Диссертация (Моделирование структуры липополисахаридов и их роли в процессе патологического свертывания крови), страница 13

Этоутверждение позволяет нам сформулировать следующую теорему:Предположим, что � (� −) = 0 для некоторого � − > 0 и � ′(0) ̸=0, � ′ (� − ) ̸= 0. Пусть w* — соответствующая стационарная точка (1.1.2), заданная отношениями (1.1.4). Если существует положительный корень полинома � (� ) в интервале0 < � < � − , то система (1.1.2) обладает монотонно убывающими автоволновыми решениями w(�, �) = u(� − ��) уравненияТеорема1.2.1.Du′′ + �u′ + F(u) = 0, u(±∞) = w± ,(1.2.1)для единственного значения скорости �.Доказательство теоремы 1.2.1 следует из общих результатов о существовании автоволновых решений в монотонных системах уравнений [264, 265].

Монотонные автоволновые решения для монотонных систем являются асимптотически устойчивыми [264,265], откуда следуетглобальная устойчивость таких решений в двуустойчивом случае.1.2.1Оценка скорости распространения автоволныРасчет точного значения скорости распространения волны в рассматриваемой системе представляет собой трудную задачу, однако мы можем получить некоторые аналитические оценки.

Автоволна будет являться решением следующей системы:��′′i + ��′i + �i (�i � − �i ) = 0, � = 1, 2, 3,��′′4 + ��′4 + �4 (�4 �3 − �4 ) = 0,��′′5 + ��′5 + �5 (�5 �4 + ��2 �4 − �5 ) = 0,︂︂�′′′− �� = 0,�� + �� + �6 �5 (1 + ��1 ) 1 −�0(1.2.2)с пределами на бесконечности:u(±∞) = u± .Перепишем систему (1.2.2) в следующем виде:1��′′i + ��′i + �i (�1 , .

. . , �5 , � ) = 0, � = 1, . . . , 5�′′′�� + �� + �6 (�1 , . . . , �5 , � ) = 0,(1.2.3)56где � — это некоторый малый параметр, �i = �¯�i. При � = �¯ система (1.2.3) совпадает ссистемой (1.2.2). Для системы (1.2.3) функции �i(�), заданные (1.3.8), удовлетворяют следующему свойству:�i (�1 (�), . . .

, �5 (�), � ) = 0, � = 1, . . . , 5.(1.2.4)Функции �i(�) непрерывны как и их производные второго порядка, и �′i(�) ̸= 0, � = 1, . . . , 5.Если мы совершим формальный переход к пределу � → 0 в (1.2.3), то �i → �i(�), и подставивих в последнее уравнение уравнение, мы получим:(1.2.5)� ′′ + �� ′ + �6 (�1 (� ), . . . , �5 (� ), � ) = 0, � (±∞) = � ± ,где �6(�1(� ), . .

. , �5(� ), � ) = � (� ) — полином из (1.1.5). Справедлива следующая теорема:Теорема 1.2.2. Скорость распространения автоволны в системести распространения автоволны в уравнении(1.2.5) при � → 0.(1.2.3) сходится к скоро-Следующие оценки могут быть получены из минимаксного представленияскорости волны в двуустойчивом случае [264,265]:Доказательство.︁︁︂︂min inf �1 (ρ), . .

. , inf �6 (ρ) 6 � 6 max sup �1 (ρ), . . . , sup �6 (ρ) ,гдеxxxx(1.2.6)1�′′i + �i (ρ)�′′6 + �6 (ρ)��i (ρ) =,�=1,...,5,�(ρ)=,6−�′i−�′6— произвольная пробная функция, непрерывная вместе со своими вторыми производными, монотонно убывающая (покомпонентно) и имеющая те же пределы набесконечности, что и автоволна: ρ(+∞) = 0, ρ(−∞) = u−.Выберем следующие пробные функции:ρ = (�1 , . .

. , �6 )(1.2.7)�i = �i (�0 ) + �i �i , � = 1, . . . , 5, �6 = �0 ,где �0 — решение уравнения (1.2.5), а �i, � = 1, . . . , 5 — функции, непрерывные со своимивторыми производными, точные выражения для которых мы определим ниже.Пренебрегая членами второго порядка по �, мы получаем:�′′0 + � (�1 (�0 ) + ��1 , .

. . , �5 (�0 ) + ��5 , �0 )=−�′05︀�′′0 + � (�1 (�0 ), . . . , �5 (�0 ), �0 ) + � �ui (�0 , �1 (�0 ), . . . , �5 (�0 ), �0 ) �i�6 (ρ) =i=1−�′0= �0 + �Φ,(1.2.8)57), . . . , �n (�0 )) �iи �0 — значение скорости распространения автоволгде Φ = ︀ �u (�0, �1(�0−�′i=10ны в уравнении (1.2.5). Далее, для � = 1, . . . , 5:ni1�′′i (�0 )(�′0 )2 + �′i (�0 )�′′0 + ��i′′ + �i (�1 (�0 ), . . . , �5 (�0 ), �0 )�+�i (ρ) =−�′i (�0 )�′0 − ��i′5︀�iuj (�1 (�0 ), . . . , �5 (�0 ), �0 )�jj=1=−�′i (�0 )�′0 − ��i′5︀�′′i (�0 )(�′0 )2 + �′i (�0 )�′′0 + ��i′′ +�iuj (�1 (�0 ), . .

. , �5 (�0 ), �0 )�jj=1′−�i (�0 )�′0 −��i′.(1.2.9)Обозначим � (�1(�0), . . . , �n(�0), �0) как � и �iu (�1(�0), . . . , �5(�0), �0) как �iu . Если мы выберем функции �i, � = 1, . . . , 5 такими, чтоjj⎛⎞⎞⎛ ⎞ ⎛�1u1 �1u2 . . . �1u5−�′′1 (�0 )(�′0 )2 + �′1 (�0 )��1⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟,⎜ . . . . . . . . . . . . ⎟ ⎜. . .⎟ = ⎜...⎠⎝⎠⎝ ⎠ ⎝′′ 25′′55�u1 �u2 .

. . �u5−�5 (�0 )(�0 ) + �5 (�0 )��5(1.2.10)считая, что матрица �′ в левой части необратима, то будет выполнено�i (ρ) =�′i (�0 )(�′′0 + � (�1 (�0 ), . . . , �n (�0 ), �0 )) + ��i′′= �0 + �Ψi , � = 1, . . . , 5,−�′i (�0 )�′0 − ��i′′′(1.2.11)′где Ψi = −��′i(�−)��0′�i , � = 1, . . . , 5, �0 — скорость распространения автоволны в уравнеi 0 0нии (1.2.5). Таким образом, мы получаем окончательную оценку на скорость распространения волны в (1.2.3):︁︁�0 + � max min Φ, min Ψ1 , . .

. , min Ψ5 6 �xxx︁︁6 �0 + � min max Φ, max Ψ1 , . . . , max Ψ5 ,xxx(1.2.12)и, принимая во внимание тот факт, что Φ, Ψi, � = 1, . . . , 5 ограничены, мы получаем доказательство теоремы.Остается проверить, что матрица �′ необратима. Получим явные выражения для функций �i, � = 1, . . .

, 5 для системы (1.2.3). Матрица 1�¯�′ имеет следующий вид:⎛⎞−�0000⎜ 1⎟⎜⎟⎜ 0−�2000 ⎟⎜⎟⎜⎟⎜ 00−�300 ⎟⎜⎟⎜⎟⎜ 00�4 �4−�40 ⎟⎝⎠0 �5 ��4 (�0 )0�5 (�5 + ��2 (�0 )) −�558Таким образом, решая систему (1.2.10), мы получаем:︀1 ︀�¯ −�i (�0 )(�′0 )2 + �i (�0 )� , � = 1, . . . , 3,�i︀︀1 ︀ ︀�¯ −�4 (�0 )(�′0 )2 + �4 (�0 )� − �4 �4 �3 ,�4 = −�4︀︀1 ︀ ︀�5 = −�¯ −�5 (�0 )(�′0 )2 + �5 (�0 )� − �5 ��4 (�0 )�2 − �5 (�5 + ��2 (�0 ))�4 ,�5�i = −(1.2.13)(1.2.14)(1.2.15)где �i(�0) заданы выражениями (1.3.8), а �0 — решение (1.2.5).

Функции �i, � = 1, . . . , 5непрерывны со своими вторыми производными и превращают (1.2.10) в тождество. Такимобразом, подставляя их в (1.2.6), мы получаем оценку (1.2.12). Теорема доказана.Скорость распространения автоволны в уравнении (1.2.5) положительна тогда и толькотогда, когда︁T−� (� )�� > 0.T+Как следует из теоремы 1.2.2, данное неравенство дает нам приближенное условие на положительность скорости автоволны в исходной системе. Более того, для уравнения (1.2.5)мы может получить приближенные значения скорости распространения волны. Уравнение (1.2.5) задает скорость распространения волны в уравнении��= �� ′′ + � (� ),��(1.2.16)полученной методом квази-стационарного приближения для уравнения на концентрации всехфакторов, кроме тромбина (� ), с � (� ) заданным (1.3.11).Перейдем к безразмерным переменным аналогично тому, как это было сделано в [108]:� = �0 �, � =�˜˜ 2,, � = �ℎℎ2(1.2.17)тогда модель (1.2.16) принимает вид:��˜= �∆�+ �1 � (1 + �2 �) (1 + �3 �) (1 − �) − �,� �˜где:�1 =�6 �3 �4 �5, �2 = �2 �, �3 = �1 �.�(1.2.18)Заметим, что скорости активации протромбина и фактора X комплексом протромбиназы икомплексом внутренней теназы соответственно существенно выше, чем скорости активацииэтих факторов фактором X и фактором IX, соответственно [92].

Таким образом, мы можемпренебречь соответствующими слагаемыми в правой части и записать окончательно упрощенное уравнение:��1˜ 1 + ��3 (1 − �1 ) − �1 ,= �∆�(1.2.19)1� �˜59где� = �1 �2 �3 ,или, в более общей форме,��= �∆� + ��n (1 − �) − ��.��(1.2.20)Для такого уравнения мы можем получить аналитические оценки скорости распространенияавтоволны, удовлетворяющей уравнению:��′′ + ��′ + ��n (1 − �) − �� = 0.(1.2.21)Ниже мы рассмотрим два способа аналитической оценки скорости решения уравнения (1.2.21).1.2.1.1Метод узкой зоны реакции.Одним из методов оценки скорости распростра-нения автоволнового решения в уравнении типа реакция-диффузия является метод узкойзоны реакции, разработанный в теории горения [266].

Перепишем уравнение (1.2.21) в виде:��′′ + ��′ + � (�) − �� = 0, � (�) = �n (1 − �).(1.2.22)Предположим, что реакция происходит в единственной точке пространства:�=0в коор-динатах фронта волны. Тогда вне зоны реакции можно рассмотреть следующие линейныеуравнения:⎧⎨ ��′′ + � �′ − �� = 0, � > 0,1⎩ ��′′ + � �′ = 0,� < 0.1(1.2.23)Запишем условия перехода в зоне реакции. В зоне реакции мы можем пренебречь значением�′ ,так как оно мало в сравнении с остальными членами:��′′ + � (�) = 0.Домножая (1.2.24) на�′(1.2.24)и интегрируя по зоне реакции, получим следующие условия пере-хода:(�′ (+0))2 − (�′ (−0))2 =2�︁w∗� (�)��,(1.2.25)0которые должны быть дополнены условием непрерывности решения:�(+0) = �(−0).Решая (1.2.23), получаем:�=⎧⎪⎪⎨ �* ,︃√�2+ 4��−� −⎪⎪⎩ �* exp �2�︃� < 0,, � > 0.(1.2.26)60Тогда, используя (1.2.25) и (1.2.26), мы получаем следующее уравнении на приближенноезначение скорости автоволны:︁︀4�22� (�)��.�1 + �1 �1 + 4�� + 2�� = �, � = 2�*w∗Таким образом,(1.2.27)0︂�*n�*n−1−�+1 �+2︂(1.2.28)Формула (1.2.28) дает хорошее приближение численной скорости распространения волныдля � > 3.

Точность приближения тем выше, чем больше значение � (рис. 3.2).� − 2��, � = 4���1 = √2�.Рис. 3.2: Отношение аналитических оценок и численной скорости распространения волнытромбина для разных значений �; � = 0.01, � = 2, � = 10. Сплошная линия — метод узкойзоны реакции (�/�1, (1.2.28)), пунктир — кусочно-линейное приближение (�/�2, (1.2.40)).Утверждение 1.2.1. Метод узкой зоны реакции дает оценку снизу.Рассмотрим уравнение (1.2.22) и для простоты положим, что � (�) = 0для � 6 �0 и � (�) > 0 для �0 < � < 1.

Пусть �* — максимальный корень уравнения� (�) = �� (рис. 3.3). Мы ищем убывающее решение уравнения (1.2.22) с пределами набесконечности:Доказательство.�(−∞) = �* , �(+∞) = 0.Умножая уравнение (1.2.22) на �′ и интегрируя по всей оси, получаем:�=︀u∗0� (�)�� − 21 �(�* )2︀∞.(�′ (�))2 ��(1.2.29)−∞Вместе с уравнением (1.2.22) рассмотрим систему двух уравнений первого порядка:⎧⎨ �′ = �,⎩ �′ = −�� − � (�) + ��.(1.2.30)61Автоволновое решение уравнения (1.2.22) соответствует траектории, соединяющей стационарные точки (�*, 0) и (0, 0) (рис. 3.3).