Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского (1103048)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВВРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА На правах рукописи УДК 517.933.5 ЗОТЬЕВ Дмитрий Борисович 01.01.04- Геометрия и топол~тия Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук Научный руководитель доктор физико — математических наук„профессор А. В. Болсинов Москва 2001г. Глана 1. Введение.
Глава 2. Особенности . 3 2.1. Вырожденные особенности симплектической формы на многообразии 3 2.2, Движение тяжелого магнита в случае типа С.В.Ковалевской в 13 . 14 параллельных гравитационном и магнитном полях Я 2.3. Удобные координаты в объемлющем пространстве (эо(3) ~В Кс)',... 3 2.4, Особенность типа самопересечения в случае, когда направления гравитационного и магнитного полей ортогональны, а моменты сил равны по абсолютной величине . Глава 3. Критические уровни энергии 3 3,1. Теорема 1 о критических значениях и хрнтических подмногообразиях интеграла энергии. Глава 5.
Нулевой уровень интеграла Богоявленского,.......,......,........ 32 3 5.1. Теорема 4 о топологической структуре интеграла Богоявленского...,..... 32 Глава 6. Компьютерная визуализация торов Лиувилля и бифуркаций..... 35 Глава 7. Инвариант Фоменко-Циппанга,топология изоэнергетических поверхностей и фазового многообразия 37 3 7.1. Теорема 5 о меченых молекулах И'"(Щ) в случае О.И.Богоявленского.....37 3 7.2. Доказательство теоремы 5: вспомогательные леммы 1-4...................
37 3 7.3. Доказательство теоремы 5: метки при йз < й < Ьз ........................40 3 7.4. Доказательство теоремы 5: метки при Йз < 5 < йс ...,...,..............,,41 3 7.5. Доказательство теоремы 5: метки при Ье < й < Ьз ........................42 3 7.6, Доказательство теоремы 5: метки при й > Ьз 45 Приложение, Литература . Глава 4, Критические подмногообразия интеграла О.И.Богоявленского ., 19 3 4.1. Теорема 2 о критических значениях и критических подмногообразиях интеграла О.И.Богоявленского... . 19 3 4.2. Доказательство теоремы 2: в координатах (с, р,71) критические точки функции 7: Я» -з К определяются условием -~ = — ~ = 0..., 21 $ 4.3.
Доказательство теоремы 2: среди точек, в которых не определены координаты (с, р, ч' ), не более, чем конечное число критических для 7": Язь -+ К,... 23 3 4,4. Доказательство теоремы 2: вывод уравнения 4.1 и системы 4,2.........., . 25 3 4.5. Окончание доказательства теоремы 2 29 3 4.6. Теорема 3 о боттовостн функции 7': Яь~ -+ К. .. 30 Азстуальность темы. Задача об интегрировании уравнений движения твердого тена с неподвижной точкой (уравнения Эйлера-Пуассопа) известна с ХИЛ века.
Эта проблема, над которой работали Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, ЖЛиувилль, К.Якоби, Г.дарбу, С.Ковалевская, Н.Жуковский, С.Чаплыгин, А.Ляпунов и многие другие, не имеет общего решения, однако в разное время были найдены (и в различных направлениях обобщены) частные случаи движения, интегрируемые в квадратурах. Наиболее известные из них; случай Эйлера - вращение вокруг центра масс, Лагранжа - вращение волчка, С.В.Ковалевской - наиболее интересный, физический смысл которого до сих пор не вполне понятен, а также случаи Горячева-Чаплыгина-Сретенского.
Современные исследования„в большей степени, направлены к глобальному качественному исследованию интегрируемых уравнений движения, а также самого феномена интегрнруемости. Соответствующая методология синтезирует классическую аналитическую механику, включая гамильтонов формализм и вариационное исчисление, с топологией дифференцируемых многообразий, снмплектической геометрией, теорией групп Ли и алгебраической топологией.
В начале 80-х годов (ХХ века) возникла школа А.Т.Фоменко, в которой созданы методы исследования фазовой топологии интегрируемых гамильтоновых систем, основанные на теории А.Т,Фоменко типа Морса (33-40]. Сужение класса интегралов движения до боттовских функций позволило, практически без потери общности, изучить топологию фазовых пространств уравнений движения и их решений. Одновременно была создана теория топологической классификации нерезонансных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, согласно которой каждая система порождает дискретный набор топологических инвариантов Фоменко-Цишанга И~'Я„) з - т.н.
меченых молекул, идентифицирующий систему с точностью до произвольного днффеоморфизма фазового многообразия, сохраняющего ориентации и лиувиллево слоение на инвариантные'торы (7;11], Каждая молекула характеризует фазовую топологию изоэнергетических поверхностей язь = Н '(Ь) для всех значений энергии Н, достаточно близких к некоторому регулярному а. Основные результаты в этом направлении получены А.Т.'Фоменко, Х.Цишангом и А.В.Болсиновым. Лальнейшие исследования (А.В.Болсннов, А.Т.Фоменко) развивались в направлении все более тонкой классификации, позволяющей идентифицировать интегрируемые системы с точностью до параметрнзаций фазовых траекторий, а также распознавать системы, отличающиеся лишь в обозначениях [9,11].
Одновременно ведется работа по вычислению меченых молекул известных случаев динамики твердого тела, а также других интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Первые молекулы были вычислены А,Т,Фоменко и А.А.Озпемковым [27,22), а соответствующие целочисленные метки ("валентности") определил А.В.Боясииов [8). К настоящему времени значительное число интегрируемых случаев динамики твердого тела классифицировано меченьпии молекулами, в том числе случал Эйлера, Лагранжа, Коввлевсиои и Горичева-Чаплыгина- Сретенского - подробности в [1Ц.
Настоящая диссертационная работа посвяхцена интегрируемому случаю вращения тяжелого магнита, при нулевом значении интеграла типа Ковалевской, описанному О.И,Богоявленским в [4). Для данного случая задачу исследования с точки зрения теории типа Морса А.Т.Фоменко поставил в 1969г. Работа примыкает к исследованиям бифуркационных множеств и областей возможности движения, где основные результаты получены М.П.Карламовым и его учениками [41-43), Диссертация также дополняет результаты А.И.Бобенко„А.Г.Реймана и М.А.СеменоваТян-Шанского [2), которые проинтегрировали по Лиувиллю уравнения движения тяжелого магнита в случае типа С.В.Ковалевской, описанном О.И.Богоявленским в [4).
Цель работы в исследования фазовой топологии интегрируемого случая О.И.Богоявленского - вращение тяжелого магнита вокруг неподвижной точки, при нулевом значении интеграла типа С.В.Ковалевской [4), а также его топологической классификации. Научная новизна. Все результаты диссертационной, работы получены впервые, Новый метод вычисления меток г, е, о дополняет существующие [7,3,1Ц. Особенность задачи, связанная с вырождением симплектической формы на подмногообразии коразмерности 1, ранее в динамике твердого тела не встречалась, Появление зтой особенности открывает новое направление исследований, актуальное с точки зрения приложений симплектической геометрии. Теоретическая и практическая ценность.
Обнаружены новые молекулы и новые типы движений, которые ранее в динамике твердого тела не встречались. Несмотря на значительную техническую сложность за' дачи, все результаты получены формально; без использования приближенных вычислений. Анализ вырожденной особенности симплектической формы фазового многообразия М~ позволяет расширить область применения теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем [7,1Ц. Практическое значение диссертации в том, что явно вычислены фазовые траектории устойчивого периодического движения тяжелого магнита.
Полученные формулы могут быть полезны в технических приложениях. Использованный метод вычисления меток г, е, в способствует лучшему пониманию теории ннварианта Фоменко-Цншанга, поскольку исходит прямо из определений меток [7), Для многих классических интегрируемых задач динамики фазовая топология исследована без использования меченых Апробация работы. Первые результаты работы докладывались на кафедре геометрии Казанского гос. университета прн защите дипломной работы автора в 1992г. На протяжении всей работы ее результаты докладывались и обсуждались на семинаре 'Современные геометрические методы", под руководством А.Т.Фоменко и А,В.Болсинова.
Публикации. С некоторыми сокращениями работа опубликована в журнале Регулярная и хаотическая динамика г1 4 2000г. Список опубликованных по теме диссертации работ приводится. Структура диссертации. Работа состоит из 7 глав, 70'страниц, 23 рисунков и 1 таблицы на 19 листах и приложения, в котором приводятся рисунки н таблица. Настоящая глава является вводной, Здесь изложена постановка задачи и полученные результаты, а также вводятся основные обозначения. Пусть намагниченное твердое тела,' на'которые'дейсгвуют сила тяжести и магнитная сила, вращается вокруг неподвижной точки.
Силовые поля однородны и стацнонарны. Оси системы координат направлены по главным осям инерции, начало отсчета - неподвижная точка. Пусть тмасса тела, А4 - магнитный момент, характеризующий состояние намагниченности, Ь! величина индукции магнитного поля, 7- вектор направления силы тяжести ~Ц = 1), с - вектор направления магнитной индукции Щ = 1), г"- радиус-вектор центра масс, М - кинетический момент, 1„1з, 1з - главные моменты инерции, ю - угловая скорость. Уравнения движения Эйлера-Пуассона: Ы= )М,а) + тпд~т", я + цМ, 1~, 7с= )7,а), а= )а,й).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
