Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского, страница 5

-сйзг~ф тр — г соз а(ссоз(З+ р ))(орсо«2а+ я(гвпгйа — )г )+ (- (с(орсо«в — трзгп)2) — рз(тг + рг)) (сзгпаз(п)2'+ т'сова)сова. Обозначим это выражение Ит и, с учетом равенства с(орсо«а — трвгггф) рг(2,2 + рг) - (орсо«2а + ярвгп2а — рг)тз + рз(сг + яг — рг), преобразуем к следующему. виду: (хр)зв»пасова + (хр)з(ср)соз2а — (хр)зрз + (хр)згзсозза — (ср)з(хр)вйпасова(хр)(ср)гзвъпасова + 2(ср)тзрзв»пзасов'а + 2гзрввзпзасовза -(хр)гзр'в»пасоза(1+ 2созза) + рв(хр)зтасова.

Имеет место следующая цепочка равенств: (хр)зв»пасова + (хр)з(ср)соз2а(хр)згзсовза = (хр)з(-бззпб — гзвйп2а)ззласова+ (хр) (ср)сов2а+(хр) г соз а — ссова(хр) сов(а+8)-(хр) (ср)сов а+(хр) (ср)соз2а— — с(хр) рззт)усов'а — (хр)з(ср)зтза. (хр)з зтасова+ (хр)з(ср)соз2а-(хр)зр'+ (хр)зг'созза-(хр)гзрззтасова(1+2совза) = ср~зтоззпасоза+ (хр)(ср)рзвзпасова — (хр)з(ср)зтза. (хр)зв»пасоза + (хр)з(ср)соз2а — (хр)зря + (хр)згзсозза — (ср)з(хр)ззпасоза(хр)(ср)тзвтасоза + 2(ср)гзрзв»пзасозза + 2гзрвзтзасозза — (хр)тзр'втасоза(1 + 2совза) + рв(хр)зтасоза = = ср зт»увтасова+ (хр)(ср)р зтасова + ср (ср)втрзтасова, Сокращая на ненулевой(т.к. х ф О) общий множитель рззтасова, получаем: рз(свт»З + гззт2а) + (хр)(ср) + (ср)(свтр'+ гззт2а) + р~(хр) = р'(-хр)+(хрП р)+(ср)(-хр)+ р'(хр) = О.

что и требовалось доказать, Аналогично рассматривается случай, = о, = О, где опять с необходимостью -~ = О. При этом достаточно рассмотреть точку, в которой вр отсутствуют координаты с, р, ф, т.е. а которой имеет место ф = О. В такой точке вычисления значительно упрощаются, по сравнению с вышеприведенными. '3 4.3. Доказательство теоремы 2: среди точек, в которых не определены координаты (с,р,~Р) и (с,р,г), не более конечного числа критических для у: я~в — ~ Н.

Пусть Ьь - множество тех точек многообразия Яз(6), в которых нет локальных координат с, р, ф и с, р, г. Из системы уравнений (2,3) следует, что Ьь = 1р б Я',: (р).р(р). (р) ~с(р) — р(р)+6) =Й. Докажем, что Ьь содержит конечное число критических точек функции Х: Щ -+ К, Множество 1р б Я~: г(р) = 0) представляет собой конечный набор окружностей, ни на одной из которых функция ( не постоянна, так как с+ Ь вЂ” р1 с+ 6 — рз (~»„о»„сз = ~р~ или Д», с»„,Ов =- хрз тде с Ф ссазз. Следовательно, среди его точек не более, чем конечное число критических длк у, Ленное множество нроектируетск(Л) в отрезки (З8) и (СВ) (рнс.Ц.

Если в точке р б ф имеет место е(р) = О, то возникают следукнпие два случал. 1) При з(в(2гр(р) — д(р)) ф 0 возможно А(р) б (КЦ (3,1). Этот случаи рассмотрен ниже. Всии же А(р) ф (КХ), то в точке р существуют локальные координаты с, р, д, в которых Я = О влечет зза(д — его) = О, что при в = О несовместимо с ззв(2ф — д) ф О, 2) При ззгз(2Ф(р) — д(р)) = 0 имеет место взвод(р) — гго) = О, следовательно (3,1, рис.1) „ио ни на одной из конечного набора окружностей, составлиющих множество всех таких точек р, функции у не лостокнна: Ь,+Ь И- [вр[ о; = ~Р~— Ь вЂ” Ьз у[л '[Ав["'Н ~р р+ г ~ р Ьзр + б" Ь+ Ьз у[л-[он[с„=~р -Р+ 2 ~ -Р +Ьзр -ср Ь-Ьз Лл- (вс[ с. = ~р~( (Ь > Ьз), ЛА-г [АР[ггсзлгг(а=о[ ~Р)( Ь+Ь, Лл-г[сзг[ггд'„гг(*=о[ = хр Р+ х Р + Ьзр + бр тде всюду р ф соазг. Подмножество Ь г ((Ащ г г (СР))(1 (в = О) [ [д~~ образовано следу- ющей четверкой окружностей (при Ь > Ьз): гго с=О, Р=Ь2, ф = — +тгг, с=~/с, — "г<д<гг, на которых имеет место: г'Ь вЂ” Ьз г .

г'д — ао'г у' - =тЬзг~ х Й~Ьзз(п ~ 2 (, 2 Ясно, что у функции „не более, чем конечное число нулей. " Если в точке р имеет. место р(р) = О, то Л(р) е [Агт). Из (2.3) следует, что в точке р существуют локальные координаты Я~л, две из которых — Мг, Мз. Так как ~ = Мз(Мг' + Мз) + Мг(з + Мзйз, то з~м = 4з и д~м = Оз Если п1(р) = О, то Ыр) = Оз(р) = О, следовательно г = О, но этот случай уже рассмотрен, В точке р б ф, имеет место с(р) — р(р) + Ь = О тогда и только тогда, когда Л(р) 6 [КЬ] (рис.1). Здесь возможны следукнцие два случая.

1) Если х(р) ф О, то в точке р существуют хоординаты р, зр, Мз или р, г, Мз. Оба эти случая рассматриваются аналогично. Т.к. функция с достигает минимума в точке р, то з— '(р) = О. Т.к. функция и зависит только от р и ф(соответственло Ф зависит только от р и г), то +зм (р) = О. Из уравнения ср = ссоз(д — ао) — и сов(2зр — д) 3 4.4. Доказательство теоремы 2: вывод уравнения 4.1 и системы 4.2 Доказано, что множество Ьз содержит конечное число критических точек у: Я~в -> И. Следовательно, множество С~(Ь) = 1р б Яз(Ь): ф(р) = 0) является замыканием множества тех точек многообРазиЯ Яз~, в котоРых имеет место з1 = ~1 = 0 илн а -~ =- О, Следовательно, множество Су(Ь) в координатах (2.2) определяется следующей системой уравнений: ер = -свзп (д — аз) — гз взп (2ф — д) ср = с сов (д — ас) — гз сов (2р — д) сз+ 3+из+ 2,2 вр сов(Ф+ з — ас) + р'соз(4 — Р)взв(д — аз) = О ч=~ ДЯ вЂ” РЙ4 (Ф вЂ” Р а зз.) Мз = '+з/рвш з Мз — — ~з/Р сов —, Мзз = —,'(с — Р+ Ь).

(4.3) Далее мы выведем из (4.3) систему уравнений (4.2) и уравнение (4.1), связывающее энергикз Ь с критическими значениями интеграла у: Щ -э В.. Возьмем пять первых уравнений системы (4.3), и добавим к ним еще одно: с ~аозт(д — аз) в ' 2 гсоз(1Ь вЂ” з) следует, что 3— (р) = О, Отсюда — и-(р) = р(р). 2) Если я(р) = О, то в точке р существуют координаты р,д, Мз, в противном случае [К.Ц = [ВС) — рассмотрено выше. Здесь также получаем Д-(р) = р(р), Итак, если ф(р) = О, то р(р) = О, но этот случай уже рассмотрен. Левал часть этого уравнения есть значение, принимаемое у на жритичесяом подмного- образии.

В обозначениях получим следующую систему уравнений: зр = -сэзах — тззж2а ср = ссовд — тзсов2о с +р +ж +2т =2со врсов(а + /3) + рзззп~3соза = О *Р= 2,грт ° тсозо = кв ° з/рззп,б. Будем считать, что (4.6) т>О, р>О, в~О. Из 6-го уравнения (4.5) следует, что ( +2 ю~з ) гЛ~'- 'рз 'З)( «% Р— еМ~' ) /" — 'оЮ) = Р*Ф (4.7) Аналогично из 1-го и 5-го уравнений (4.5) следует: '- р+" (с+ 2здп(взпо) к /р тз — кзрззиз~3~ = ~2кр 2 (4.8) Из (4,7) н (4.8) получаем следукицую пару уравнении: с /р(с+ Ь) 2кз/р 2/~~ с — р+Й с здп(зхко) ° тз — и'рвзкз)3 = ~ 'р 2 2к р Из 5-го н 6-го уравнений (4.5) следует: с — р+Ь ж = ~2к 2 вгика, а из 2-го уравнения получаем, что а (4.6) влечет вз~4 ~ О.

С учетом этого, обозначая к~ через к, вз 1-го и 4-го уравнений (4,5) следует: Таким образом, систему (4.5) можно преобразовать к следующему виду: гз = ср — есоз8+ 2кзрзз~д/3 л = +2кЛгглтеззн4 3 здк(ззаа) сз+ рз+ л~+ 2г' = 2со гсоза = к,/рззп13, где к = к+. Складывал квадраты 3-го и 4-го уравнений системы (4,9) получим: (с — р+ Ь) + (с+ Ь) с 2(с+ Ь) — р с ссоз13 = ср + кзр— 2(с — р + Ь) к 21~с-.г+~ 2кзр ~С с — р + Ь -рз + 2(Ь вЂ” кз)р+ 2Ь(кз — Ь) + 2(кз — Ь)с 2 2(с — р+ Ь) б-е уравнение системы (4.9) преобразуем к следукицему виду: сз + рз + 2кззгнз13(с — р + Ь) + 2ср — 2ссоз13+ 4к~рззк~,В = 2со.

Домножим зто уравнение на р и вычтем из него квадрат 4-го уравнения системы (4.9), умноженный на 2(с+ р+ Ь). Результат умножим на к,/р и преобразуем к виду: с — р+Ь с~(с+ р + Ь) 2скз/р(с+ Ь)соз)3 = 2сакр,,/р — Ь~крз/р ~ 2сз/р (с+ р+ Ь)— 2 2к /Р Вычтем из этого уравнения 3-е уравнение системы (4.9), умноженное на 2с(с + Ь), получим следующее уравнение: (с+ Ь вЂ” р)(с-~ Ь+ р) — (с+ Ь)з Р(-с -~ р — Ь) 2сдкр,/р — кр /рЬ т с /р — .= 0, которое преобразуем к виду: + — (с — р + Ь) + (2се — Ь')кр' = О. ~~+ь 2к з (4.11) Уравнение (4.10) преобразуем к виду Умножаем это уравнение на к /р и вычитаем из него 3-е уравнение (4.9), умноженное на с. Результат делим на /р и преобразовываем х виду: после чего заменим 4-е и.б-е уравнения системы (4,9) на уравнения (4,1Ц и (4,12).

С учетом того, что мы проводили неравносильные преобразования при возведении в квадрат, необходимо добавить еще одно соотношение", с-р+А с здп(ззпе) = здп 2 2~~у~ Так как н = нч, то обозначая ~н~ через 1, с учетом (4.4) получаем следующую систему уравнений, которая определяет критические значения интеграла у: Я -+ В. и его критические точки, удовлетворяющие условию (4.6): с ~+" = 1р((з — Ь) — -„,Ь-" — „) -Я'ду = -ф(с — р+ Й) — (2со — йз)1рз гз = сР— бсоз(д — сза) + 21зРз1п~(д — аа) г соз (ф — а) = (~)1 /р з|п(9 — ое) ч ' (Р— '-,) = (~) а(,/и/~++д) *=~ф — ~+Ы 'па — ), Учитывая свойство множества Ьз, переходим к замыканию множества решений системы (4.

И), соответственно оговорку "удовлетворяющие условию (4.6)" опускаем, Исследуем вопрос о разрешимости системы (4.13). Пусть в дальнейшем 62=2с +йс, М= с-р+й Первые два уравнения (4.13) запишем в виде следующей системы: 4сМз — 41(1з — Й)рМз + 1рз = 0 ;Мз Мрм+(р =6, Вычтем нз 1-го уравнения этой системы 2-ое уравнение и преобразуем к виду: (4,15) 2-ое уравнение умножим на 8 н запишем в виде: с(2М)з 461зрз(2М) + 8(рз Подставим в уравнение (4.16) правую часть (4.15) и преобразуем к виду 2т-~п ~'-ми~а'-ц =~и~гч-яг-ц)~Ро -~э'-ц. Итак, первые два уравнения системы (4,13) равносильны следующей системе: ж+81~'-за~~-ь)-~вф'~'-зу-а)) яч -ч? -с l'== с-р+й 3 (4.17) ° ~~Ф~ -'Ф -'ч р М р с соз(д — ао) = — — — — — —. 21М - 2Рр (4.13) Если ввести обозначение: (4.19) К= 1 (ь ~,/ае — яР:~0 ' то условие разрешимости уравнения (4.13) запишется в виде: 21К'р' + (1 — 2РК)р+ сК < 0 21Кзрз+ (1+ 21зК)р+ сК > О. (4.20) 3 4.5.

Окончание доказательства теоремы 2 Окончание доказательства теоремы 4 получаем из (4.19)(4,20)(4,17) и уравнений 3-7 системы (4.13). Из анализа поведения корней (4.1), которое получается из 1-го уравнения (4.17) заменой Х = Р, с последующим возведением в квадрат, с учетом соотноше- ння — — (1= хх ), 2Г следуют утверждения теоремы о критических значениях интеграла 1. Бифуркационная диаграмма отображения момента М4 -? Кз(~, Н) изображена на рис,2, Диаграмма построена по результатам анализа зависимости корней уравнения (4.1) от параметра Ь, согласно которых: 1) пРн Ь? < Ь < Ьз УРавнение (4.1) имеет один положительный коРень Х,; 2) при Ьз < Ь < Ьс уравнение (4.1) имеет два различных положительных корня Х, < Хз, причем Хз — ? +со при Ь вЂ” ? Ьз + О; 3) прн Ьс < Ь < Ьз уравнение (4,1) имеет четыре различных положительных корня Х? < Хз < Ь < Хз < Хо п1?вчем Х4 -? +со ПРи Ь вЂ” ? Ьз — О, а коРни Хз и Х~ ИРИ Ь вЂ” ? Ьс + 0 сливаются в один положительный корень (4.