Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВВРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА На правах рукописи УДК 517.933.5 ЗОТЬЕВ Дмитрий Борисович 01.01.04- Геометрия и топол~тия Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук Научный руководитель доктор физико — математических наук„профессор А. В. Болсинов Москва 2001г. Глана 1. Введение.

Глава 2. Особенности . 3 2.1. Вырожденные особенности симплектической формы на многообразии 3 2.2, Движение тяжелого магнита в случае типа С.В.Ковалевской в 13 . 14 параллельных гравитационном и магнитном полях Я 2.3. Удобные координаты в объемлющем пространстве (эо(3) ~В Кс)',... 3 2.4, Особенность типа самопересечения в случае, когда направления гравитационного и магнитного полей ортогональны, а моменты сил равны по абсолютной величине . Глава 3. Критические уровни энергии 3 3,1. Теорема 1 о критических значениях и хрнтических подмногообразиях интеграла энергии. Глава 5.

Нулевой уровень интеграла Богоявленского,.......,......,........ 32 3 5.1. Теорема 4 о топологической структуре интеграла Богоявленского...,..... 32 Глава 6. Компьютерная визуализация торов Лиувилля и бифуркаций..... 35 Глава 7. Инвариант Фоменко-Циппанга,топология изоэнергетических поверхностей и фазового многообразия 37 3 7.1. Теорема 5 о меченых молекулах И'"(Щ) в случае О.И.Богоявленского.....37 3 7.2. Доказательство теоремы 5: вспомогательные леммы 1-4...................

37 3 7.3. Доказательство теоремы 5: метки при йз < й < Ьз ........................40 3 7.4. Доказательство теоремы 5: метки при Йз < 5 < йс ...,...,..............,,41 3 7.5. Доказательство теоремы 5: метки при Ье < й < Ьз ........................42 3 7.6, Доказательство теоремы 5: метки при й > Ьз 45 Приложение, Литература . Глава 4, Критические подмногообразия интеграла О.И.Богоявленского ., 19 3 4.1. Теорема 2 о критических значениях и критических подмногообразиях интеграла О.И.Богоявленского... . 19 3 4.2. Доказательство теоремы 2: в координатах (с, р,71) критические точки функции 7: Я» -з К определяются условием -~ = — ~ = 0..., 21 $ 4.3.

Доказательство теоремы 2: среди точек, в которых не определены координаты (с, р, ч' ), не более, чем конечное число критических для 7": Язь -+ К,... 23 3 4,4. Доказательство теоремы 2: вывод уравнения 4.1 и системы 4,2.........., . 25 3 4.5. Окончание доказательства теоремы 2 29 3 4.6. Теорема 3 о боттовостн функции 7': Яь~ -+ К. .. 30 Азстуальность темы. Задача об интегрировании уравнений движения твердого тена с неподвижной точкой (уравнения Эйлера-Пуассопа) известна с ХИЛ века.

Эта проблема, над которой работали Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, ЖЛиувилль, К.Якоби, Г.дарбу, С.Ковалевская, Н.Жуковский, С.Чаплыгин, А.Ляпунов и многие другие, не имеет общего решения, однако в разное время были найдены (и в различных направлениях обобщены) частные случаи движения, интегрируемые в квадратурах. Наиболее известные из них; случай Эйлера - вращение вокруг центра масс, Лагранжа - вращение волчка, С.В.Ковалевской - наиболее интересный, физический смысл которого до сих пор не вполне понятен, а также случаи Горячева-Чаплыгина-Сретенского.

Современные исследования„в большей степени, направлены к глобальному качественному исследованию интегрируемых уравнений движения, а также самого феномена интегрнруемости. Соответствующая методология синтезирует классическую аналитическую механику, включая гамильтонов формализм и вариационное исчисление, с топологией дифференцируемых многообразий, снмплектической геометрией, теорией групп Ли и алгебраической топологией.

В начале 80-х годов (ХХ века) возникла школа А.Т.Фоменко, в которой созданы методы исследования фазовой топологии интегрируемых гамильтоновых систем, основанные на теории А.Т,Фоменко типа Морса (33-40]. Сужение класса интегралов движения до боттовских функций позволило, практически без потери общности, изучить топологию фазовых пространств уравнений движения и их решений. Одновременно была создана теория топологической классификации нерезонансных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, согласно которой каждая система порождает дискретный набор топологических инвариантов Фоменко-Цишанга И~'Я„) з - т.н.

меченых молекул, идентифицирующий систему с точностью до произвольного днффеоморфизма фазового многообразия, сохраняющего ориентации и лиувиллево слоение на инвариантные'торы (7;11], Каждая молекула характеризует фазовую топологию изоэнергетических поверхностей язь = Н '(Ь) для всех значений энергии Н, достаточно близких к некоторому регулярному а. Основные результаты в этом направлении получены А.Т.'Фоменко, Х.Цишангом и А.В.Болсиновым. Лальнейшие исследования (А.В.Болсннов, А.Т.Фоменко) развивались в направлении все более тонкой классификации, позволяющей идентифицировать интегрируемые системы с точностью до параметрнзаций фазовых траекторий, а также распознавать системы, отличающиеся лишь в обозначениях [9,11].

Одновременно ведется работа по вычислению меченых молекул известных случаев динамики твердого тела, а также других интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Первые молекулы были вычислены А,Т,Фоменко и А.А.Озпемковым [27,22), а соответствующие целочисленные метки ("валентности") определил А.В.Боясииов [8). К настоящему времени значительное число интегрируемых случаев динамики твердого тела классифицировано меченьпии молекулами, в том числе случал Эйлера, Лагранжа, Коввлевсиои и Горичева-Чаплыгина- Сретенского - подробности в [1Ц.

Настоящая диссертационная работа посвяхцена интегрируемому случаю вращения тяжелого магнита, при нулевом значении интеграла типа Ковалевской, описанному О.И,Богоявленским в [4). Для данного случая задачу исследования с точки зрения теории типа Морса А.Т.Фоменко поставил в 1969г. Работа примыкает к исследованиям бифуркационных множеств и областей возможности движения, где основные результаты получены М.П.Карламовым и его учениками [41-43), Диссертация также дополняет результаты А.И.Бобенко„А.Г.Реймана и М.А.СеменоваТян-Шанского [2), которые проинтегрировали по Лиувиллю уравнения движения тяжелого магнита в случае типа С.В.Ковалевской, описанном О.И.Богоявленским в [4).

Цель работы в исследования фазовой топологии интегрируемого случая О.И.Богоявленского - вращение тяжелого магнита вокруг неподвижной точки, при нулевом значении интеграла типа С.В.Ковалевской [4), а также его топологической классификации. Научная новизна. Все результаты диссертационной, работы получены впервые, Новый метод вычисления меток г, е, о дополняет существующие [7,3,1Ц. Особенность задачи, связанная с вырождением симплектической формы на подмногообразии коразмерности 1, ранее в динамике твердого тела не встречалась, Появление зтой особенности открывает новое направление исследований, актуальное с точки зрения приложений симплектической геометрии. Теоретическая и практическая ценность.

Обнаружены новые молекулы и новые типы движений, которые ранее в динамике твердого тела не встречались. Несмотря на значительную техническую сложность за' дачи, все результаты получены формально; без использования приближенных вычислений. Анализ вырожденной особенности симплектической формы фазового многообразия М~ позволяет расширить область применения теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем [7,1Ц. Практическое значение диссертации в том, что явно вычислены фазовые траектории устойчивого периодического движения тяжелого магнита.

Полученные формулы могут быть полезны в технических приложениях. Использованный метод вычисления меток г, е, в способствует лучшему пониманию теории ннварианта Фоменко-Цншанга, поскольку исходит прямо из определений меток [7), Для многих классических интегрируемых задач динамики фазовая топология исследована без использования меченых Апробация работы. Первые результаты работы докладывались на кафедре геометрии Казанского гос. университета прн защите дипломной работы автора в 1992г. На протяжении всей работы ее результаты докладывались и обсуждались на семинаре 'Современные геометрические методы", под руководством А.Т.Фоменко и А,В.Болсинова.

Публикации. С некоторыми сокращениями работа опубликована в журнале Регулярная и хаотическая динамика г1 4 2000г. Список опубликованных по теме диссертации работ приводится. Структура диссертации. Работа состоит из 7 глав, 70'страниц, 23 рисунков и 1 таблицы на 19 листах и приложения, в котором приводятся рисунки н таблица. Настоящая глава является вводной, Здесь изложена постановка задачи и полученные результаты, а также вводятся основные обозначения. Пусть намагниченное твердое тела,' на'которые'дейсгвуют сила тяжести и магнитная сила, вращается вокруг неподвижной точки.

Силовые поля однородны и стацнонарны. Оси системы координат направлены по главным осям инерции, начало отсчета - неподвижная точка. Пусть тмасса тела, А4 - магнитный момент, характеризующий состояние намагниченности, Ь! величина индукции магнитного поля, 7- вектор направления силы тяжести ~Ц = 1), с - вектор направления магнитной индукции Щ = 1), г"- радиус-вектор центра масс, М - кинетический момент, 1„1з, 1з - главные моменты инерции, ю - угловая скорость. Уравнения движения Эйлера-Пуассона: Ы= )М,а) + тпд~т", я + цМ, 1~, 7с= )7,а), а= )а,й).