Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского, страница 9

В дальнейшем мы не делаем подобных оговорок. Найдем матрицу склейки штанов ~, — е < у < ~, +г со штанами уз~ — е < у < уз++в по граничным торам 1з +г и Л'-е Лемма б. Пусть Ь б (Ьв,1зз), ~4 (Ь) = ~з~(1') те и оь - ойраз окружности С1 й 1' ~(Д (Ь)) при изотопии вдоль траекторий поп» -угад(Н~~,з), Ь = 1 (Ь) на уровень Н = 1' . Перенесем на о~~ ориентаиию траектории ~~~(Ь), Тогда о~~ гомотопна в Р '(1', Ь) окружности 1ззе(1'), В одной связной компоненте подмногообразия № ориентации окружностей при данной гомотопии совпадают, а во второй обраи1аются. Доназатепьство.

Поясним, что при Ь 6 (Ьо, Ьз) изотопня вдоль поля -дгаа(Н~р ) происходит по какой-либо одной из двух выходящих ветвей сепаратрисной диаграммы интеграла — Н: Рьз -+ В., отвечающей седловой критической окружности Суй~ '(~4З(Ь)), Очевидно, что при ~з+(Ь) -+ Д(Ьв) существует предельное положение ветви сепаратрисной диаграммы, состоящее из гладкого семейства траекторий, выходящих из вырожденной критической окружности 5~1(Ьо), При Ь = Ьв изотопия происходит вдоль интегральных линий из данного семейства. Из связности отрезка (©Ьо), ~„(Ьв)) следует, что утверждение леммы достаточно дохгэать для Ь = Ьз.

Соотношения 1'Ьз — Ьз — 2И /2Ь вЂ” Ьз — Ьз М У й — «зг б -агссоз ~ (., -агссоз ~ ~~, зр= — +х1с, йбЕ, Ьз + Ьз ' Ь, — Ьз сс)в1п(у — ав)~ однозначно определяют в Р '(Ь,0) такую окружность оь1, что о'1(Ьз) = уз. Окружность Я~з, однозначно определяется следующими соотношениями: 1'Ьз — 2Ьз о — сзо 6 — агссоз ~ ~.0~, 4~= — +нЬ, ЬЕЕ, Ьз + Ьз ' 2 д ф ас =э р = ъ'сс ° со»» — »- »= . [з,"+~~ ПРи Ь б (Ьз, Ьз) полУчаем в Рз гомотопию Д+ окРУжности Уз . ОбРащак знак  — ас получим аналогичную гомотопию Д,. Очевидно, что Яь гомотопна в полиэдре Р (Ьз,0) половине восьмерки, в которую склеивается при Бз -» +О пара окружностей 1»з»(Ьз+эз) (лемма 3) нз различных связных компонент №.

На рис.8 изображен полиэдр Р '(Ьм О) и две пары окружностей, склеившихся по общим дугам седловай критической окружности уз (на рисунке общие дуги слева и справа). При этом склеиваются Д+, и Д, образы окружностей уз из различных компонент №. Соответственно, получаются пара частично совцадающих окружностей Я,, э,'„, изображенные иа рис.8 слева, Каждая окружность пары подобно меридиану охватывает один из двух торов, склеившихся вдоль гз.

Справа изображена аналогичная пара частично совпадающих окружностей, полученных изотопиямн 13„и ф нз различных компонент №, взятых в том же порядке, что и для первой цары. Перенесем на Я„з)„ориентацию траектории уз. Окружности Я,, з)„сливаются вдоль связного куска траектории уз. Непосредственно проверяется, что направление общего участка траектории, определяемое ориентацией каждой из окружностей 5„',, зь» . совпадает с направлением движения по траектории, Если сдвинуть эти охружности вдоль дгаЫ(Н[р») на уровень Н = Ьз + 6з, то получится а пара ориентированных окружностей, расположенных в разных компонентах У», гомотопных в каждом из двух торов, составляющих Р '(Ьз + эз,0), циклам,изз(Ьз + сз).

Очевидно, что одна из гомотопий сохраняет, а другая обращает ориентацию циклов, как элементов допустимых базисов(рис.8). Лемма доказана. Пусть «» (Ь) = ©1') — с, 1 б (1', Ь) и 6 = ф(1) — е. Если 6 > у" (Ьс), то сдвкнем тор Р' '(1,6) вдоль интегральных линий векторного поля дгай(Н~р.) на уровень Н = Ь. Такие сдвиги назовем трансформациями. ь Если 6 < у» (Ьс), то подвергнем тор Р '(1, 6) следующей трансформации. 1) Сдвинем вдоль интегральных линий поля дгаИ(Н[р») на такой уровень Н = Ь', ь что у» (Ь') = 6 = уз~(1) — е.

При 1 = Ь' тор склеится вдоль критической окружности Су й у '(у (Ь')) и превратится в полиэдр Р '(Ь',у (Ь')). 2) Один из двух торов, на которые разрывается тор Р ~(1, 6) прн прохождении 1 через значение Ь', сдвинем на уровень Н =' Ь вдоль семейства интегральных линий поля дтай(Н~р ) уходящего в бесконечность (второе семейство упирается в максимальную Р ) окружность уз (Ь") = 6). Для каждой входящей и той нз выходящих ветвей сепаратрнсной диаграммы (седловой окружности у (Ь)), которая уходит в бесконечность, при у» (Ь) » 1 (Ьс) существует предельное положение, состоящее из гладкого семейства траекторий, входящих в,или с» »с соответственно покидающих вырожденную критическую окружность Я+(Ьс). Заметим, что вторая(конечная) из выходящих ветвей црн этом стягивается на Я+'(Ье) и исчезаОчевидно, что построенное семейство трансформаций, непрерывно зависящих от 6 б («» (Ь),«, (Ьз)) О («» (Ьз),«з+(Ь) — е1, непрерывно продолжается иа весь отрезок ~«;(Ь),«,'(Ь) — 1.

Палее, вместе с каждым тором Р '((,6) трансформируем базис (дз»Щ, Лз»(()). При этом очевидным образом трансформируется ориентация циклов базиса, В результате получим базис (Л»(Ь),,д»(Ь)) на торе Т+з С г' '(Ь, «» (Ь) + а). Из леммы б следует, что окружность Л+(Ь) гомотопна в Т+з нетривиальному циклу, который высекает сепаратрисная диаграмма критической окружности «» (Ь") интеграла «: Рзз -+ В, где 6 = «„(Ь) + 8 = «» (Ь"). Ввиду малости е, данный цикл близок на торе Т+з (следовательно гомотопен) нетривиальному циклу„который высекает сепаратрисная диаграмма критической окружностк «(Ь) интеграла «: ф -» зь. Базис (рз+(Ь), Лз+(Ь)) на торе Р '(Ь, «з+(Ь) — с) при трансформации остается на месте.

Очевидным образом("снизу вверх" ) получаем склеивающую гомотопию 4»+(Ь): Т' -+ 9~», которая переводит базис (Л+(Ь),д+(Ь)) в допустимый базис (7»з+(Ь),Лз+(Ь)) граничного тора штанов «з+(Ь) — е < «< «з+(Ь), сохраняя ориентации циклов. Аналогично случаю Ьз < Ь < Ьз доказывается, что базис (д+(Ь), Л+(Ь)) определяет ориентацию края штанов «» (Ь) — е < «< «» (Ь) + е. Из леммы б следует, что ориентация цикла Л+(Ь), трансформированная из,из+(Е) («+ (1) — е = «(Ь) + е), индуцирована ориентацией траектории «»+(Ь) только для одной из двух связных компонент подмногообразия У», в то время как для другой компоненты зти ориентации противоположны.

Следовательно, в одной компоненте подмногообразия У» базис (д+(Ь), Л+(Ь)) — допустимый, а в другой компоненте допустимым является базис (-д+(Ь), -Л+(Ь)). Соответственно, матрицы склейки равны Матрицы склейки штанов «»+ — с < «< «»++ с со штанами «з — с < «< «з +е по граничным торам «»+ — е и «, + с имеют противоположные знаки, т.к, ориентация цикла дз»(() обращается при переходе через нулевой уровень « (при «з (») — с = «з (»)+ е = О), а ориентации всех циклов Лзв(4) согласованы с ориентациями траекторий «з (1) векторного поля о, следовательно согласованы между собой, Матрицы склейки, соответствующие всем ребрам графа ГЯз~, «), найдены, По матрицам склейки вычисляются метки еь е;, и; (7).

з 7.6, Показательство теоремы б: метки при Ь > Ьз Зафиксируем связную компоненту подмногообразня №. При Ь вЂ” » Ьз — 0 критичес- кис окРУжности ~4 (6) и ~, (6) сливакэтск с тРаектоРией Тз и пРи Ь > Ьз исчезают. Очевидно, что существует такое семейство восьмерок о~(Ь) Ч по~(6), непрерывно зависящих от Ь б (Ьз, Ьз), что." а) п~(Ь) ч по~(6) С Р '(Ь, У~ (6)); б) каждая окружность восьмерки есть меридиан одного из двух торов, склеившихся в полиэдр Р '(Ь, У4 (6)) вдоль общей параллели СУ П У '(~~ (6)), которая инцидентна центру восьмерки; в) и+(6) — меридиан максимального полнотория У > уз (6) — е; г) цикл Уз+(6) (опРедепйнный выше пРи Ьо < Ь < Ьз) пРи е -+ 0 внУтРи полиэдРа ,У4 (6) < У < У4 (6) + с гомотопируется к окружности ос+(6).

На полиэдре Р '(Ь, У4+(6)) имеются аналогичная восьмерка п (Ь) Ч оо (6). При Ь вЂ” > Ьз — 0 восьмерки е~(6) Ч ос+(Уз) и е (Ь) Ч ое (6) так склеиваются в одну восьмерку и+(Узз) ~/ и (Ьз), что и+(Ьз) = ео (Ьз) и с (Ьз) = по+(Ьз) После этого поверхность Я разрывается вдоль окружности уз. То же самое происходит во второй связной компоненте №. Так ЬУзь Распадаетси на две свкзные компоненты с пРотивоположными знаками координаты Мз. При этом каждая из двух восьмерок и+(Ьз) Ч а (Ьз) распадается на пару окружностей сто(6), которые остаются меридианами минимаксных полноторий ~У вЂ” Д(6) ~ < е. Итак, при Ь > Ьз, в одной связной компоненте Я~а склеивается пара полноторий У > уз (Ь) — е со штанами Уз (6) — с < У < Уз (6) + е, а в другой связной компоненте склеивается пара полноторий У < У < ~+(6)+ < е со штанами Уз+(6) — с < У' < Уз4 (6) + с .

Очевидно, что пРи Ь > Ьз можно так непРеРывно пРодолжить семейство базисов (Ля(6), уз~(6)) и гомотопий фз (6) (определенных выше при Ьо < Ь < Ьз), что; а) п~(Ьз) = о'~(Ьз); б) узэ(6) — меридиан минимэхсного полнотория ~~ — Д(6)~ < с; в) Ля(6) — параллель этого полнотория, гомотопная минимаксной окружности уз (6): 1) гомотопия фз (Ь) переводит ба~не (Ль(6), уз~(6)) в допустимый б~~~с (узза(6), Лзз (6) ).

Если ориентация окружности Ль(6) не согласована с ориентацией минимаксной траектории, которой она гомотопна в полнотории, то заменим ориентации циклов Ль(6) и р~(6) на противоположные, Ясно, что базис (Л (6), —,ия(6)) определяет ориентацию края полнотория ~~ — уз (6)~ < с и является допустимым. Как в случае Ьо < Ь < Ьз, из леммы 5 следует, что в другой связной компоненте № матрица изменит знак.

Итак матрицы, приклеивакэщие по два минимаксных полнотория к каждой из двух связных компонент О~з, имеют вид: По матрицам склейки вычисляются метки г;, сь Метки и; в данном случае отсутству- к1т. Теорема 5 доказана. П$ЭИЛОЖЕНИЕ Подписи к рисункам. рнс. 1.