Диссертация (Моды шепчущей галереи в неидеальных оптических микрорезонаторах. Методы аппроксимации), страница 12

Подставляя полученныевыражения в ((3.24)) можно получить:n2p − n2e d∆ω=− 2ωn − n2e a61(3.27)и соответственно:∆(nka) = −nkdn2p − n2e.n2 − n2e(3.28)Для TM мод электрическое поле имеет также нормальную к поверхности компоненту.Интегрируя отдельно угловые части для всех трех компонент поля и оценивая их радиальныечасти можно получить, что θ компонента поля много меньше двух других компонент.Получая интегралы для радиальных части энергии поля TM мод:!′2ramπG2C2πnk0 rCT2 MJℓ+1/2 (nk0 r),dr = 2 T M22k0 l(l + 1)80 k0 l(l + 1)!2r1aπG2C2πnk0 r(2nk0 a + m),Jℓ+1/2 (nk0 r) dr = 2 T Mnk0 r2k0 l(l + 1) 8m2ZZ0aCT2 M2k0 l(l +1)a(3.29)(3.30)можно получить:RT M =CT2 M amπG2.k02 l(l + 1)8(3.31)Упростить выражения для поля в слое можно, пользуясь условиями сшивки и разложениямидля функций Рикатти-Бесселя:πnk0 aC2Rl = 2 T Mk0 l(l + 1) 2n4 2 2G ∆ + G2n2p=CT2 M πnk0 a 2 n2 n2e + n2p n2 − n2p n2eG.k02 l(l + 1) 2n2p (n2 − n2e )(3.32)Таким образом, для TM моды относительная поправка для собственной частоты:n2p − n2e d n2 n2e + n2p n2 − n2p n2e∆ω.=− 2ωn − n2e an2 n2p(3.33)Полученный результат сходится как с результатом, полученным с помощью характеристического уравнения, так и с результатами, полученными ранее в работе ( [133]).3.3ЗаключениеВ настоящей работе были продемонстрированы новые подходы к оценке сдвига собственныхчастот при осаждении тонкого диэлектрического слоя на поверхности резонатора.

Приведенные методы подтверждают результаты, полученные ранее с использованием возмущениявекторного уравнения Гельмгольца [133], но при этом обладают большей простотой, меньшимколичеством допущений и физической ясностью. Исходя из рассчитанных поправок, былиполучены комплексные добавки к частоте из-за наличия поглощения в слое, определяющие62зависимость оптических потерь от длины волны и размера резонатора, и показано, что дляTE и TM мод они различны. Кроме того, рассматривалась зависимость простой диэлектрической поправки от радиального индекса q, и также было показано, что для q ≤ 6 поправкиможно считать постоянными, а для мод высших порядков их нужно учитывать более точно.Эти результаты опубликованы в [169], [1].63Глава 4Связь РШГ с призмой4.1Обзор литературыСреди возможных способов связи с микрорезонаторами можно выделить два.

Первый - этосвязь свободным пучком и использование элементов связи, в большинстве своем основанныхна использовании "выпадающего" поля. И второй - когда при полном внутреннем отражении в резонаторе или элементе связи существует поле снаружи, напряженность которогоэкспоненциально спадает с расстоянием [91]. Каждый из этих способов имеет свои сильныеи слабые стороны. Рассмотрим детальнее принципы их работы.4.1.1Взаимодействие со свободным пучкомТак как добротность резонатора с МШГ не бесконечна, существует вытекающее из резонатора поле.

В соответствии с принципом локализации для возбуждения резонатора свободнымпучком необходимо сфокусировать излучение тангенциально на границе внешней каустикирезонатора, то есть на таком расстоянии от резонатора, что тангенциальная составляющаяскорости волны равна скорости света [29]. Так как добротность резонаторов с МШГ достаточно велика, то, по принципу взаимности, связь с пучком также крайне мала.Для достижения приемлемых уровней связи используются различные методы.Наиболее очевидный метод — добавление дефекта или рассеивающего центра на или уповерхности резонатора. При этом вблизи дефекта нарушается условие полного внутреннегоотражения и усиливается излучение. Чем больше выходит поле из области с дефектом, темменьше становится добротность резонатора и тем большую связь можно получить.

В работе[138] теоретически исследовалось добавление дефекта внутрь резонатора и было показано,что небольшой дефект внутри резонатора добавляет эмиссию поля из резонатора вблизисебя, при этом сохраняя гладкую поверхности резонатора и высокую добротность. Крупные64дефекты не дают возможности получить высокодобротные моды.Для получения хорошей связи можно использовать не осесимметричные резонаторы. Взависимости от формы резонатора можно получать разное количество областей с увеличенной эмиссией. Подробное теоретическое исследование и объяснения возбуждения с помощьюквантовой теории рассеяния можно найти в [139].Существуют также экзотические методы, позволяющие получить связь с осесимметричным резонатором без дефектов.

В работе [140] проводится численное моделирование резонатора с волноводом, подведенным перпендикулярно поверхности резонатора. Утверждается,что за счет интерференции возможна связь до 75%.4.1.2Условие фазового синхронизмаУсловие фазового синхронизма крайне важно для возбуждения мод резонатора с МШГ. Длятого, чтобы условие фазового синхронизма выполнялось, необходимо, чтобы тангенциальныесоставляющие волнового вектора в резонаторе и в элементе связи были близки:kdevice ≈ kresonator(4.1)Чем с большей точностью выполняется данное условие, тем больших величин связи можнодостичь.4.1.3Связь с помощью волоконПри нарушении структуры оптического волокна часть света начинает "выпадать" из него.В эту область подносят резонатор, и при выполнении условия фазового синхронизма, которое заключается в близости эффективного показателя преломления волокна и резонатора,происходит возбуждение.Наиболее распространенным является метод связи резонаторов с МШГ с растянутым волокном [141].

Для того, чтобы получить растянутое волокно, обычное оптическое волокнона требуемую длину волны локально нагревают лазером или горелкой, затем растягиваютобычно при помощи специальных установок. При этом нагретая область утончается до характерных толщин в 1мкм. Данный процесс достаточно сложен, так как растянутое волокнодовольно хрупкое. Его толщина вдоль растянутой области зависит и от температуры и от еераспределения в нагретой области, а также скорости растягивания. В настоящей момент несуществует коммерческих установок по растягиванию волокна.Впервые успешная связь с волокном была продемонстрирована в [142] для сферическихмикрорезонаторов.

В работе экспериментально была получена связь с низкодобротным резонатором (Q ≈ 2.5 × 105 ) с Гаусовым полем волокна с сравнительно небольшой эффектив65ностью в 1%. В дальнейшем эффективность связи с волокном значительно возросла: длядобротных резонаторов (Q > 106 ) в эксперименте [143] был достигнут коэффициент связи90%.

Наибольшая связь с резонатором с МШГ с помощью растянутого волокна достигала99.97% [144].Процесс связи с волокном достаточно хорошо исследован и оптимизирован, в том числеаналитически. Первое моделирование связи цилиндрического микрорезонаторах с волноводом (и аналогично с призмой) было выполнено в [145]. В этой работе впервые продемонстрировано наличие оптимального расстояния от волновода до резонатора для резонансноговозбуждения, обусловленного особенностями пространственного распределения полей.

В работе [146] численно была рассмотрена связь фундаментальной моды сферы с МШГ с фундаментальной модой волокна. При этом было показано, что для оптимальной связи сфераи волокно должны касаться друг друга, причем при увеличении расстояния между нимиэффективность связи падает. Также для достижения максимальной связи диаметр волокнадолжен быть примерно на 30% меньше необходимого значения для идеального фазового синхронизма. Кроме того, было отмечено, что TE моды имеют большую эффективность связипо сравнению с TM модами.Существуют также методы связи с волокном, не связанные с растяжением волокна.

Полированные волокна позволяют получить эффективность связи около 10% [147]. Сточенные сторца оптические волокна, называемые "пигтэйлами" [148] позволяют достичь эффективности связи 60%. В работе [149] была продемонстрирована связь с протравленным волокном сфотонно-кристальной серединой. После процесса травления оставалась сердцевина волокна,размером около 2мкм, с которой связывали резонатор, и края, препятствующие механическим воздействиям.

Резонатор вносился между краями и сердцевиной. Связь в такой схемепродемонстрирована до 51%. Так как протравленое волокно образует Фабри-Перо резонатор,то в схеме были обнаружены резонансы Фано, форма которых зависела от частоты света игеометрических параметров волновода.В последнее десятилетие идет активная работа в разработке методов увеличения стабильности и устойчивости к внешним факторам схем с растянутым волокном. В [150] былапродемонстрирована связь резонатора с приваренным к нему волокном. Данная схема невносит значительных потерь на прохождение света по волокну, значительно увеличиваетстабильность связи к вибрациям и воздушным потокам, но, к сожалению, обладает достаточно высоким уровнем связи. В работах [151] и [152] были продемонстрированы резонаторыс добротностями 107 и 108 , помещенные в диэлектрик с небольшим показателям преломления, и коэффициентами связи 50% и 81% соответственно.

Также было показано, что такиесистемы могут являться хорошими датчиками. В частности, в [152] был продемонстрировандатчик температуры с чувствительностью до 1.1 × 10−4 K.664.1.4Связь в дифракционными решеткамиОтносительно новым методом связи является связь с помощью дифракционных решеток.Они могут быть нанесены поперек распространения света или вдоль него. Особенностьюдифракционных решеток является возможность возбуждения волн сразу в 2-х направлениях,а также падающим нормально к поверхности резонатора пучком.В работе [153] была экспериментально получена связь резонатора с помощью дифракционной решетки из 6 штрихов, напыленной на диэлектрик.

Эффективность связи достигала75%. Так же при связи с дифракционной решеткой наблюдались резонансы Фано из-за взаимодействия аномалий Вуда, возникающих из-за резонансного возбуждения поверхностныхволн в решетке, и резонаторе с МШГ.В [154] рассматривается новый подход к связи через дифракционные решетки с большимпериодом, сделанные внутри волокна вне растянутой области.

Решетка позволяет возбудитьмоды высокого порядка, которые затем распространяясь в растянутой области позволяютсвязываться с определенными модами резонатора. С помощью такого метода можно возбуждать TE и TM моды одновременно. Так же было оптимизировано возбуждение мод высокихпорядков с помощью подбора дисперсии, вносимой волноводом. В [154] было также показано,что растянутые волокна с длиннопериодной решеткой, возбуждая различные моды оплетки, позволяют делать область с растянутым волокном до 10 раз толще, что обеспечиваетбольшую устойчивость к внешним воздействиям относительно обычных схем по возбуждению резонатора растянутым волокном.

Эффективность в эксперименте с такими решеткамидостигала 22%. В [155] в эксперименте использовались длиннопериодные решетки, расположенные до области растянутого волокна, и короткопериодные дифракционные решетки,расположенные после, возвращающие измененные первой решеткой моды к исходным, одновременно, что позволило возбуждать разные резонаторы на одном волокне разными длинамиволн при достаточно высоком коэффициенте связи, достигающем в эксперименте 60%.4.1.5Другие способы связиСуществуют также другие методы связи с резонаторами с МШГ.В работе [156] была продемонстрирована связь резонатора с полосковым антирезонансным пьедесталом на уровне 98%.

Для кварцевого микрорезонатора полосок был сделан изслоев Si и SiO2 и был оптимизирован на минимальные потери на исследуемой длине волны (1.55мкм). Данный вид связи так же является достаточно устойчивым к механическимвоздействиям.674.1.6ПризмаИсторически использование призмы было первым предложенным методом связи с резонатором с МШГ [2], и этот метод, по-прежнему, является наиболее простым и позволяющимполучить эффективность связи до 75% [157]. В настоящее время во многих экспериментахдля связи с резонаторами, форма которых отличается от сферической, также продолжаетиспользоваться призма: [158], [159], [160], [161], [162], [163].