Диссертация (Математическая модель осморегуляции объема эритроцита с учетом механических характеристик мембраны)

Центр теоретических проблем физико-химической фармакологии РАНна правах рукописиКАЛЯГИНАНадежда ВячеславовнаМАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬОСМОРЕГУЛЯЦИИ ОБЪЕМА ЭРИТРОЦИТАС УЧЕТОМ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕМБРАНЫСпециальность 03.01.02 – «Биофизика»Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:д.

б. н., профессор Ф. И. АтауллахановМосква 20152ОглавлениеВведение…………………………………………………………………………..51 Обзор литературы ………………………………….……….…………...111.1 Изучение свойств и изменений формы эритроцита.………………………...111.1.1 Особенности структуры эритроцита………………………………………..111.1.2 Механические свойства мембраны эритроцита……………………………161.2 Методы определения механических характеристик мембраны эритроцита331.2.1 Определение жесткости при сдвиге µ .…………………………………...341.2.2 Определение изгибной жесткости D….……………………………………351.2.3 Определение жесткости при растяжении К……………………………….361.3 Исследование механических характеристик и процессов деформированияотдельных компонентов мембраны эритроцита…………………………………391.4 Механические свойства эритроцитов при серповидноклеточной анемии.451.5 Ионный обмен и регуляция объема эритроцита……………………………..471.6 Расчет проницаемости ионных каналов, образованных амфотерицином B511.7 Модели пор в липидных мембранах………………………………………….541.8 Заключение……………………………………………………………………..572 Методы исследования………………………………………………...602.1 Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной схемой…602.2 Cходимость схемы Эйлера…………………………………………………….612.3 Многошаговый метод Адамса ………………………………………………..632.4 Методопределенияначальныхусловийдля нелинейныхдифференциальных уравнений первого порядка (задача Коши)………………653 Результаты……………………………………………………………..663.1 Математическая модель деформирования мембраны эритроцита, основанная на нелинейной безмоментной теории тонкостенных оболочек с учетом больших деформаций и перемещений………………………………………663.1.1 Общие положения……………………………………………………………663.1.2 Энергия деформации и закон упругости мембраны эритроцита при3больших перемещениях и деформациях…………………………………………693.1.3 Уравнения равновесия………………………………………………………723.1.4 Упругое расширение мембраны эритроцита в процессе гемолиза…..753.1.5 Математическая модель деформирования мембраны эритроцита, в которой учтено как изменение площади поверхности, так и изменение формы76(α ≠0, β ≠ 0) ……………………………………………………………………….3.2 Расчет деформирования мембраны эритроцита при микропипеточнойаспирации……………………………………………………………………..........773.3 Определение изгибной жесткости мембраны эритроцита…………………..833.3.1 Вывод соотношений упругости методом минимальных жесткостей……833.3.2 Расчет изгибной жесткости мембраны эритроцита………………………..873.3.3 Сопоставление изгибной и безмоментной моделей………………...……..893.4 Математическая модель осморегуляции объема эритроцита с учетом механических характеристик мембраны ……………..…………….....................953.4.1 Метод расчета регуляции объема эритроцита с учетом упругого воздействия мембраны на обменные процессы……………………................................953.4.2 Расчет обменных процессов и изменений объема эритроцита, учитывающий механические свойства мембраны эритроцита………………………1013.4.2.1 Влияние амфотерицина В на концентрации ионов и объем эритроцитов ………...………………………………………………………….......................1013.4.2.2 Влияние осмотичности внешней среды на объем эритроцита………….

1043.4.3 Метод расчета процесса деформирования поры в мембране эритроцита.. 1083.4.3.1 Схема расчета деформирования поры в липидном бислое…………......1103.4.3.2 Вычисление радиуса поры в липидной мембране для случая, когдаплощадь поверхности при деформации остается неизменной ………...………1123.4.3.3 Вычисление радиуса поры в липидной мембране с учетом растяженияплощади поверхности ………………………..…………………………………....

1153.4.3.4 Результаты вычисления диаметра поры в мембране эритроцита………116Заключение………………………………………………………………………. 120Основные результаты и выводы………………………………………. 1274Приложение А Расчет проницаемости ионных каналов, образованных амфотерицином B………………………………………………………………..............129Приложение В Расчет кинетики изменений объема и концентраций ионов сучетом увеличения проницаемости липидной мембраны за счет дефектовтипа пор132Список публикаций автора…..……………………………………………………134Список литературы………………………………………………………………..1355ВведениеОсновной функцией эритроцита является транспорт кислорода.

В последнеевремя предлагается расширить функцию эритроцита, используя его в качествеконтейнера для лекарств, когда осмотический метод является наиболее распространенным способом включения веществ в клетку. В этом случае эритроцитыпомещают в гипотонический раствор, содержащий вводимое вещество.Мембрана эритроцита легко проницаема для воды. С уменьшением концентрации осмотически активных веществ вне клетки поток воды, согласно законуосмоса, поступает внутрь.

При этом мембрана эритроцита испытывает нагрузкуот гидростатического давления поступающей внутрь воды и натягивается. В растянутой при осмотическом набухании мембране образуются обратимые сквозныедефекты (поры), которые увеличивают ее проницаемость для электролитов и внорме непроникающих больших молекул (гемоглобина, интермедиатов гликолизаи др.) и обуславливают гемолиз.

При использовании эритроцита в качестве контейнера в эти же поры из внешней среды поступают лекарственные вещества.Эффективность загрузки лекарственных веществ зависит от диаметра пор и скорости транспортных процессов. Закрытие пор происходит при повышении концентрации раствора вне клетки, мембрана восстанавливает целостность и принимает свою нормальную двояковогнутую форму. Однако сложность и разнообразие протекающих в эритроцитах процессов затрудняет анализ их взаимосвязи.Для осуществления целенаправленных исследований представляется необходимым проводить численные эксперименты на модельных системах.Существует ряд работ, в которых разработана математическая модель регуляции объема эритроцита (Тостесон, 1960; Джекобсон, 1980; Атауллаханов, 1983).В этих работах основное внимание уделено физико-химическим процессам, описанию пассивных и активных потоков ионов через мембрану.

Показано, как система ионных насосов иканалов в мембране клетки (Na+,K+-насос, Ca2+-активируемые K+-каналы) обеспечивает заданный объем клетки и его стабилизацию. Форма и объем эритроцита зависят также от величины осмотического давления и механических свойств мембраны, представляющей собой гиперупругую6оболочку с характерными механическими свойствами: малой жесткостью присдвиге и значительной жесткостью при растяжении.Разработанный И.Н.

Ивенсом и Р. Скейлаком в 1973 году метод расчетаформы эритроцита основывался на одном из вариантов нелинейной теории тонкостенных оболочек, в которой равновесная конфигурация оболочки при изотропной нагрузке поддерживается за счет внутренних силовых факторов: натяжений,изгибающих моментов и поперечных сил. Эта модель в дальнейшем получила название изгибной модели (Ивенс, Скейлак, 1982). Соотношения для упругихсвойств материала мембраны были получены вариационными методами, исходяиз выражения удельной потенциальной энергии деформации (упругого потенциала). Выбор упругого потенциала осуществлен на основе экспериментальных исследований механических характеристик материала мембраны.

Были полностьюопределены механические характеристики материала оболочки: жесткость присдвиге – µ, при изгибе – D, при растяжении – К. Однако изгибная модель неустойчива при больших деформациях и натяжениях из-за малой жесткости при изгибе, что затрудняет ее использование при значительных давлениях. Из общейтеории тонкостенных оболочек следует, что в расчетах необходимо учитыватьупругость при изгибе, если при деформировании оболочка приобретает форму,имеющую участки с кривизной разного знака. В случае однородной кривизны дляопределения ее напряженно-деформированного состояния применимы уравнениябезмоментной теории, согласно которой оболочка воспринимает нагрузку толькоза счет натяжения (соответствующая модель далее называется безмоментной).Уравнения безмоментной модели не содержат малого параметра – изгибной жесткости, что обеспечивает численную устойчивость методов расчета при большихдеформациях и натяжениях.

Безмоментная модель применима для исследованияосмотического набухания эритроцита, которое происходит в случае увеличенияпроницаемости мембраны или в гипотонической среде. При этом изменение натяжения мембраны эритроцита может оказывать воздействие на протекание обменных процессов. В связи с этим, актуальной задачей является разработка безмоментной модели мембраны эритроцита для описания изменений объема эрит-7роцита в зависимости от величины осмотического давления в широком диапазонеего значений. Модель, описывающая процессы регуляции ионного обмена и объема эритроцита с учетом упругого деформирования мембраны, позволит оценитьроль упругости мембраны в регуляции объема эритроцита, исследовать процессдеформирования пор (разрывов) в мембране при повышенных значениях осмотического давления и установить связь гемолиза с механическими нагрузками.

Модель позволит также разработать и оптимизировать способы введения лекарственных препаратов в эритроциты.Цель работы: выяснение роли механических свойств мембраны эритроцитав регуляции объема при его осмотическом набухании.Задачи работы:– разработка и обоснование математической модели упругого деформирования мембраны эритроцита как безмоментной тонкостенной оболочки с возможностью больших перемещений и деформаций под действием осмотического давления (безмоментная модель);– сопоставление результатов расчета по двум моделям (безмоментной и изгибной) для определения степени влияния изгибных эффектов на деформированное состояние эритроцита при малых значениях осмотического давления;– разработка математической модели регуляции объема эритроцита с учетом механических характеристик мембраны и исследование зависимости от нихобменных процессов (трансмембранный транспорт ионов и воды);– разработка метода расчета процесса деформирования локального дефектатипа поры в растянутой под действием осмотического давления мембране эритроцита с учетом зависимости диаметра поры от поверхностного натяжения и механических характеристик липидного бислоя и геометрических параметровструктурных элементов мембраны.Методы исследования: численные методы интегрирования нелинейныхуравнений, выполненные по схеме Эйлера и с использованием многошагового метода Адамса в сочетании с методом секущих для определения начальных условий; метод редукции для анализа устойчивости алгоритмов расчета; метод раз-8ложения по малому параметру; метод минимальных жесткостей для многослойных оболочек.

Численные методы реализованы с применением стандартных пакетов аналитических вычислений.Научная новизна:– разработана и обоснована модель упругого деформирования мембраныэритроцита как безмоментной тонкостенной оболочки с возможностью большихперемещений и деформаций под действием осмотического давления. Впервыеопределена степень воздействия изгибных эффектов на деформирование мембраны эритроцита.