Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского, страница 6

Ц, а затем исчезают; 4) при Ь > Ьз уравнение (4.1) имеет три различных положительных корня Х, < Хз < Хз, пРичем Хо Хз < Ь < Хз Легко проверить, что система (4.13) разрешима тогда и только тогда, когда одновре- менно разрешимы 1-е уравнение системы (4.17) относительно 1 и 3-е уравнение системы (4,13) относительно д. Последнее запишем в виде: Доказывается следующим образом, Делая в (4,1) замену з = (Ь(Л и, деля его на Ь" = (2св + йс)з, полУчим следУющее УРавнение: (4й(2йз — 0)Л' ~36ЬЛ+ — ) = 64Л ~(йз — 3)Л ~ 3), (42Ц 27 3 з 2Э+ й где х - знак энергии Ь, Если при фиксированном й устремить к +оо величину Ж, то в пределе получим уравнение ~4й(2йт — 9)Л ~ 36ЬЛ) = 64Л ~(й — 3)Л ~ 3) у которого сразу находятся корни: Л = 1 кратности два, Л = О и еще один корень Л > 1; если Ь < О, то имеются простые корни Л = -1 и Л = О.

Если теперь при фиксированном й плавно уменьшать значение еа от +оо до 1 + О, то корни уравнения (4.21) легко усматриваются по точкам пересечения графиков его левой и правой части. При этом гладко деформируется только график левой части, в то время как правая часть не изменяется. Уравнение йод+8 йз+ 18йз 27 О нз теоремы 3 появляется из условия касания графиков левой и правой части (4.21), какового касания ни при одном ьз нет, если й не есть положительный корень уравнения (4.22). Рис.2-6 выполнены в Майсат( 5.0+ при следующих значениях физических парамет- со =3 с= 2. 3 4.6. 'Теорема 3 о боттовости функции ): ф~ -+ В. Теорема 3. 1. Интеграл 1: Яз — т К является ботптовским для всех регулярных значений Ь, кроме Ьо = 2со+ й с, где й — единственный положитпельный корень уравнения й" + 8 †"йз + 18йз - 27 = О.

с Приэтом О<й<1и Ьз<йв<Ьз. 2. Интеграл ~: Яьзь — т Н. имеет два вырожденных критпических значения, опьличающттхся знаками. Каждый ттз двух соответствуютцих уровней ) состоитп из двух связных компонент. Каждая компонентпа есть гомеоморфная Тз кусочно-гладкая поверхность, которая имеет негладкую особенность (ребро) вдоль вырожденной критпической окружности, реализующей нетривиальный Чикл тора. Я. ттетпверка вырожденных кртттпических окружностпей„вместе с соответствуютт~ттмтт критическими значениями, формально определлтпся также, как четпверка 30 оиружностс6 1 ~(Х, ) й Су(Ь) ( или соепаеаю4цая с нс41 чепзеерна 1"4(уз ) Г1 Су(Ь) ) э п4еорсмс й.

Яоназатпсльставо. Для каждой критической окружности достаточно доказать невырожденность в одной точке. Л-проекция (3.1) каждой критической окружности интеграла у: Яь„-4 В., кроме минимэжсных, пересекает отрезок (АВ) (рис.3-6). Пусть У- критическая окружность в Дз(Ь), точка р б У такова, что Л(р) б (АВ) и р,ур, д - локальные кооРДинаты вблизи Р (4Р(Р) = хэзэ, э(Р) = -н+4зе). КООРДинатнак повеРхность д— : -и + ае трансверсальна У в точке р. Ограничим интеграл у на эту поверхность н найдем гессиан ~4Ру(р) ~. Легко проверить, что ~~ = 0 в каждой точке р-координатной линии, проходящей через р. Заметим, что эта линия проектируетск в отрезок (АВ).

Таким образом, дзУ дз~ дз ~ — (р) = О и Хе1(4Х У(р)) = — (р) — (р), Лэлее, — (р) = дзу т(тз + р ) 1 . „э) . д4р' Ьзр ~ 2(с- р+ Ь) Введем многочлен Рь(р), отличающийся от бс(р) (р = р(р)) ненулевым множятелем: эр Рь(р) = (2р, — Зр) (-Рз — Ьзр'+ ср) + (р — Р,И-Зрз — 2Ьзр+ с)з, *'("-Т',у~~-4~ э 4 4., 1РЭ):4рс'ОЭ= й р...! Легко пуовеРить, что Я(Р) = О СЭ Рь(Р(Р)) = О, э— 1-(Р) = 0 ~-.~ -3а(Р(Р)) = О, эф(р) =т — — „ГР = 0 — — ЭГР = О =Э с — Ьзр — Р = 4Р(Р— Р) Последнее равенство несовместимо с Рь(р) = О, следовательно дз~/д4рз(р) ф О.

Анализ зависимости от Ь корней Рь(р) показал, что Зрб(О,Р „) Рь(р) = =0 ез Ь=ЬО. (Рл(р) ОР Отсюда следует, что только при Ь = ЬО среди критических окружностей интеграла ~: ф -4 К, Л-проекции которых пересекаются с отрезком [АВ], есть вырожденные. Непосредственно проверяется, что это четверка окружностей, отвечающих наибольшему положительному корню зз = т4 уравнения (4.1), с дословными формулировками теоремы 2. Прн Ь вЂ” 4 Ье+ О четверка окружностей ~ ~(~4 ) П Сг(Ь) попарно сливается с четверкой 1 '(Л ) П Су(Ь), превращаясь в четверку вырожденных критических окружностей интеграла 1: Я~ -+ В..

При этОм сливаются кОрни тз и з'4 уравнения (4. 1), а также соответствующие Л-проекции(рис,б). При Ь < Ьс все эти объекты исчезают, Аналогично доказывается, что мннимаксные окружности невырождены при всех регулярных Ь. 31 3 бЛ. Теорема 4 о топологической структуре пулевого уровня интеграла О.И,Богоявленского /: Мз -+ К Поскольку в данной задаче непосредственно вычислить сепаратрисные диаграммы [37-39] интеграла /: Я~а -т В. технически сложно, факт ик ориентируемости не дохазывглся.

Для вычисления графов» Щ /) [37-39] оказалось достаточно теорем 2,3 и информации о том, скольхо связных хомпонент имеет нулевой уровень интеграла /: 0~ -т В. при различных Ь. Последняя содержится в теореме 4, В данном случае все сепаратрнсные диаграммы ориентируемы, т.к, при той структуре нулевого уровня /, которгл определена теоремой 4, они очевидно не могут быть другими ТеоРема 4. ПУсть М»(6) — идзево»1 УРовеиь иитегуаза /: Язь -т В., тогда; 1/ при Ьг < Ь < Ь» подмиогообразис М»(Ь) диффео.аорфио тору 2»," й) при 6» < Ь < Ьз подмиогоооразис М»(6) состоит из двуг евязиыв компонент, каждая из которыя ди44еомор4на тору Т»; Я/ при Ь > Ьз подмиогоооразтгг Мо»(6) соетпоит из петь»рек связник компонент, каждая из которыя диффгоморфиа тору 7», Доказатсзьетггво, Пусть (г, и) б [ — тг; тг] х [ — тг; тг] — угловые координаты стандартного тора У х У.

Если Ьг < Ь < Ь», то формулы: Ь, — Ь - (Ь+ 6») '»и'(1) д = его — агссоз еоз(и) здп(г), Ьз — 1 + (Ь+ 6») з п»И) 1+ соз(д — ао) Р— е ° в»п~(г), т = с сов(д — его) + Ьр — р», Ьз — Ь 1 с. [ — тг; — тг/2] 0 [г'/2; я] =㻠— и ° вдтг(тг) — г Ф= а и г б [ 7Г/2~я/2] =з»з+» ' вдп(и), где (с сов(д — гто) + Ьр)' — 2сор» + е» й = агссоз е сов(д — сто) — т»сов(24 — д) — с »1»т(д — сто) — т»зтт»(24 — д) с— г= Р Р д д Мг — — ~lр з1п — здпЯ, М» = -з/р соз — здп(1), 2 ' 2 с — р+6, / д1 Мз = 2 1, 2) вдп(1) ° вдп гга ~т/т — -) (б.1) опРеделЯют отобРажение точки (1,и) б У х У в точкУ (Мг, М»., М»,Р, д, г,4„с, г) пРостранства Ио (в которое вложено Мз (2.3)), Угловые координаты 4,д вычисляются по модулю 2п.

Из (2.4) и (3.2) следует, что данное отображение есть диффеоморфнзм стандаРтного тоРа на Моз(Ь), котоРое таким обРазом имеет ацнУ свкзиУю компонентУ. Множество точек плоскости Кз(41 — пз,(з+бч) (на которой заданы полярные координаты р, д (2.2) ), в которые очевидным образом проектируются точки Моз(Ь), опре- деляется следующим неравенством: < р ( с. 1 — соз(д — ао) 1 + соз(д ао) Ь+Ьз -'-' Ьз-Ь Соответствующее множество ограничено замкнутой кривой, проходящей внутри круга угловой разметхи (Ма1ЬСао 5.0+): На рис. 14 проекция Моз(Ь) при Ь = 0,995Ь1 + О, 005Ьз.

На рис. 15 проекция Мо (Ь) при Ь = О, 7Ь| + О,ЗЬз. На Рис. 16 пРоекциЯ Моз(Ь) пРи Ь = 0,0001Ь1+ 0,9999Ьз. В случае Ьз < Ь < Ьз достаточно изменить одну формулу, а именно: д= ао— ы,(1) — мз(1) ш~(1) + ыз($) 2 соз(и) зри(4)— 2 ° за(з), где Ьз — Ь вЂ” (Ь+ Ьз) зза (Ц Ьз — Ь вЂ” (Ь вЂ” Ьг) ° зза (1) чтобы получить диффеоморфизм стандартного тора на одну из связных компонент Моз(Ь). Обращая знаки каждой из координат М~, Мз, Мз образа Щ,Мз, Мз,р,д,г,ф,с,в) б Кз точки (с,1), получим точку - образ (с,1) при диффеоморфизме на вторую связную компоненту Мо(Ь). Подмножество плоскости В,~ф — лз, ~з+ О~), на котоРое пРоектиРУетсЯ Мо (Ь), опРе- деляется следующим неравенством: 1 — соз(д — ао) ) 1 + соз(д — ао) 1 — соз(д — ао) <р<тза с.

Данное множество ограничено парой симметричных замкнутых кривых, проходящих внутри круга угловой разметки: На рис,17 проекция Мз(Ь) при Ь = 0,9999Ьз + 0,0001Ьз. На рис.18 проекция Моз(Ь) при Ь = О, 95Ьз + О, 05Ьз. На рис.19. проекция Моз(Ь) при Ь = О, 51Ьз + О, 49Ьз. Наконец, РассмотРим бифУРкации свазных компонент Мз(Ь) пРи Ь -+ Ьз — О. Мы вычисляем их тип - 1П (37), откуда следует п,3). Пусть Ьз ( Ь < Ьз. Следующие формулы: (Ь вЂ” Ь) Д1) — 1 Ь вЂ” Ьз соз(1) д = ао + агссоз - соз(и), где,д(1) = (Ь, — Ь).73(1)+1 Ь' — Ь', р = с(1 -- соз(д — ао)) ° ф(1), г = ~есоз(д — ао) + Ьр — рз, р(~) = Й = атосов с сов(д — ас) — с~сов(2ф — д) -св1п(д — ав) — твв с ив Р Р ~и~ > "- => — ~р гйп в ~п~ < "- =в /р в1пв ° вдп(д+гг — ав) в<о, 1<0, 1>0, в>0, а < О =~ Язв + и >О ав й а < 0 =з -"" + "- — я 3 в в 21 где (с сов(д — ав) + ЬР)в — 2свдв + св 2О' вгв(2ф — д) ~п~ > "- =в /р ° совМв = в ~и~ < — =в —,/р ° сов — вдл(д+ и — ав) )и~ > —, =~ -/~в" вдпгйп ~гр — й) ~~+в .,; ~,р в) (д + определяют при Ьв < Ь < Ьз диффеоморфизм стандартного тора на одну из связных компонент Моя(Ь), негомотопный ранее построенному.

Диффеоморфизм на вторую ком- поненту получается обращением знаков координат Мг, Мв, Мв. Обозначим Тв(Ь) про- извольную из двух компонент Мвз(Ь). Равенства а = *я и и = 0 определяют на торе Тв(Ь) пару изотопных нетривиальных циклов, которые в пределе при Ь -+ Ьз — О склеи- ваются в одну из двух седловых критических окружностей гамильтониана Н(теорема 1). Теперь ясно, что тор Ув(Ь) перестраивается по типу Н1, когда Ь проходит через критическое значение Ьз снизу, На рис.20 проекция Мвв(Ь) при Ь = О, 15Ьз + 0,85Ьв. На рис.