Диссертация (Моды шепчущей галереи в неидеальных оптических микрорезонаторах. Методы аппроксимации), страница 11

В этом случае54резонаторы не связаны с элементами связи, а свободны в жидкости, в которой находитсядетектируемое вещество. В малой области, где может находится только одна молекула, флюоресцентное покрытие возбуждается, и затем детектируется флюоресцентное излучение, частота которого не совпадает с частотой лазера. При такой схеме в детектировании участвуетвся поверхность резонатора, что увеличивает вероятность и скорость детектирования. Крометого, эта схема избавляет и от шумов, связанных с вариацией расстояния между элементомсвязи и резонатором.

Большим плюсом данного метода является то, что флюорисцентныемикрорезонаторы коммерчески доступны.3.1.7ИспользованиеИмея полное представление об интересующих нас сенсорах, стоит вернуться непосредственнок принципу их действия. Как упоминалось ранее, при попадании детектируемого веществана поверхность резонатора образуется слой адсорбированного вещества, толщина которогообычно не превышает нанометра [125–127], происходит сдвиг собственных частот и изменение добротности микрорезонатора вследствии модификации граничных условий.

Измерениесдвига резонансной частоты играет ключевую роль в работе оптических сенсоров на резонаторах с МШГ и определяет их предельную чувствительность. Существует несколько методоврешения данной задачи. Первый подход основан на аналитическом решении характеристического уравнения в случае сферического микрорезонатора в приближении тонкого диэлектрического слоя на его поверхности. Второй использует адиабатический инвариант и тензорМаксвелла, что делает его более общим и, в отличие от решения характеристического уравнения, позволяет рассчитывать поправки для микрорезонаторов более сложной геометрии.Этот метод эквивалентен известному методу теории возмущений.Рассмотрим сферический микрорезонатор и покажем, что поглощение в тонком слое наповерхности резонатора по разному влияет на добротность TE и TM мод.

Выражения длясдвигов, полученные для сферических микрорезонаторов, обычно можно использовать какхорошее приближение и для микрорезонаторов сфероидальной и тороидальной формы. Следует отметить, что в литературе существуют различающиеся выражения для оптическихпотерь в поверхностном слое, имеющие разные зависимости от длины волны и размера резонатора [125–129].553.2Расчет поправок для тонкого слоя3.2.1Характеристическое уравнение3.2.1.1Диэлектрическая сфераСобственные частоты сферического резонатора с простейшим граничным условием Дирихле для электрического поля (металлическая граница) определяются корнями сферическихфункции Бесселя (2.11). Для диэлектрических резонаторов на границе поле не обращается в0, и необходимо учитывать различные граничные условия для компонент поля. Вследствиеизменения граничных условий поле частично «выпадает» из резонатора, что приводит ксдвигу собственной частоты.

Так как сдвиг мал по сравнению с собственными частотами модШГ, то будем называть его поправкой. Выражение для нее определяется [20]nP/Pe,∆(nk0 a) = − pn2 − n2e(3.2)где ne — показатель преломления среды, окружающей резонатор, а P и Pe равны 1 для TEмод и 1/n2 и 1/n2e для TM мод соответственно.Точность этого выражения для мод шепчущей галереи составляет ∼ αq (2/m)2/3 [20, 29,130], где αq – qтый корень функции Эйри, и потому слабо зависит от индекса q для большихm (мод с большой добротностью).На рис.

(3.1) показаны результаты численного анализа характеристического уравнениявблизи корней функции Бесселя с q ≥ 1. Как видно из графика, поправки очень слабозависят от q. Существенные отклонения для мод с q > 6 при m = 100 обусловлены быстрымухудшением локализации и, соответственно, излучательной добротности мод [29].3.2.1.2Поправки тонкого слояРассмотрим оптический сферический резонатор с тонким слоем пробного оптического материала на поверхности толщиной d ≪ λ (λ – длина волны) с другим показателем преломленияnp (рис. (3.2)). Так как детектирование вещества может происходить не только в воздухе [131],но и, например, в растворах [132], то окружающая резонатор среда выбирается с показателемпреломления, отличным от 1. Для того, чтобы рассчитать поправку для собственной частотынужно воспользоваться условием сшивки для тангенциальных составляющих полей дважды:на границе между резонатором и слоем и между слоем и окружающий средой:~ res |a = E~ l |a , B~ res |a = B~ l |a ,Eττττ(3.3)~ τl |a+d = E~ τext |a+d , B~ τl |a+d = B~ τext |a+d ,E(3.4)56-0.5-1.0-1.5-2.0-2.5TE-3.0mmmmppppTM=100TE=1000TM-3.5=100=1=1000=1=1=1TETM-4.0-4.5012345q67891011Рис.

3.1: График зависимости поправки для диэлектрического резонатора от индекса модыq~ иB~ электрическое и магнитное поля, а индексы res, l и ext соответствуют полям внутригде Eрезонатора, внутри слоя и в среде соответственно.Этот метод нахождения сдвига собственных частот позволяет найти поправку с любойточностью, так как не использует никаких дополнительных условий.

Рассмотрим наиболеепростой случай, допускающий аналитическое решение, когда резонатор имеет сферическуюформу. Используя решение в виде (2.7), выберем функцию ψℓ (nk0 r), в слое αψℓ (np k0 r) +βχℓ (np k0 r) и снаружи γχℓ (ne k0 r). При этом мы пренебрегли ψℓ (ne k0 r) в среде ввиду ее малости в области от 0 до ее корней по сравнению с функцией χℓ (k0 r).

Используя граничныеусловия, можно получить систему уравнений на границе резонатора и слоя:11√ ψℓ (nk0 a) = p (αχℓ (np k0 a) + βχℓ (np k0 a)) ,np Ppn P√ ′pP ψℓ (nk0 a) = Pp (αψℓ′ (np k0 a) + βχ′ℓ (np k0 a))57(3.5)(3.6)Рис. 3.2: Распределение поля в резонаторе и слое для фундаментальной модыи аналогично на границе слоя и средыnp11p (αψℓ (np k0 (a + d)) + βχℓ (np k0 (a + d))) = √ γχℓ (ne k0 (a + d),ne PePpppPp (αψℓ′ (np k0 (a + d)) + βχ′ℓ (np k0 (a + d))) = Pe γχ′ℓ (ne k0 (a + d)),(3.7)(3.8)где α, β и γ определяют отношение амплитуд поля в средах и Pp равно 1 для TE мод и1/n2p для TM мод. В общем виде эта система относительно k0 не разрешается, но ее удаетсяразрешить в допущении тонкого слоя, много меньшего радиуса резонатора и длины волны.Разложим члены в уравнениях, содержащие d, по малому параметру η = d/a и избавимсяот вторых производных, воспользовавшись дифференциальным уравнением для функцийРикатти-Бесселя:√P ′1√ ψℓ (nk0 a) + k0 dψ (nk0 a) = γ (χ′ℓ (ne k0 a) + k0 dχ′ℓ (ne k0 a))Pp ℓn P√l(l + 1) n2p Pp√ ψℓ (nk0 a) =P ψℓ (nk0 a) − k0 d 1 − 2 2 2np k0 an Pl(l + 1′= Pe γ χℓ (ne k0 a) − ne k0 d 1 − 2 2 2 χℓ (ne k0 a)ne k0 a(3.9)(3.10)Так как влияние слоя мало, то поправку ∆p можно рассчитывать какnk0 a = tm,q + ∆0 + ∆p58(3.11)Учитывая малость поправки, из характеристического уравнения вблизи корней функции Бесселя можно получить выражения, связывающее функции второго рода с их производнымиψℓ (tm,q + ∆) = ∆ψℓ′ (tm,q ),pχ′ℓ (ne k0 a) = n2 /n2e − 1χℓ (ne k0 a).(3.12)(3.13)Подставив выражения ((3.12)) и ((3.13)) в ((3.9)) и в ((3.10)), разделив первое уравнение навторое, можно получить:1nPp(∆0 + ∆1 ) + k0 d P1p1 − k0 d n2 − n2e−1.=√k0 dn2 Ppne Pe n2 − 1 1 + √ne k2 0 d 1 − l(l+1)1 + P √np2 −1 1 − l(l+1)z2k 2 a2n −1e(3.14)0Уравнение разрешается относительно ∆pPp∆p = −nk0 dPen2p Pp − n2 PePen2 Pe − Pp l(l + 1)++PpPe (n2 − n2e )Pe n2 − n2e k02 d2!.(3.15)Учитывая, что Pp равно 1 или 1/n2p в зависимости от типа моды и nk0 a ≈ ℓ, можно получитьдостаточно простое выражение:∆p = −nk0 dn2p − n2e(1 + n2e (Pp − P ))n2 − n2e(3.16)Это выражение согласуется с полученным в более ранних работах [133], но при этом имеет более простой вид.

Так как в микрорезонаторных биосенсорах детектируемые величиныкрайне малы [134] и практически не зависят от членов l−1/3 , то для большинства приложенийвыражение ((3.16)) хорошо описывает величину поправки.Используя полученное выражение, также можно рассчитать изменение добротности резонатора, вносимое тонким слоем при наличии в нем затухания. Как было показано в работах [126, 135], такие потери из-за поглощения в тонком слое воды на поверхности резонаторамогут очень существенно ограничивать добротность реального резонатора.

Пусть показательпреломления слоя можно записать в виде np → npr − in′′p , где n′′p = −αp /2k0 (αp – оптическиепотери в материале), тогда Qp =nk0 a2Im(∆p )Q−1p,T Mиd 4nrQ−1n′′ ,p,T E ≈a n2 − n2e p 2n4en − n2e−1+ 4 .≈ Qp,T En2np59(3.17)3.2.2Расчет через тензор МаксвеллаЧтобы рассчитать поправки для тонкого слоя, воспользуемся еще одним методом электродинамики.При медленном адиабатическом изменении параметров системы величины, называемыеадиабатическими инвариантами, не изменяются. В частности:∆A∆ω=−,Eω(3.18)где ∆A — работа пондеромоторных сил давления света по перемещению границы адсорбированного слоя, E — энергия поля.

Так как микрорезонатор с диэлектрической границейявляется открытой системой, то интеграл энергии во всем пространстве расходится. Существуют разные методы обхода этого ограничения [29]. В настоящей работе в качестве энергииполя выберется энергия, сосредоточенная внутри резонатора, что является хорошим приближением для высокодобротного микрорезонатора и обеспечивает сходимость интеграла.Чтобы получить изменение собственных частот адиабатически увеличим толщину слояна поверхности резонатора от 0 до d. Чтобы найти работу поля внутри слоя нужно получитьразницу давления световой волны в слое и в окружающем слой пространстве.

При этомудобно воспользоваться тензором Максвелла σij в среде с диэлектрической проницаемостьюǫ [136]:σij =14πǫEi Ej + Hi Hj −ǫE 2 + H 2δij2,(3.19)который необходимо использовать в сферических координатах. Разницу давлений на поверхности сред с показателями преломления ǫp и ǫe можно получить какp = σrr |in − σrr |out =(ǫp − ǫe ) ǫp 2 2Er + Eφ + Eθ2 .8πǫe(3.20)Для получения работы нужно проинтегрировать силу на всей внутренней поверхности слоя,действующую на элементарную площади поверхности dS, на толщине слоя в данной точкеповерхности.

Так как толщина слоя мала и предполагается одинаковой на всей поверхностирезонатора, то изменением напряженности поля в слое мы пренебрегаем:RdS(pd)∆ω=−,ωE60(3.21)где энергия поля в резонаторе определяется по формулеE=Z1ǫE 2 dV.4π(3.22)Это выражение совпадает с выражением, полученным другим методом из обобщения теории возмущения границы двух диэлектриков с ǫ1 и ǫ2 , полученным в [137]:dE=dαZdA (0) 2 idh h(0)∆ǫ12 |Ek |2 − ∆ ǫ−1,12 |D⊥ |dα(3.23)где α – безразмерный параметр, характеризующий возмущение, h(α) – смещение границы,(0)dA – элемент площади на границе, Ek(0)и D⊥ невозмущенные параллельная и нормальнаяк границе напряженность электрического поля и электрическая индукция соответственно,−1−1∆ǫ12 = ǫ1 − ǫ2 и ∆ ǫ−112 = ǫ1 − ǫ2 .Рассчитаем поправку из этого выражения и сравним ее с результатом, полученным выше,из аналитического точного решения.Поскольку угловая зависимость для TE мод в числителе и в знаменателе одинаковая,выражение ((3.21)) сводится кpda2∆ω= −R 2 2 .ωE r dr(3.24)Для расчета TE мод интеграл в знаменателе берется:Z0aCT2 M2n k02 ℓ(ℓ +1)πnk0 rJℓ+1/2 (nk0 r)2 dr =2C2πa2 = 2 2 TMJℓ+ 21 (nk0 a)2 − Jℓ− 21 (nk0 a)Jℓ+ 32 (nk0 a) .

(3.25)n k0 ℓ(ℓ + 1) 4nk0Так как для МШГ ℓ ≈ m ≫ 1 велико, то′′′Jℓ+1 (nk0 a) ≈ Jℓ− 1 (nk0 a) ≈ Jℓ+ 3 (nk0 a) = G.222(3.26)Электрическое поле для TE мод тангенциальное и не имеет компонент, направленных перпендикулярно поверхности, и в слое будет отличаться в n2p /n2 раз. Пользуясь этим, полев слое можно выразить через поле на границе внутри резонатора.