Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского, страница 8

Лемма 3. Лля каждой из двух связных компонента подмногообразия № = (р б Мз: ~г (Р) < Др) < ~г+(У), Р > Ьг) существуют такие четыре семейства ориентированных окружностей Лз+(р), Лз (р),,из+(р), рз (р), гладко зависящих от Р из (Ьг + бз,оо), что: а~ Лзх(Р) — нетривиальный цикл, который сепаратрисная диаграмма седловой критической окружности Су П у ~(ф(р)) интеграла у; Щ -Ф В высекает на торе Р '(г", 6), 6 = уг (Р) ~ е; б) рз.ь(р) — цикл, дополнительный к Лзь(р) на торе Р '(г,6); в~ Уг (Ьг + бз) + е = Д(Ьг + оз) — е = 0 и, без учета ориентпаций окружностей, Лз+(Ьг + бз) = Лз-(Ьг + бз) ~ Из+(Ьг + бз) = Из (Ьг + бз) ' г) ориентация каждой из окружностей Лз~(Г) индуцирована замкнутой траекторией полх о, порождающей соответствующую седловую окружность; д) жаждах окружное ~ь рзь(Р) ориентирована так, что базис (рзь(У),Лзх(Р)) определхет оРиентацию кРах подмногообРазих (Р б (,ф: У(Р) > Уг+(Р) — е ) или, соо1пеетственно, (р б (~~~, .

)(р) < уг (Г) + е ). Замечание. Если ~г (Г) = ~, (1), то окРУжность |сз.ь(Р) пРедставлхет гобои один из двУх овалов, на которые разрывается д.Ое~(!), когда при гомотопии т проходит через уровень Н= 6,. Лемма 4, Пусть И' Е [Ьг,оо),иг~(() — образ цикла Лгх(р) при изотопии вдоль интегральных линий поля — угад(Н~рь) при 6 = Л~(1) ~ е = уг (Р) х е(Р). Перенесем на Ргь(1) оРиентацию цикла Лгх(у). Полрчаем такое гладкое семейство оРиентиуованных окружностей,игь(1), 1 б (Ьг + 8ы оо), что ргх(() в пределе при е -+ 0 совпадает с мннимаксной окружностью у1~(1), ориентпированной соответствующей замкнутой траекторией о, Доказательств о Очевидно(рис.2), что соответствующее Р существует и единственно для каждого 6 Пус О=Ь/2,.-,-Ь Ьт Ь~[Ь„ЬЬ Ь~[ — Ю,-2).

При р б '(О, —,"ф~-~ точка р с координатами(2.2), удовлетворяющими уравнениям 6 с+ЬР+ гР г - г б = ао, с = — — р — Ь, соз(2гр — ар) =, т = с+ Ьр — р, 2 с+ Ьр — р' т' згп(24' — ао) . ао ао х = — -, М1 — - ~ /р ° згп —, Мг — — х: /р ° соз — ', 2Мз = с — р+ 6, р пробегает окружность оь1, которая реализует нетривиальный цикл на торе Р '(6„0). При Ь = 61 окружность 5„', совпадает с тг. При 6 = Ьг окружность 5,'н совпадает с уг.

Таким образом, построена изотопня 7~ на 7з. Докажем, что ориентации окружностей при этом совпадают, Параметризуем Я~, параметром 1 б [ — 1, 1]: пРн $ б [ — 1,-1/2] с = 2(рз — Ьз)1+ 2рз — Ьз и 4 = з при 8 б [ — 1/2, 0] с = -2(рз — Ьз)1+ Ьз и ф = Язь — я при 4 6 [О, 1/2] с = 2(рз — Ьз)4 + Йз и ф = Язь — к пРи 1 б [1/2, 1] с = — 2(рз — Ьз)1+ 2рз — Ьз и Ф = 7 Аналогично параметризуем окружность оь1, — для этого заменим Ьз и Рз на Ь1 и Р1 Непосредственно проверяется, что введенная параметризацня задает иа обеих окруж- ностях ориентации соответствующих траекторий о (1,1). Итак, изотопия Яь' сохраняет ориентацию. Следовательно, при изотопии вдоль интегральных линий поля дгал(Н[рь), с точностью до гомотопии в Р '(Ьз, О), произойдет слияние ориентированных окруж- ностей уь н уз.

Из связности прямой /(М4) следует аналогичное свойство всех пар критических окружностей / '(/ья) и Су П / '(/з~) при /ья = /з . Лемма доказана. Замечание. Все критические окружности интеграла Н: Рь -ь К невырождены, кроме 8~1(Ьс)(теорема 3), поэтому существуют сепаратрисные диаграммы всех седло- вых окружностей Су П / '(/з ) [37].

В лемме 4 нзотопия вдоль интегральных линий происходит по какой-либо одной нз двух выходюцих ветвей сепаратрисной диаграммы интеграла -Н: Рьз — ь И, отвечающей седловой критической окружности Су П / '(Ь), При этом семейство выбранных ветвей непрерывно зависит от 6. Каждую граничную окружность ОРИ(1) ориентируем тах, чтобы базис (Рь~(1), дР~~(Е)) определял ориентацию края подмногообразия 1Р б Щ: /(Р) > /ь (1)-с1 или, соответственно, (Р б ф: /(Р) < /, (1) 4- е1, 3 7.3. Доказательство теоремы 5: метки при Ьь < Ь < Ьз /Яз) = [/",/+], Щ склеена из двух кирпичей: Чз„= 4Р ~с Щ: ~(Р) > /ь+ — е~ и Ю- = (Р б Чь: /(Р) < /ь + с1, Каждый кирпич гомеоморфен У х Рз, Пу".Т,'=а~э,= Р-(Ь,Ь), Ь=ф~..

Иб [Ь,+~„Ь]. РР-(1,6),6=/,(1)~, ю-ыь подвергнем изотопин т вдоль" интегральных линий поля д1асЦН[рз) на тор (Ь,Ь), з з вложенный в Щ. При 6 Е [/, + е, /1 — с], очевидно, получим изотопию ~~ь , 'Т вЂ” ? ь4ь тоРа Тз на тоР Тзь. ПУсть ль(6) — обРаз окРУжности о,~(1), а ЛЯ(6) — обРаз окРУжаРз(1) пр . Ц Рь(6) и Л (6) б~ у б н Ре Р-'(Ь,Ь). Пусть (Рь, Ля) = (ль(6), Л~(6)) 6 = /1" ~ е.

Из лемм 1, 2 и 4 следует, что: а) Л+(О) = Л (0) и и+(0) = л (О); б) Ря — — оь ь(Ь), Ля =- ОРяз(/ь). в) (Ря, Ль) — допустимый базис тора Тз. Изотопия рь переводит базис (р, Л ) в базис (р+, Л+). Ориентации всех окружностей Рь(6) согласованы, т.к. они гладко перенесеньз нз гла,дкого семейства замкну- 40 тых траекторий поля о, образующих критические жружности Уз, На окружности Л+(О) = Л (О) возникают две противоположные ориентации из семейств 1Л+(6): Ь > 01 и (Л (6): 6 < 01, соответственно противоположным ориентациям общего края подмногообразий (р б ф,: у(Р) > 01 и (Р Е ф~: у(Р) < 01.

Изотопия грм очевидно, индуцирует схлейку изознергетической поверхности Щ, из полноторий Щ. Матрица склейки в базисах (Р, Л .) и (Р+, Л+) имеет вид: Следовательно, г = -' = оо и е = згдй(1) = 1 [7). Метка п, в данном случае, отсутствует. ~ 7,4. Доказательство теоремы б: метки при Ьз < Ь < Ье ~((,ггз) = [~г, 1г+), Я склеена из четыРех киРпичей: С гг+ = (Р б г гг,: ПР) > У вЂ” е~ К = Ь б 9»: 1(Р) < Г + Ф Юз+=(РбОь'Л с<У(Р)<Л +с~ Яз-=(РбО»:Уз с<У(Р)<Уа +еК вЂ” ог х 1Уз п лнотори Яз — ог х Уз Аналогично случаю Ьг < Ь < Ьз, используя лемму 3, построим допустимые системы координат на каждом из двух торов, составляющих Р '(Ь,Ь) 6 = 1з+ — е, и на каждом из двух торов, с~~~~в~я~щ~х Р' '(Ь,6) 6 = уз + е.

Каждая нз матриц склейки им~~т (") Соответственно г = =„' = оо и е = згдп(-1) = — 1. Найдем матРицУ склейки полнотоРиЯ Чзг+ со штанами Язз+, П Тз Р-г(Ь 6) лг.)з 6 у+ Тз Р-г(гг 6) С дггз 6 у++ . Чнс, Ьз нз леммы 2 выберем так, что Ьз + Бз < Ь. И' б [Ьз, со) существует такое единственное 1(Р) б [Ьг + Ьг, 1 ), что 1г+(((Г)) — е = Уз+(Р) + е(Р)(Рис 2), Длх некотоРого н единственного |'„> Ь имеет место 1(1») = Ь.

И' б [Ь,г») тор Р (1(Р),6), 6 = Л (1(Р)) — е подвергнем изотопин т вдоль интегральных линий поля дгай,Н[рз) на тор Р '(Ь, Ь), вложенный в Щ, При 6 б [уз+ + е,~+ — е) получим изогопию ф»: Т' -~ ф~ тора Тз на тор Т,', которая индуцирует склеивание штанов Язз+ с полноторием Язг+. Пусть ,гг+(6) С Р '(Ь, Ь) — образ окружности доз+(1(Р)) и Л+(6) С Р '(Ь,Ь) — образ окружности Рге(г(Р)) прн изотопни г. Перенесем также ориентации окружностей.

Получим базис (Р+(6), Лг(6)) на тоРе Р '(Ь, Ь), 1гЬ б [ Гз~+е, У+ — е). Из опРеделенил циклов лгг (Е) следУ- ет, что Л+((з++с) = Лз+(Ь). ОРиентации также совпадают. Циклы дгУ (Ь) = 1г+(Д вЂ” е) и ~гг+(1г) = Л+( гг — с) при изотопни т остаются на месте, следовательно, изотопия фз пеРеводнт базис (Лг ((з~ + е), 1гг(Д' + с) ) в допУстимый базис (ггг+ (Ь), 00~+(Ь) ) на тоРе Тз. 41 Докажем, что базис (р+(~»+ + с), Л+(ф + с)) является допустимым. Отождествим базис циклов на торе с базисом из векторов, касательных к циклам в точке пересечения. Базис (дгасЦ Н), дгаИ(ДЯ»ь), Л+(~»+ + с), р+(~»+ + г)) задает исходную ориентацию многообразия М, т.к.

он связан гладким переносом вдоль траектории дгад(Н)г1) 6 — у» +с с ориентирующим базисом (дгасЕ(Н), дта ЩДф,й)1 уц+(1(Ь)), дВ~+(Х(Ь))). Следовательно, базис (дгад(Н), — дгаИ(ЯЯ), р+(~+ + с), Л+ (У»+ + с) ) также является ориентирующим н, очевидно, базис (р+(~»~ + с), Л+ (у»+ + с) ) задает ориентацию края штанов Щ+, согласованную с ориентацией Я». Таким образом, базис (р+ (~»+ + е), Л~ (Ц»+ + с) ) определяет допустимую систему координат на торе Т» Я. Итак, в допустимых каврдинатах граничных торов склейка штанов Щ+ с полноторием Щ+ задается матрицей Следовательно г = ~ = О и с = »1да(1) = 1.

Точно такал матрица склеивает штаны Д» с полноторием ф . Склейка штанов Д»»+ и 9~ порождает семью ребер графа Г(1~», у) (7), однако из вида всех четырех матриц склейки следует, что соответствую- щал и-метка равна нулю. з 7.5. Доказательство теоремы 5: метки при Ьс < Ь < Ьз При переходе через Ьс не происходит топологической перестройки изознергетической поверхности Щ, так как Ьс не является критическим значением гамильтониана Н.

Вычисленный в п.2 изознергетический инвариант Фоменко-Цишанга однозначно определяет топологию („)~ь, которая гомеоморфна тору Т при Ь» < Ь < Ь». При Ь = Ьо нарушается боттовость интеграла у: Я -+ В.(теорема 3), по»тому внутри подмногообразия (р б Я~я . У» + с < 1(р) < У»+ — е» происходит бифуркации лиувиллева словник --- на графе ГЯ~~, 1) вырастают четыре "рога" (рис,13), что соответствует появлению четырех пар критических окружностей(теорема 2). Каждая пара состоит из сенцовой у+ и минимаксной у»~ окружностей, которые при Ь -~ Ьо+ О сливаются в вырожденную критическую окружность Я~(Ьс).

(заметим, что ~4, ~» > О, а 1,+,1»+ < Π— теорема 2). Матрицы склейкиминимаксныхполноторий 11 и 1» с соответствующими штанами имеют вид: Матрица склейки каждой из двух пар штанов ~4 с < у < 14 -(-с и ~4 с < 1 < ~4 +с по граничным торам ~, — г и ~+ + с имеет вид: (") Данные матрицы вычисляются с использованием очевиднык аналогов лемм 2-4. Зафиксируем одну из двух связных компонент подмногообразия № = Ь б М': У (1') < Х(р) < Л+(1') 1' > Ьд. Соответственно, Р '(Ь,Ь) обозначает тот единственный тор, который вложен в эту компоненту.