Диссертация (Горизонтальные движения водного слоя, сопровождающие генерацию и распространение волн цунами), страница 6

Эта схема представлена на Рис. 1.4.1. Диапазонизменения долей энергии соответствует изменению размера очага цунами от 50 до 300 км(диапазоны указаны для тех видов движений, где есть зависимость от размера очага).Задачей об образовании остаточных вихрей в однородном океане вблизи очаговцунамизанималисьтакиепредставителисоветскойшколыцунамистикикакЕ.Н.Пелиновский [Пелиновский, 1996], С.С.Войт [Войт и др., 1986], А.В.

Бобрович[Бобрович, 1990], а также и С.Ф.Доценко [Доценко, 2000]. Авторы этих работиспользовали линейную теорию длинных волн, уравнения которой записывались с учетомсилы Кориолиса (1.2.11)-(1.2.13). Главные выводы этой серии исследований следующие. Вслое вращающейся жидкости, который возмущен деформацией участка дна, возникаютдватипадвижений:поверхностныегравитационныеволныистационарныйгеострофический вихрь.

Причем для формирования геострофического вихря в областиисточника необходимо существование ненулевой остаточной деформации дна. ВращениеЗемли сказывается как на общем уменьшении энергии волны цунами, так и нанаправленности излучения энергии асимметричными очагами.Иногда возникали публикации авторов, которые, судя по списку цитируемойлитературы, не были знакомы со всем спектром работ советской школы цунамистов, ипоэтому прорабатывали задачу самостоятельно и «независимо» [Ингель, 1998]. Выводы,сделанные в упомянутой работе, основаны на принципе сохранения потенциальноговихря. И эти выводы подтверждают, что во вращающемся океане цунамигенноеземлетрясение должно оставлять след – геострофический вихрь.

Примечательно, чтоавтор рассматриваемой публикации предвидит, что помимо баротропного следацунамигенного землетрясения, при учете устойчивой стратификации должен возникатьеще и бароклинный след. Причем в отличие от баротропного следа, для заметныхпроявлений которого необходима малая глубина океана, бароклинный след будетприсутствовать и в глубоком океане.Итак, главным выводом можно считать признание факта, что остаточныедеформации дна в очаге цунами формируют не только гравитационные волны, но истационарный (остаточный) геострофический вихрь.

Впрочем, энергия вихря и смещениесвободной поверхности в нем незначительны. Поэтому вращение Земли не может сильноповлиять на волны цунами.Несмотря на большое внимание к остаточным вихревым полям, долгое время, постранному стечению обстоятельств, оставалось вне рассмотрения потенциальное27остаточное поле.

Впервые на него обратили внимание лишь в работах [Носов и др., 2011;Nosov, 2011; Колесов и др., 2011]. Поясним подробнее, о чем идет речь. Основноймеханизм генерации цунами землетрясением связан с вытеснением воды остаточнойдеформацией дна. При сильных землетрясениях вытесненный объем может составлятьдесятки и даже сотни кубических километров [Levin, Nosov, 2016]. Под влиянием силытяжести вытесненный объем распределяется (растекается) в океане по мере того, какволна цунами распространяется из области источника.

Процесс «растекания», очевидно,сопровождается остаточными смещениями частиц воды в горизонтальном направлении –так возникает потенциальное остаточное гидродинамическое поле. При горизонтальномдвижении частиц воды под действием силы Кориолиса формируется геострофическийвихрь (вихревое остаточное гидродинамическое поле). Такова полная картина. Иобсуждаемые выше вихревые остаточные поля – это только часть целого.Замечательным свойством остаточных полей является их прямая связь с основныммеханизмом генерации цунами – вытеснением воды косейсмической деформацией дна.Следовательно, остаточные поля несут в себе информацию об источнике цунами и могутбыть использованы при решении задач оперативного прогноза [Носов и др., 2011].В работах [Носов и др., 2011; Nosov, 2011; Колесов и др., 2011] остаточные поляисследовались преимущественно численными методами.

В частности, в работе [Носов идр., 2011] был предложен численный метод расчета остаточных полей для реальныхочагов цунами. Этот метод применен для оценки остаточных горизонтальных смещенийчастиц воды и поля скорости в геострофическом вихре на примере очага цунами 15ноября 2006 года (Центральные Курилы). Было показано, что в области больших глубингоризонтальное смещение составило несколько метров, а на мелководье остаточныегоризонтальные смещения частиц воды превышали 100 м. Также была оценена10кинетическая энергия вихревого течения, она составляет 6 . 4  10 Дж, что есть 0.066% отпотенциальной энергии начального возвышения в очаге цунами.Более совершенная численная модель для расчета остаточного смещения частицводы, созданная на основе метода конечных элементов, описана в работе [Nosov et al.,2013].

В этой работе, на основе линейной теории длинных волн проанализированадинамика установления поля остаточных смещений. Показано, что в открытом океанеостаточные смещения формируются сразу после прохождения лидирующей волныцунами. Вблизи берега горизонтальные движения хотя и характеризуются значительнойамплитудой (сотни метров), но выглядят сложно и запутанно из-за влияния волн,захваченных шельфом.

Вихревое поле в этой работе не рассматривалось.28Глава 2. Остаточные гидродинамические поля. СтатическиезадачиГлава посвящена теоретическому анализу «следов» цунамигенного землетрясения вокеане. Рассматриваются стационарные задачи об остаточных вихревом и потенциальномполях, возникающих в однородном и стратифицированном океане в результатекосейсмических деформаций дна в очагах цунами. Результаты главы опубликованы вработах [Н1-Н3; Н6; Н7; Н9-Н11].2.1.Однородный океанВ этом разделе описана физическая модель и основные уравнения, положенные воснову математического подхода.

Приведен вывод системы уравнений, описывающихостаточные гидродинамические поля в однородном океане, которые сопутствуютгенерации цунами землетрясением. Эта система уравнений решается аналитически дляслучая цилиндрически-симметричного источника. На основе аналитического решенияанализируется структура остаточных полей и оцениваются их параметры для условий,свойственных реальным очагам цунами. Анализируется связь остаточных полей смоментной магнитудой землетрясения.2.1.1.

Физическая модель и математическая постановка задачиЦелью данной части работы было получить аналитическое решение задачи обостаточных гидродинамических полях в однородном вращающемся океане, возникающихпри генерации цунами землетрясением. Для этого мы стремились найти наиболее простоеприближение, отражающее физику процессов и пригодное для получения аналитическогорешения. В итоге остановились на следующей модели (Рис.

2.1.1.1). Слой однороднойнесжимаемой жидкости, постоянной глубины H, во вращающейся системе отсчета(приближение f-плоскости [Гилл, 1983, Зырянов, 1995]).Для описания движений жидкости применим уравнения линейной теории длинныхволн, которые являются традиционным приближением для описания волн цунами u v   H     0 ,t t x y (2.1.1.1)u g fv ,tx(2.1.1.2)29v g fu ,ty(2.1.1.3)где  – смещение свободной поверхности воды от равновесного положения,  –смещение поверхности дна от исходного положения, u и v – компоненты векторагоризонтального скорости течения (V ) вдоль осей 0 x и 0 y соответственно, g –ускорение силы тяжести, f – параметр Кориолиса.Рис.

2.1.1.1. Постановка задачи для однородного океана постоянной глубины НВ соответствии с теоремой Гельмгольца произвольное поле скорости теченияпредставимо в виде суперпозиции потенциального и вихревого полейu ,x y(2.1.1.4)v ,y x(2.1.1.5)где  – потенциал,  – функция тока. При подстановке формул (2.1.1.4) и (2.1.1.5) вуравнение (2.1.1.1) функция тока автоматически исключается, и мы приходим кследующему выражению: 1  ( ).H t t(2.1.1.6)Проинтегрировав уравнение (2.1.1.6) по времени от 0 до  имеем 1(     ) ,H(2.1.1.7)30где   – остаточное смещение свободной поверхности воды в геострофическом вихре,    dt – потенциал смещений.

Остаточное смещение частиц воды в горизонтальном0направлении связано с потенциалом  следующей формулой: D   Vdt   .(2.1.1.8)0Используя перекрестное дифференцирование по пространственным координатам,исключим из уравнений (2.1.1.2) и (2.1.1.3) функцию  .  u v t  y x  v u f  . y x (2.1.1.9)Выразим компоненты скорости через потенциал и функцию тока xy   yy   yx   xx   f  yy   xy   xx   yx  ,t(2.1.1.10)где индексами обозначены соответствующие частные производные.

В итоге получаем  f .t(2.1.1.11)Проинтегрировав полученное соотношение по времени от 0 до  , получаем   f ,(2.1.1.12)где   – функция тока, описывающая остаточное вихревое поле – стационарныйгеострофический вихрь.Далее запишем динамические уравнения (2.1.1.2) и (2.1.1.3) в стационарном случае,когда существует установившийся геострофический вихрь0  g  fv ,x(2.1.1.13)0  g  fu .y(2.1.1.14)Продифференцируем уравнения (2.1.1.13) и (2.1.1.14) по координатам x и y исложим их vu g   f      .y  x(2.1.1.15)Стационарное течение может быть только вихревым, следовательно, выражаемкомпоненты через функцию тока    2   2  ,g   f  2y 2  x(2.1.1.16)31g    f  .(2.1.1.17)Учитывая уравнение (2.1.1.12) переписываем (2.1.1.17) в следующем виде:g    f 2  .(2.1.1.18)Уравнения (2.1.1.7), (2.1.1.12) и (2.1.1.18) представляют собой замкнутую системудифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций:  ,   и   .Решение этой системы позволяет рассчитать остаточные гидродинамические поля,возникающие во вращающемся океане постоянно глубины по известной остаточнойдеформации дна   .Исключая из системы (2.1.1.7), (2.1.1.12) и (2.1.1.18) функции  и   , приходим кнеоднородному уравнению Гельмгольца для функции  R02       ,(2.1.1.19)где R02  gH / f 2 – квадрат баротропного радиуса деформации Россби.2.1.2.

Осесимметричная задача. Аналитическое решениеДля получения аналитического решения в качестве простой модели остаточнойдеформации дна рассмотрим осесимметричное поднятие (Рис. 2.1.2.1)  (r )  0 1   (r  R) ,(2.1.2.1)где 0 – амплитуда деформации, R – радиус источника,  – функция Хевисайда.Запишем уравнение (2.1.1.19) для случая радиальной симметрии в цилиндрическихкоординатахR021     r    r r  r (2.1.2.2)или  21         .R02  2 r r  r(2.1.2.3)Рис.2.1.2.1.

Вид осесимметричного поднятия дна.32Приведем уравнение (2.1.2.3) к безразмерному виду, введя безразмернуюпространственную переменную r *  r / R .R02   2  1       ,R 2  r *2 r * r * (2.1.2.4) 2 1   * *   2     2 ,*2rr r(2.1.2.5)где   R / R0 – безразмерный параметр, выражающий отношение радиуса источника ибаротропного радиуса деформации Россби.Решение уравнения (2.1.2.5), удовлетворяющее условию ограниченности набесконечности, выражается через функции Инфельда I i и Макдональда K i [Полянин,2001]1   I0 (r *  ) K 1 ( ), 0  r *  1,   0  K 0 (r *  ) I1 (  ),r *  1.(2.1.2.6)По известной функции   из уравнений (2.1.1.12), (2.1.1.18) находим функции  и     g  / f 2 ,(2.1.2.7)    g  / f .(2.1.2.8)Вообще говоря, формулы (2.1.2.7) и (2.1.2.8) верны с точностью до функции видаC1 ln r  C2 , где C1 и C2 – константы интегрирования.