Диссертация (Горизонтальные движения водного слоя, сопровождающие генерацию и распространение волн цунами), страница 3

Ось 0 z направимвертикально вверх, а оси 0 x и 0 y – на восток и на север соответственно. Начало системыотсчета расположим на невозмущенной водной поверхности.Для силы Кориолиса в системе координат 0 xyz применим так называемое«традиционное приближение» [Гринспен, 1975; Зырянов, 1995], согласно которомупренебрегаютвертикальной компонентой скороститеченияwи вертикальнойкомпонентой силы Кориолиса: v  sin( lat )  w  cos(lat )   2v  sin( lat )   fv    2V   2 u  sin( lat )  2u  sin( lat )     fu   0   0 u  cos(lat )  2[ V   ]  ( fv ,  fu , 0 ) ,где f  2  sin( lat ) – параметр Кориолиса, lat – географическая широта места.Для вывода уравнений теории длинных волн перепишем уравнения неразрывностии Навье-Стокса в покомпонентной формеu v w0,x y z(1.2.1)121 p ( V )u   u  fv ,t x(1.2.2)1 p ( V )v   v  fu ,t y(1.2.3)1 p ( V )w   w  g .t z(1.2.4)uvwДалее будем работать в приближении идеальной жидкости (  0 ) .

В открытом океане,где амплитуда движений, вызванных малыми деформациями дна, невелика, нелинейнымичленами в уравнениях (1.2.2)-(1.2.4) также целесообразно пренебречь. Приходим ксистеме следующего вида:u1 p fv ,t x(1.2.5)v1 p fu ,t y(1.2.6)w1 pg.t z(1.2.7)Уравнение неразрывности (1.2.1) позволяет установить связь между масштабамивертикальной W0 и горизонтальной U 0 скоростиW0 ~U0 H,L(1.2.8)где L и H – горизонтальный и вертикальный линейные масштабы рассматриваемойзадачи. Из (1.2.8) видно, что условие H / L  1 , которое выполняется для длинных волн,также означает, что вертикальные скорости (и ускорения) существенно уступаютгоризонтальным а, следовательно, ими можно пренебречь. Учитывая это, из третьегодинамического уравнения (1.2.7) получаем закон гидростатики.1 p g  0. z(1.2.9)Далее, проинтегрировав уравнение (1.2.9) от некоторой точки z внутри слояжидкости до свободной поверхности, получаем выражение для давления на глубине z:p  g (  z )  p0 ,(1.2.10)где  – смещение свободной поверхности воды относительного равновесия, p0 –давление на поверхности воды (атмосферное давление).

В дальнейших рассуждениях мыполагаем p0  const .13Подставляя выражение (1.2.10) в первое и во второе динамические уравнения(1.2.5), (1.2.6), имеем:u g fv ,tx(1.2.11)v g fu .ty(1.2.12)Из уравнений (1.2.11), (1.2.12) следует, что компоненты скорости не зависят отвертикальнойкоординаты.Используяэтосвойство,проинтегрируемуравнениенеразрывности (1.2.1) от дна (H   ) , где  – смещение поверхности дна относительнопервоначального положения, до поверхности  , получим:  div(( H     )V )  0 .t t(1.2.13)В силу малости амплитуды деформации дна и амплитуды волны по сравнению сглубиной океана (  ~   H ), этими величинами в уравнении (1.2.13) можнопренебречь. В итоге переходим к следующему уравнению:  div( HV )  0 ,t t(1.2.14)где div – горизонтальный оператор.Уравнения (1.2.11), (1.2.12) и (1.2.14) представляют собой систему уравненийлинейной теории длинных волн, которая широко используется для описания динамикиволн цунами в открытом океане [Марчук и др., 1983; Пелиновский, 1996; Levin, Nosov,2016].Несложно показать, что при f  0 уравнения (1.2.11), (1.2.12) и (1.2.14) могут бытьсведены к неоднородному волновому уравнению относительно смещения свободнойповерхности 2 2divgH.t 2t 2(1.2.15)В уравнение (1.2.15) на месте скорости распространения волн стоит величинаgH ,представляющая собой скорость длинных гравитационных волн в океане.Если повторить вывод уравнений теории длинных волн, но при этом в уравнениях(1.2.2)-(1.2.4) не отбрасывать нелинейные члены, то несложно получить системунелинейных уравнений теории длинных волн, которая свободна от ограничения наамплитуду волны.

Именно такие нелинейные уравнения, как правило, дополненные14эмпирически вводимой силой донного трения, положены в основу современныхчисленных кодов, предназначенных для моделирования волн цунамиuuu CB u u 2  v 2uv g fv ,txyxD(1.2.16)vvv C B v u 2  v 2 u  v  g fu ,txyyD(1.2.17)  ( D u ) ( D v )  0,t xy(1.2.18)D( x , y ,t )  H ( x , y )   ( x , y ,t )   ( x , y ,t ) – толщина водного слоя, C B – безразмерныйэмпирический коэффициент, значение которого обычно полагают равным 0.0025.К настоящему времени разработано множество численных моделей цунами [Носов,2014]. Наиболее известными моделями являются: TUNAMI [Imamura et al.

2006], MOST[Titov et al. 2003], COMCOT [Liu et al. 1998], NAMI DANCE [Zaytsev et al. 2010], MGC[Shokin et al. 2008], TsunAWI [Harig et al. 2008], NEOWAVE [Yamazaki et al. 2009],GeoClaw [LeVeque et al. 2011]. На полноту списка мы здесь, конечно, претендовать небудем. Кроме уже упомянутых моделей, существуют специализированные программныесредства для воспроизведения цунами, которые не имеют специальных названий [Fine etal. 2005; Fujii, Satake 2007; Kowalik et al. 2007; Nicolsky et al.

2011; Nosov et al. 2013].Все упомянутые выше модели построены на основе теории длинных волн, в рамкахкоторой исходная 3D гидродинамическая задача сводится к 2D задаче. Несмотря наактивное развитие и внедрение в практику 3D численных моделей цунами [Ohmachi et al.2001; Nosov, Kolesov, 2007; Choi et al. 2007, 2008; Bolshakova et al. 2011; Ma et al.

2012],вертикальноинтегрированные (2D) модели, несомненно, останутся востребованными как всилу хорошего соответствия физике воспроизводимого явления, так и в силу сравнительнонебольшого объема вычислений (по сравнению с 3D моделями).Как было показано выше, включение силы Кориолиса в уравнения теории длинныхволн не сопряжено с какими-либо сложностями. В этой связи во многих современныхчисленных моделях цунами эффект вращения Земли учитывается. Но анализ проявленийэтого эффекта проводится довольно редко. Причем в большинстве случаев анализсводится к сопоставлению результатов численного моделирования цунами с учетом и безучета силы Кориолиса.

Примечательно, что сопоставлению подлежат либо волновыеформы [Dao, Tkalich, 2007; Løvholt et al., 2008; Watada et al., 2014], либо пространственныераспределения максимальных смещений поверхности океана [Kirby et al., 2013; Kowalik etal., 2005], т.е. анализируются колебания водной поверхности, а поле горизонтальных15течений не рассматривается. Авторы отмеченных работ, как правило, ограничиваютсявыводом о том, что влияние силы Кориолиса на динамику цунами незначительно.В качестве примера на Рис.

1.2.1 и Рис. 1.2.2 приведены иллюстрации из работ[Kowalik et al., 2005; Kirby et al., 2013].Рис. 1.2.1. Расчетное распределение высот волн цунами в Мировом океане 26 декабря 2004 г. (верх). Разницарассчитанных амплитуд волн цунами с учетом и без учета силы Кориолиса (низ). Рисунок заимствован изработы [Kowalik et al., 2005].На Рис.

1.2.1 (верх) представлено распределение максимальных расчетныхамплитуд Индонезийского цунами 26 декабря 2004 г. Эта картина, ставшая уже давно16традиционной для тех, кто занимается численным моделированием цунами, хорошоотражает известные эффекты: направленность излучения волн вытянутым источником изахват волн подводными срединно-океаническими хребтами. Но в данном случае мы несобираемся обсуждать эти эффекты. Рисунок приведен скорее для сравнения с нижнимРис. 1.2.1, на котором показана разница распределений максимальных амплитуд,рассчитанная с учетом и без учета силы Кориолиса.

Если судить по шкалампредставленных рисунков, то видно, что эти различия не слишком велики, находятся онина уровне всего 1%. Хорошо заметно, что различия в целом увеличиваются приприближении к высоким (южным) широтам в силу возрастания силы Кориолиса. Внекоторых областях относительная важность эффектов вращения Земли может быть нетакой малой. Так, например, в Тихом океане над Южным тихоокеанским поднятиемразличия достигают 1 см.

Примечательно, что максимальная амплитуда волн в этойобласти составляет всего 4 см. Т.е. эффект вращения Земли имеет заметные проявления науровне 25%. Авторы работы делают вывод, что эффект “накапливается” по мерераспространения волн на длинные дистанции. Отчасти об этом свидетельствуютненулевые различия в расчетных амплитудах вдоль экватора, где параметр Кориолисаобращается в ноль.Рис. 1.2.2. Сопоставление результатов численного моделирования цунами с учетом и без учета силыКориолиса.

Сплошные линии показывают максимальную за время расчета амплитуду смещения свободнойповерхности с учетом силы Кориолиса через 10 часов после момента генерации цунами. Пунктирные линии– аналогичный расчет без учета силы Кориолиса. Амплитуда смещений нормирована на амплитудуисточника.

Рисунок заимствован из работы [Kirby et al., 2013]На Рис. 1.2.2, который заимствован из работы [Kirby et al., 2013], приводитсясопоставление результатов численного моделирования гипотетического цунами. Показано17распределение максимальной за расчетное время (10 часов) амплитуды смещениясвободной поверхности воды (сплошные линии – с учетом силы Кориолиса, пунктирные –без учета). Авторы отмечают – и это видно из Рис. 1.2.2, – что вращение Земли приводит кболее быстрому затуханию волнового поля с расстоянием и к незначительной асимметрииэтого поля в направлении «восток-запад».

Физическая сущность эффектов, которыенаблюдаются при численном моделировании, не разъясняется.Здесь еще важно отметить, что традиционные переменные, используемые вчисленных моделях цунами (смещение свободной поверхности и вектор скоростигоризонтального течения или вектор полного потока), не способствуют выявлению ианализу слабых вихревых полей – проявлений эффекта вращения Земли. С нашей точкизрения, для изучения эффектов вращения Земли в задаче цунами, целесообразно перейтиот вектора скорости течения к потенциалу и функции тока.