертационной работы была впервые разработанапрограммная реализация данного полихроматического метода. Алгебраизациямонохроматического алгоритма и изменения в численной реализацииалгоритма при введении немонохроматичности приведены в разделе 2.3.Далее приведены решение прямой задачи для цилиндрическихрассеивателей (раздел 2.4) и результаты восстановления полихроматическималгоритмом (раздел 2.5) цилиндрических рассеивателей с заданнымпоказателем преломления, обладающих как рефракцией, так и поглощением.Использование при численном моделировании полихроматического режимадвумерных рассеивателей цилиндрической формы никак не ограничиваетобщности результатов их восстановления и связано только с тем, что для такихрассеивателей существует точное аналитическое решение прямой задачи, и приэтом сила рассеивателя может быть сколь угодно большой.v(r, ω j ) (k0 j ) 2 − v(r, ω j +1 ) (k0 ,12j +1 )2= 0,u cl ( x = 0, y; ϕ = π 2)0.151Re vRe v̂0.10.80.050.6Im vIm v̂00.4-0.05-24 -16 -808160.224-24 -16 -88 y λ0а0б816248 y λ01~ cl|| Fborn0.80.60.4~| F cl |0.20-2-101в2ξ y k0Рис.2.

Несимметричный рефракционно-поглощающий рассеиватель(относительный контраст скорости ∆c c0 изменяется в диапазоне от− 0.073 до 0.15 ; максимальный дополнительный набег фазы ∆ψ ≈ 0.35 π ;максимальное амплитудное поглощение в рассеивателе – в 3.7раза):– центральное сечение x = 0 рассеивателя (а): истинный рассеиватель v(тонкие линии) и рассеиватель v̂ , восстановленный при отсутствиишумовых помех с учетом многократных рассеяний (действительная часть –толстая пунктирная линия, мнимая часть – толстая линия в виде точек);– центральное сечение x = 0 абсолютных значений классического полногополя (б) при распространении падающего поля вдоль оси Oy ;– абсолютные нормированные значения пространственного спектра дляцентрального сеченияx = 0 вторичных источников с учетом~многократных рассеяний ( F cl ( x = 0, ξ y ; ϕ = π 2)– тонкая линия) и в~clприближении однократного рассеяния ( Fborn( x = 0, ξ y ; ϕ = π 2)толстая линия) (в) при том же направлении падающего поля.13–Рис.3 позволяет сравнить результат восстановления рефракционнопоглощающего цилиндрического рассеивателя в монохроматическом режимена одной из длин волн, среднее арифметическое (по частотам) результатоввосстановления в наборе монохроматических режимов и результатвосстановления в полихроматическом режиме.

Выяснено, что влияниерассеяния назад обобщенных волн искажает картину восстановления.Рассеянное назад поле всегда присутствует в таких рассеивателях за счетрезкого изменения скорости звука на их границе. Для уменьшения его влиянияобобщенная амплитуда рассеяния h ± (ϕ, ϕ'; ω j ) подвергалась фильтрации поуглам функцией F ( ϕ − ϕ' ) = 0.5 (1 + cos ϕ − ϕ' ) , после чего в последующихшагах алгоритма везде участвовала функция h ± (ϕ, ϕ'; ω j ) F ( ϕ − ϕ' ) .Рассеиватель на рис.3 достаточно сильный, и при его восстановлении вмонохроматическом режиме появляется неустойчивость (сильные флуктуациии даже резкие выбросы на рис.3а).

Полихроматическая оценка (рис.3б, слева)устраняет неустойчивость и в целом дает результат, близкий к истине. Дляиллюстрации принципиальной роли уравнений связи, на рис.3б приводится, длясравнения, результат простого усреднения (в виде среднеарифметического)соответствующих монохроматических решений v̂(r, ω j ) k 02 j . Здесь и далее= 8 единиц дискретизации длины. Часть осцилляций вусловно полагается λmax0такойоценкекомпенсирована,посравнениюсотдельнымимонохроматическими решениями, однако присутствующие сильные выбросысвидетельствуют, что проблема неустойчивости решения здесь неликвидирована.Рис.4 демонстрирует результаты восстановления рефракционногоцилиндрического рассеивателя теми же методами, что и на рис.3, но свведением зашумления. Уровень шумов брался настолько большим, чтопогрешности монохроматической оценки сравнимы или даже значительнопревышают истинные значения функции рассеивателя (рис.4а).

В этойситуации помехоустойчивость полихроматического решения оказаласьдостаточно высокой: оно не только усредняет влияние случайных шумов, какэто делает оценка в виде среднеарифметического монохроматических решений,но и стабилизирует решение, устраняя неустойчивость, в отличие от среднегомонохроматических решений (рис.4б).В разделе 2.6 приводятся выводы о перспективности примененияполихроматического алгоритма в акустических обратных задачах. Придостаточно большом количестве частот метод обеспечивает значительно болееустойчивое восстановление, чем монохроматические решения или ихсреднеарифметическое,ипредоставляетвозможностьорганичногообъединения многочастотных данных и методов решения множествамонохроматических обратных задач.14λ0 j = 7.5 ед.

дискр. длины21Re v̂ / k 02 jIm v̂ / k 02 j0-1-2-60 -40 -20020 40 608 x λmax0а9 частотIm wˆ poly0.10.100-0.1-0.2-0.3-60 -40 -20Im v̂ aver-0.1Re wˆ polyIm v / k 02 jIm v / k 02 j-0.2Re v / k 02 j020-0.3408x60Re v / k 02 j Re v̂ aver-60 -40 -20λmax0020408xбРис.3. Рефракционно-поглощающий рассеиватель цилиндрической формыс фокусирующим контрастом скорости ∆c c0 ≈ −0.09 ;радиуса a = 3λmax0набег фазы ∆ψ ≅ 1.2π ÷ 1.4π и амплитудное поглощение в рассеивателе – в3 ÷ 3.6 раза в рабочем диапазоне λ 0 j ∈ [7.5; 8] ед. дискр.

длины:– действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) частимонохроматической оценки рассеивателя v̂(r, ω j ) k02 j (а) при длине волныλ0 j = 7.5 ед. дискр. длины в отсутствие шумовых помех;– полихроматическаяоценкаŵpoly (б, слева)всравнениисосреднеарифметическимзначениеммонохроматическихоценокv̂ aver (б, справа) при использовании девяти длин волн; истинные значенияv k 02 j действительной (сплошная линия) и мнимой (пунктирная линия)частей рассеивателя изображены более тонкой линией соответствующеготипа.1560λmax00.40-0.4-0.8 Im v̂ / k 02 j-60 -40 -20Re v̂ / k 02 j0а0.2Im wˆ poly20 40 608 x λmax00.2Im v / k 02 j00-0.2-0.2Re wˆ poly-0.4-60 -40 -20Re v̂ averRe v / k 02 j020408xIm v̂ aver Im v / k 20j-0.4-60 -40 -2060λmax0Re v / k 02 j020408xбРис.4.

Рефракционный рассеиватель цилиндрической формы радиусаa = 3λmaxс фокусирующим контрастом скорости ∆c c0 ≈ −0.09 ; набег0фазы ∆ψ ≅ 1.2π ÷ 1.4π в рабочем диапазоне λ0 j ∈ [7; 8] ед. дискр. длины.В данных рассеяния присутствует шум со стандартным амплитуднымотклонением σ ns (ω j ) = 0.5 f (ω j ) :– действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) частимонохроматическойоценкирассеивателяv̂(r, ω j ) k 02 jприλ0 j = 7 ед.

дискр. длины в присутствии шума (а);– полихроматическаяоценкарассеивателя (б, слева)исреднеарифметическоемонохроматическихоценок (б, справа)призашумленных данных; истинные значения действительной (сплошнаялиния) и мнимой (пунктирная линия) частей рассеивателя изображеныболее тонкой линией соответствующего типа.1660λmax0Третья глава состоит из четырех разделов. В ней анализируется решениетрехмерной обратной акустической задачи рассеяния алгоритмом НовиковаХенкина [11].В разделе 3.1 приведены основные уравнения и обозначения алгоритма,введены необходимые приближения и упрощения, проведен анализ уравненийФаддеева (4) для нахождения обобщенной амплитуды рассеяния в трехмерии, атакже проанализированы решения прямой задачи, уравнений Фаддеева иконструкции данного алгоритма в приближении сферической симметрии.Оценен вклад отдельных слагаемых основного соотношения алгоритма~v (−p ) = H (k , p ) + Z [ H (k , p), k ] + Z [ H (k , p ), k ].(5)*k I ≠01*2k I →0*~v (−p ≡ l − k )Здесь–пространственныйспектррассеивателя;H (k , p ) ≡ h(k , l = k − p) – обобщенные данные рассеяния, получаемые из (4); k *– произвольное фиксированное значение вектора из множества всех векторовI 3 , которые при любом фиксированном p ∈ IR 3 удовлетворяют условиямk ∈Ck 2 = k 02 и 2kp = p 2 (аналог условий (1) и (2)).На первом этапе компьютерного моделирования функциональный член Z 1не рассматривался в силу большого количества вычислительных операций и,главное, неустойчивости процедуры нахождения H (k , p ) .