Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского (1103048), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если НХ(р) = О,то Мз(р) = О, Если (с, Р) б Л(М") гг (дАНС11ЕР Г.г (АН) 0 (СР) г.г (38)), то в точке р б Л '(с,р) существуют координаты (с, р,р, Мз), где р - одна из координат гР, г, д. Ясно, е ф 0 и дд"; ф О, Если Л(Р) б (СП) О (НВ) или Л(Р) б (АР), то в точке Р существуют координаты с,(з,г1з или с, Мг, Мз(соответственно). Наличие координаты Мз подразумевается. В этом случае р = соаз$ и о„(р) = — 1 ф О, Если Л(р) 6 (СР), но Л(р) ф С = (СР) г1 (АВ) (рис.1), то в 'точке р существуют координаты с, х, гр (при этом х(р) = 0 и гр(р) = язз). Если х ек 0 и ф ак -з, то д ее -гг+ ао, с ьз Ьз — р, Н =- Ьз — 2с, следовательно Д(р) = -2 ф О.
Здесь значок = означает: "равно в каждой точке рассматриваемая координатной линии". Заметим, что (д(р): р 6 Л г(С)) = (-я,я). Есгги Л(р) = С и д ~ ао, -гг + ао, то в точке р существуют координаты х, гр, д (при этом х(р) = 0 и ф(р) = Язз). Если гд = Яз и д =- еопзз, то соз(д — ао) — 1 вза(д — ) следовательно ~~(р) ф О.
Если Л(р) = С и д = — я + ао, то в точке р существуют кооРдинаты с,1д,д (пРи этом с(Р) = 0 и ф(Р) = з ). Если гР = "'з и д = — согзз1, то Н = Ьз — 2с и э,(р) = -2 ф О. Если Л(р) = С и д = ао, то точка р принадлежит окружности 5 = (г1 б М: Мз(г1) = О, с(г1) = р(о) — Ьг, д(о) = ао Ф(Ч) =, х(Ч) =- О). ао Докажем, что данная окружность критическая для Н. Окружность о' проектируется 1 на отрезок (А11]. Если Л(р) б (А.О), но Л(р) ф С, то в точке р существуют координаты с, х, гР (прн этом х(р) =' 0 'и гЬ(р) = Язз). Если х = О и гР: — -з, то д =- ао, с =- р — Ьз, Н = Ьз, следовательно э (р) = О.
Пусть с = соиз1 и гр— : ~~. Т.к. Л-проекция коордиде натной линии х = 1 представляет собой вертикальный отрезок, расположенный выше [АВ) (рис.1), то функция р(х) достигает в точке х = О локального минимума. Следовательно о (р) = О. Пусть с = соиэз и х ив з О. Т.к. Л-проекция координатной линии о* гр = 1 представляет собой вертикальный отрезок, расположенный ниже (АР1 то функдНг цня р(4) достигает в точке гр = Язз лохального максимума, Следовательно —,(р) = О.
Итак, МН(р) = 0 и Н(р) = Ьз, Если р б У и Л(р) б (С, А, П), то ггН(р) = 0 по непрерывности. Итак доказано, что: а) У - критическая окружность; б) среди точек М~, которые не проектируются в отрезки (ВР),(АЭ),(ВС), нет крити- с — р+Й д 1=Р 2 яда(Мз) ~ г,/р ° ззп(Ф вЂ” -), 2 (3.2) где знаки х согласованы со знаками ~ и х в системе (2А) (согласованными между собой): верхний отвечает верхнему, а нижний - нижнему. ческих; в) среди точек Л '(С), пе прннадлежагцих окружности У, нет критических.
Отрезки (ВР] и )ВС) являются минимаксными для функции ((с,р) = р- с, заданной на многоугольнике АВСВВР. Следовательно, окружность (о б Л"'(ВР): Мз(д) = Оу и пара окружностей (д б Л '(ВС): Мз(о) = О) - критические для Н, Легко проверить, что все критические окружности невырождены. Теорема доказана. Таким образом, критические окружности гамильтониана Н, соответствуюзпие критическим значениям Ьз) Ьз) Ьз1 проектируются на отрезки (ЖР)1(А0) ~ (ВС).
Заштрнхо" ванные области на рис.1 — Л-проекции изознергетической поверхности Щ на плоскость К'(с, Р) пРи Различных значеннЯх 6. Если в (2.3) добавить УРавнеиие 2Мзз+ Р— с = Л, то получится система уравнений, опредеяяюпгая изознергетическую поверхность я~з. В координатах (2.2) интеграл Богоявленского имеет следующий вид: Глава 4. Критические подмногообразии нпгегвала О.И.Богоивленского 3 4,1, Теорема 2 о критических зиачеииик и критических п»»дмиогообразиих иитеграла О.И.Богоиилеиского Критические значения интеграла ~; Оь -+ В. связаны следук»»пкм уравнением." (4Ь (2Ь» — 9) ° Х'+ 36ЬЬ ° Х+ 27с| = 64Х'((Ьг — 3) ° Х+ ЗЬ), где (4.1) »О, »'=2»ЙЕ, »»>П, й>»,=-~~-2» Теорема 2, Лусть С«(Ь) — множество критических точек интеграла «': Я -» В,, где Ь - произвольное регулхрное значение гамильтониана Н.
Тогда С«(Ь) состоит из нескольких непересекающихся окружностей, перечисленных ниже для всевозможных регулярных значений Ь, «,) Ьо < Ь < Ьг» у»(~+) Г» С«(Ь) — максимальнах окружность, «' » («г+)»» С«(Ь) — седловах окружное»пь, «»(«.г+)»» С«(Ь) — пара минимальных окружностей, « '(~л+) П С«(Ь) — пара седловых окружностей, »Ц, ) й С«(Ь) — пара седловых окружностей, ~ »(~г ) П С«(Ь) — пара максимальных окружное»пей ~ »(«> ) й С«(Ь) — седловах окружность, ~ '(~» )»» С«(Ь) — минимальная окружность, <~г <»г <~4 <0<А <1~ <Л <>» Л = ~ ' «' » б 11,2,3 4««» = -Ль «г = »/Хг «г = »/Хг> «4 = а~Хе, 6 < Х» < Х» < Хз < Хл, Х», Хг, Хг, Х» — коРни УРавнених 4.«, Окружности «»(~»+) и «»(~» ) проектируются(3,«) на 11»(с, р) в отрезок параболы с = 2К»р» + р — Ь, заключенный между прхмыми р = -с+ Ь» и р = — с+ Ьг.
Окружности ~ ~(~г ) и ~ ~(~г ) проектируютсх на Н. (с, р) в отрезок параболы с = 2К»грг + р — Ь, заключенный между прхмыии р = -с — Ь» и р = — с+ Ьг. Окружности У»(«г+) и «»(«г ) проектируются на Кг(с, р) в отрезок параболы с = 2Кг»рг + р — Ь, заключенный между прхмыми р = — с — Ьг и р = — с+ Ьг. Окружности ~"'(~~+) и «»(~, ) проект»|руютсх на 1ьг(с, р) в отрезок параболы с = 2К~р~ + р — Ь, заключеннь»й между прхмыми р = -с — Ь» и р = -с+ Ь», г»з двух парабол, заключенных между прямыми р = -с — «»г и р =- — с+Ьг, минимаксным окружностем 1 «(1« ) соотвеп«ствует нижню, седловььи окрузкностахм 1 «(1«)— в ер жяххфис.
о ) . 3 3 К; = «б (1, 2, 41, Кз = 2(И«+ ~й«1« — З(1« — Ь)) 2(Нз — ЬЧ«з — 3(Х«з — Ь)) Л-проекции ф11 всех критические окружностей - на рис.у. фЬ>Ьз. В данном случае уравнение 4.1 имеет 3 корне Ь«, уз, жз тоник, что О < Х«< Хз < Хз. 1 «(1«+) й С1(Ь) — максимальнае окружность, 1 «Я+) й С1(Ь) — седловал окружность, 1 !(У+) йс1(Ь) — ра о руж тей, 1 «(1«" ) й С1(Ь) — пара максимальные окружностей, 1 «()з ) й С1(Ь) — седловах окружность, 1 «(1«) й С1(Ь) — минимальное окружность, Критические окружности и критические значения у ормально определеются также, как в п.1(длл соответствующие 1; «< 41, У <~ <У+ <0<~ <~+ < Л+.
Л-проекции всех критические окружностей - на рис.б. У) 1««< Ь < Ьо.. В данном случае уравнение 4.1 имеет 2 корне у«, Кз таина, что 0 < у«< ««. ~ '(1«~) й С1(Ь) — максимальнае окружность, ,~ '( ~з ) й С1(Ь) — седловае окружность, 1 ~(1«) й С1(Ь) — седловае окружность, (~, ) й С1(Ь) —. минимальное окружность. Критические окружности и критические значение 4ормально о««ределхютсх также, как в п.1(для соответс«пвую«ц««г 1;~ «< 31, ~«< ~«<0 < Д+ <~+. Л-проекции всех критических окружностей - на рис.4, ДЬ,<Ь<Ь«.. В данном случае уравнение 4'.1 имеет 1 положительньгй корень 1й.
1 ~(1«+) й С1(Ь) — максимальное окружность, 1 ~(1, ) й С1(Ь) — минимальнае окружность. Критические окружности и критические значение формально определеютсх также, как в ««.1(Аы соответствующего 1«), ~, <0<~+. 20 Л-проекиия критических окружностей - на рис,д. Оставьные координаты (У.г/ критических окружностей при всех регулярных о) опреде ипотся из сведующей системы уравнений: );, в —,)- — (4киз + 1 /2)з-р+Б) за)/Ф/ гз = сР— с сов(8 — сев) + 2!зРв1п (8 — сзв) т сов (й — й) = (ф)); ./рззп(д — )зв) а )Ф-О=)+)е (7))~+ — „,.'«) ;=)/)).-р+а~ ) )в-ч) М ~ )с-Р+Й М~ = (~)з~рз(п-,' вдп(Мз) Мз = (~) /Р соз в ° вдп(М ) (4.2) где знаки (~) и (~) согласованы между со6ой: верхний отвечает верхнему, а нижний - нижнему, ресен с точки зрения технических приложений, а также вследствие отсутствия устойчивого периодического движения на нерезонансных лиувиллевых торах Т, на котов рые расслаиваются (возможно с особенностями) 5-мерные подмногообразия ненулевого уровня х каждой регулярной орбиты.
Последнее следует из интегрируемости по Лиувиллю системы о на орбитах, однако строгим доказательством нерезонансности торов У~ автор не располагает. '3 4.2. Доказательство теоремы 2: в координатах (с,р,ф) критические точки функции / ) щ -> зч определяются условием — г = ~В~ = 0 вг в/ В координатах (2.2) интеграл Богоявленсхого имеет вид (3.2): с — р+6, д с-р+6 д /" = хр хе /р ззп(ф — -) = р 2 2 2 вдп(Мз) х гч/р ° з1 (зр — -).
2 Из (2.3) следует, что в окрестности почти каждой точки из Цз(Ь) существуют локаль- Замечание. Все минимахсные критические окружности интеграла / ) )'.)„-+ В.„при з всех регулярных Ь, образованы фазовыми траекториями устойчивого периодического движения. Так как М' есть глобально-минимальное подмногообразие интеграла типа С,В.Ковалевской х = х,' + гз„то движение по минимаксным окружностям устойчиво также и в объемлющем пространстве (во(3) ЩВв)". Это означает, что (с точностью до параметризации) вычислены устойчивые периодические траектории в случае типа С.В.Ковалевской движения намагниченного тяжелого тела.
Данный результат инте- ные координаты с, р, ф Палее вычисляем частные производные функции ДОа'. р г атр ° сод(ф — «) а гтгтг=р+2'"' ' Е (сввп(ф — й)вгп(д — ао) + тзсозф — -))) . -э~с~-". э ~эа) а ст~ — ~ ~— (тэ ' (Е-в)- э 1Ф-') (га-6)е др 2Л~/е-р~А т(-тг-рг~ сов(2 е а)) 2 РатР 2 ~фзгп(ф — «) — †с(ар — -2)) . Докажем что Щ = Я = 0 влечет дУ- = О, а если в окрестности точки нет координат дс дф др дг с, р, гр, но есть координаты с, р, т, то — ~ = -~ = 0 влечет — 2 = О. ~п Предположим, что Д = Я = О, Пусть Если, к примеру, д д Мг — — — АР з(п —, М2 = в,/Р соз —, Мз > О, 2' 2' то умножая йУ. на ненулевой множитель 2/тр /р преобразуем к следующему виду: др о +тгэвпасово Егсовоо тгсеаоеоэзо (1 2Р т +РР-еэ ) + г г -г т сова +' ер ер с(арсовы-ермоф)-рг(гес-тэ-рг) з„г .г+тг сыюосоаД с(среовд-гравер)-рг (за-тг-рг) ор г г+ т сосо °:эт ер е ересей еравоф) эр(зсе т Р ) с(срсовд эра пд) — рг (2сс -тг -Р Обозначим это выражение (т' и будем доказывать, что оно равно нулю.
Из — ~ = 0 и первых двух уравнений системы (2,3) следует; д« ярсов(а + )3) = -р'вгп)(сова, яр = -с«гни — г зип2а, ср = соева — т'сов2а, С учетом этого, умножая на знаменатель(отличный от куля), преобразуем У к виду: (-сзггцЗ ° яр — тз созга(ссоз)з + рг)) (рг(тг + рз) + с(орсо«)д — ярип)9) — 2сдрг) + (с(орсо«а — трипс — рг(тг + рг)) ° (сзгпавгпф + тгсова)тг сова. Преобразовывая и деля на тг ф О, получаем следующее значение Ъ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
