Автореферат (Контрастные структуры для обобщённого уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова)

Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèØàðëî Àëåíà ÑòàíèñëàâîâíàÊîíòðàñòíûå ñòðóêòóðû äëÿ îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿÊîëìîãîðîâàÏåòðîâñêîãîÏèñêóíîâàÑïåöèàëüíîñòü 01.01.03 - ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêàÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà 2015Ðàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÌîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÁûêîâ Àëåêñåé Àëåêñàíäðîâè÷,Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîðÁîáîäæàíîâ Àáäóõàôèç Àáäóðàñóëîâè÷,Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêèÔåäåðàëüíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî áþäæåòíîãîîáðàçîâàòåëüíîãî ó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾Íàöèîíàëüíûéèññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò ¾ÌÝÈ¿Íåñòåðîâ Àíäðåé Âëàäèìèðîâè÷,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð êàôåäðû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêèÃîñóäàðñòâåííîãî áþäæåòíîãî îáðàçîâàòåëüíîãîó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ãîðîäà Ìîñêâû ¾Ìîñêîâñêèé ãîðîäñêîéïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò¿Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå àâòîíîìíîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò ¾ÌÈÝÒ¿Çàùèòà ñîñòîèòñÿ ¾¿2015 ã.

â÷àñîâ íà çàñåäàíèè äèññåðòà-öèîííîãî ñîâåòà Ä 501.002.10 ïðè Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòåèìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119991, ã. Ìîñêâà, Ëåíèíñêèå ãîðû, ÌÃÓ,ä. 1, ñòð.2, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò, ÑÔÀ.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â Ôóíäàìåíòàëüíîé áèáëèîòåêå ÌÃÓ èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà.Àâòîðåôåðàò ðàçîcëàí ¾¿2015 ãîäà.Ó÷åíûé ñåêðåòàðüäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 501.002.10äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîðÏ.À. ÏîëÿêîâÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÐàáîòà ïîñâÿùåíà ðàçâèòèþ ìåòîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿäïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà íà íîâûé êëàññ çàäà÷, à èìåííî, íà íà÷àëüíîêðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ,òàêíàçûâàåìîãîóðàâíåíèÿÊîëìîãîðîâàÏåòðîâñêîãîÏèñêóíîâà(ÎÊÏÏ).Óðàâíåíèå ÎÊÏÏ îïèñûâàåò íåêîòîðûå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû â ïîëóïðîâîäíèêàõ [7].

Íà÷àëüíîêðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ èìååò âèä:− u) + k∆u − f (u, x) = 0, x ∈ D, t ∈ (0, T ),u(x, t) = µ0 (x, t), x ∈ ∂D, t ∈ (0, T ),u(x, 0) = u0 (x), x ∈ D.∂∂t (∆u(1)Àêòóàëüíîñòü òåìûÌàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðèâîäÿò êäèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ. Èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðûå óðàâíåíèÿ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõïðîèçâîäíûõ èìåþò ðåøåíèÿ âèäà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû (ÊÑ) [3].  äàííîéðàáîòå èçó÷àþòñÿ ÊÑ òèïà ñòóïåíüêè, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíî íàëè÷èå ïðîòÿæåííûõ îáëàñòåé, â êîòîðûõ ðåøåíèå áëèçêî ê îäíîìó èç óðîâíåé íàñûùåíèÿ(òàêèå îáëàñòè íàçûâàþòñÿ ïÿòíàìè) è óçêèõ îáëàñòåé, â êîòîðûõ ðåøåíèå èçìåíÿåòñÿ îò îäíîãî èç óðîâíåé íàñûùåíèÿ äî äðóãîãî (äàííûå îáëàñòè íàçûâàþòâíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè (ÂÏÑ)).Áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò íåñòàöèîíàðíûå ÊÑ, â êîòîðûõ ôðîíò ïåðåìåùàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðîöåññîâ ïåðåíîñà è äèôôóçèè â íåîäíîðîäíîé ñðåäå.Îäíèìè èç îñíîâíûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ÊÑ ÿâëÿþòñÿ ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà è ìåòîääèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ [3]. ðàáîòå ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà è ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèéîáîáùàþòñÿ íà êëàññ ïñåâäîïðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé óðàâíåíèå ÎÊÏÏ, èìåþùåå ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ðåøåíèå âèäà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû òèïàñòóïåíüêè.Óðàâíåíèå ÎÊÏÏ îïèñûâàåò ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â ïîëóïðîâîäíèêàõ[7].

 ðàáîòå [7] ïðèâåäåíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ôèçè÷åñêèõ çàäà÷, ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè êîòîðûõ ïðèâîäÿò ê ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèÿì. Ðàññìàòðèâàåìûé íàìè â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñëó÷àé êóáè÷åñêîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ èìååò øèðîêîå ôèçè÷åñêîå ïðèìåíåíèå, íàïðèìåð, â çàäà÷àõ àñòðîôèçèêè [4], à òàêæå ïðè îïèñàíèè òàê íàçûâàåìîãî ýôôåêòà Îëëà â äèíàìèêåïîïóëÿöèé [10].3Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðèñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ (íàïðèìåð,∂422∂t (ε ∆u−ε u)+kε ∆u−f (u, x, ε)ÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîé, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèε = 0= 0,ε > 0)óðàâíåíèå èçäèôôåðåíöèàëüíîãî â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðåâðàùàåòñÿ â àëãåáðàè÷åñêîå.Ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûå óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò øèðîêèé êëàññ çàäà÷, âñòðå÷àþùèõñÿ â ôèçèêå, õèìèè, áèîëîãèè. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ââåäåííîãî ìàëîãîïàðàìåòðàεñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ïîçâîëÿåò îïèñàòü òàê íàçûâàåìûå áûñò-ðûå è ìåäëåííûå âî âðåìåíè ïðîöåññû.Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè äåòàëüíî èçó÷åíû ïðîöåññû äðåéôà ôðîíòîâ ÊÑ äëÿóðàâíåíèÿ ðåàêöèèäèôôóçèè ïðè óñëîâèè, êîãäà ñêîðîñòü äðåéôà íóëåâîãî ïîðÿäêàW0 ̸= 0è ñîõðàíÿåò ñâîé çíàê âî âñåé îáëàñòèD.Êðîìå òîãî, èçó÷åíûçàäà÷è, â êîòîðûõ ñêîðîñòü äðåéôà íóëåâîãî ïîðÿäêà ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå÷åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó.

Àêòóàëüíûì ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ òîíêèõïåðåõîäíûõ ñëîåâ â ñëó÷àå, êîãäà ñêîðîñòü äðåéôà íóëåâîãî ïîðÿäêà îáðàùàåòñÿ â íîëü â íåêîòîðîé òî÷êå, íî ïðè ýòîì ñîõðàíÿåò çíàê â åå îêðåñòíîñòè.Òàêóþ òî÷êó ìû áóäåì íàçûâàòü îñîáîé.  ðàáîòå ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñ îñîáîé òî÷êîé è ïðèâåäåì ïîëíûé àíàëèç ïðîõîæäåíèÿ ÂÏÑ ÷åðåç îñîáóþ òî÷êóäëÿ óðàâíåíèé ðåàêöèèäèôôóçèè è ÎÊÏÏ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò äàòü îòâåò íà âîïðîñ î òîì, áóäåò ëè òîíêèé ïåðåõîäíûé ñëîé îñòàíîâëåíîñîáîé òî÷êîé èëè ïðîéäåò ñêâîçü íåå. Ýòîò âîïðîñ âàæåí äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ â ïîëóïðîâîäíèêàõ, ñâÿçàííûõ, íàïðèìåð, ñ ÿâëåíèåì ïðîáîÿ.Êàê èçâåñòíî [9], åñòåñòâåííûì êëàññîì, â êîòîðîì íàäî èñêàòü ðåøåíèÿïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ÿâëÿåòñÿ êëàññ îáîáùåííûõ ðåøåíèé.

Èìååòñÿ øèðîêèé êëàññ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ çàäà÷, â êîòîðîì ñðåäû ÿâëÿþòñÿ ðàçðûâíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò. Ýòî âîçíèêàåò, íàïðèìåð, ïðè íàëè÷èè êîíòàêòà äâóõ ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ ñ îòëè÷àþùèìèñÿ ïàðàìåòðàìè.  ýòîì ñëó÷àåêëàññè÷åñêîå ðåøåíèå íå ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõïðîèçâîäíûõ. òåîðèè ÊÑ òèïà ñòóïåíüêè èññëåäóþòñÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâñ òðåìÿ êîðíÿìè èëè áîëüøèì ÷èñëîì êîðíåé. Åñëè ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîëèíîìèàëüíûå ôóíêöèè, òî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñòåïåíü ïîëèíîìà áûëà íå ìåíüøå òðåõ, ÷òî ïðèâîäèò ê òðóäíîñòÿì ïðè îáîñíîâàíèè îáîáùåííûõ ðåøåíèé.Ïîýòîìó àêòóàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä îáîñíîâàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáùåííûõðåøåíèé äëÿ ôóíêöèéf,îòëè÷àþùèõñÿ îò ïîëèíîìîâ.

 äàííîé ðàáîòå ìûðàññìîòðèì Ëèïøèö-íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ4fïî ïåðåìåííîéu.Öåëü ðàáîòûÏåðå÷èñëèì îñíîâíûå öåëè ðàáîòû:1. Ðàçâèòèå ìåòîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãîïàðàìåòðà äëÿ óðàâíåíèé áîëåå îáùåãî êëàññà, ÷åì óðàâíåíèå ðåàêöèèäèôôóçèè, à èìåííî äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé.

Ïîñòðîåíèå ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûìïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ:∂ 4(ε uxx − εν u) + kε2 uxx − f (u, x, ε) = 0, x ∈ D, t ∈ (0, T ),∂tñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè(2)u(x, t, ε) = ψ(x, t, ε), x ∈ ∂D, t ∈ (0, T ),u(x, 0, ε) = u0 (x, ε), x ∈ D,∫ φ(+) (x)ñáàëàíñèðîâàííîé ( (−)f (u, x, 0)du = 0φ (x)è ãðàíè÷íûì óñëîâèåìâ ñëó÷àåïðèx ∈ [a, b]èν = 2)è íåñáàëàíñèðîâàííîé íåîäíîðîäíîñòè(∫ φ(+) (x)φ(−) (x)f (u, x, 0)du ̸= 0äëÿx ∈ [a, b]èν = 1.)2.

Ðàçâèòèå ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ äëÿ óðàâíåíèé áîëåå îáùåãî êëàññà, ÷åì óðàâíåíèå ðåàêöèèäèôôóçèè, à èìåííî äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïîñòðîåíèå âåðõíåãî è íèæíåãîðåøåíèé óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ. Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ óêàçàííîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿäïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà è ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ.3. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ âíóòðåííåãî ïåðåõîäíîãî ñëîÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè äëÿ óðàâíåíèé ðåàêöèèäèôôóçèè è ÎÊÏÏ.4. Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñËèïøèöåâîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ.

Ðåøåíèå íà÷àëüíîêðàåâîéçàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé è ñ ðàçðûâíîé ïîxè Ëèïøèö-íåïðåðûâíîé ïîuôóíêöèåé ïëîòíî-ñòè èñòî÷íèêîâ ìåòîäîì àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿììàëîãî ïàðàìåòðà. Ïîñòðîåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî îáîáùåííûõ ðåøåíèéóêàçàííîé äàííîé çàäà÷è.5. Ðàçâèòèå ôóíêöèîíàëüíî-àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ íà÷àëüíîêðàåâûõ çàäà÷ íà êëàññ çàäà÷ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé, èìåþùèõ ðåøåíèÿ òèïà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû.5Íàó÷íàÿ íîâèçíàÍàó÷íàÿ íîâèçíà ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ðàáîòå1.

Ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðàâïåðâûå ïðèìåíåí äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿÎÊÏÏ. Ïîñòðîåíà ôîðìàëüíàÿ àñèìïòîòèêà âèäà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðûäëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ âðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà äëÿ ñëó÷àåâ ñáàëàíñèðîâàííîé è íåñáàëàíñèðîâàííîé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ.2. Ïðîâåäåíî äîêàçàòåëüñòâî êîððåêòíîñòè ïîñòðîåííîé ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè è ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ïîìîùüþ ðàçâèòèÿ ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ íà íîâûé êëàññ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ êâàçèëèíåéíûõóðàâíåíèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ.3. Îáîñíîâàíî ïðèìåíåíèå îáîáùåííîãî ïðèíöèïà ñðàâíåíèÿ äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ.4.

Ïðåäëîæåí íîâûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé ïàðàáîëè÷åñêèõ è ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðè íàëè÷èè îñîáûõ òî÷åê äëÿóðàâíåíèé ðåàêöèèäèôôóçèè è ÎÊÏÏ. Íîâèçíà ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ âïðèìåíåíèè ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé, íà îñíîâàíèè êîòîðûõ ñôîðìóëèðîâàíî è îáîñíîâàíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïðîõîæäåíèÿ è îñòàíîâà ôðîíòà ÊÑ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè.5. Äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûìïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ ñ Ëèïøèöåâîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ.