Диссертация (Горизонтальные движения водного слоя, сопровождающие генерацию и распространение волн цунами), страница 7

Но из условия ограниченностирешения следует, что C1  0 . А значение константы C2 не имеет значения, т.к. искомыевеличины (остаточное смещение частиц воды в радиальном направлении D и скорость вгеострофическом вихре v ) выражаются как производныеD ,(2.1.2.9)rV   .(2.1.2.10)rИспользуя формулы (2.1.2.6)-(2.1.2.10), окончательно получаем:D 0 R (r * ) ,HV  (2.1.2.11)0 Rf (r * ) ,H(2.1.2.12)I 1 ( r *  )K 1 (  ), 0  r *  1,( r )  I 1 (  )K 1 ( r *  ), r *  1.*(2.1.2.13)33По возвышению свободной поверхности   и полю скорости V рассчитаемпотенциальную W p и кинетическую Wk энергии геострофического вихря2W p  g    rdr ,(2.1.2.14)02Wk  H  V rdr ,(2.1.2.15)0где  – плотность воды.

Выполнив интегрирование в формулах (2.1.2.14), (2.1.2.15),получаем2222W p / W0  1   2 I 1 (  )K0 (  )  4 I1(  )K1(  )   2 I0 (  )K1 (  ) ,(2.1.2.16)Wk / W0  [ I1 (  ) K 2 ( )  I 0 (  ) K1 (  )] .(2.1.2.17)Величины W p и Wk нормированы на потенциальную энергию «начального возвышения»,2эквивалентного по форме остаточной деформации дна W0  0.5gR 20 . Эта величинаобычно ассоциируется с энергией цунами.2.1.3. Свойства осесимметричных остаточных полейВ условиях нашей планеты основной параметр задачи варьируются от  min  0 вэкваториальной зоне до  max ~ 1 (высокие широты, протяженный очаг, шельфовыеглубины).

Типичное значение этого параметра при f ~ 104 c 1 , R ~ 105 м , H ~ 103 мсоставляет  ~ 101 .Рис. 2.1.3.1. Смещение свободной поверхности воды в остаточном геострофическом вихре, рассчитанноепо формуле (2.1.2.6).34Для представления результатов выбран диапазон изменения параметра  , которыйнесколько расширен в сторону больших значений, но ограничен снизу: 10 2    101 .Выбор диапазона обусловлен тем, что при   1 наблюдаются интересные особенностирешения, а при   102 поведение решения очевидно. Гипотетически значения   1могут реализовываться во внеземных условиях.На Рис. 2.1.3.1 показана форма смещения свободной поверхности воды востаточном геострофическом вихре, рассчитанная при различных значениях параметра по формуле (2.1.2.6).

Из рисунка видно, что функция   (r * ) достигает максимума вцентре источника и остается практически неизменной вплоть до его границы. Внеисточника функция монотонно убывает, причем при больших значениях радиуса ееповедение соответствует асимптотике функции Макдональда:   (r * ) ~ exp(  r * ) / r * .Экспоненциальное убывание функции   (r * ) говорит о том, что вихрь локализован впространстве. Кроме того, характер убывания функции   (r * ) (быстрее чем r 1 ) важендля сходимости интеграла в формуле для потенциальной энергии (2.1.2.14).Рис.

2.1.3.2 Функция β, определяющая радиальную зависимость скорости течения в остаточномгеострофическом вихре и остаточного смещения частиц воды вдоль радиуса. Расчет выполнен по формуле(2.1.2.13).Уменьшение параметра  (в диапазоне   1 ) сопровождается быстрым падениемамплитуды смещения свободной поверхности и увеличением размера геострофическоговихря. При типичном для природных условий значении  ~ 101 радиус вихря оказывается35порядка баротропного радиуса деформации Россби ( R0 *  R0 / R  1 /  ), что примерно напорядок превосходит радиус типичного источника цунами, а амплитуда смещениясвободнойповерхностисоставитпорядка1%отамплитудыдеформациидна(   max ~ 0.01 м при типичной амплитуде деформации 0 ~ 1 м ).На Рис. 2.1.3.2 представлена функция  (r * ) , рассчитанная по формуле (2.1.2.13),которая определяет радиальную зависимость остаточного смещения частиц воды D (r * ) искорости течения в остаточном геострофическом вихре V ( r * ) .

При всех значенияхаргумента  (r * )  0 . Т.е., в соответствии с формулой (2.1.2.11), поднятие дна (0  0 )сопровождается смещением частиц воды в положительном направлении – от центраисточника. Отрицательный знак в формуле (2.1.2.12) означает, что в Северномполушарии, где параметр Кориолиса f  0 , поднятие дна вызывает вихрь, вращающийсяв отрицательном направлении (антициклонический). Опускание дна (0  0 ) приводит кобратному результату – смещению частиц к центру и к циклоническому вихрю.При любых значениях параметра  функция  (r * ) принимает нулевое значение вцентре источника и достигает максимума на его границе. Вне источника функция  (r * )монотонно убывает, причем при больших значениях радиуса ее поведение соответствуетасимптотике функции Макдональда:  (r * ) ~ exp(  r * ) / r * .

И в этом случае характерубывания функция  (r * ) (быстрее чем r 1 ) важен для сходимости интеграла в формуледля кинетической энергии (2.1.2.15).Напомним, что экспоненциально спадающая функция  (r * ) определяет не тольковихревое, но и потенциальное поле. Отсюда следует интересный вывод: вращение Землиограничивает область проявления не только вихревого, но и потенциального остаточногополя. Иными словами, вытесненный объем растекается не по всей акватории, а внутриобласти ограниченной баротропным радиусом деформации Россби ( R0 *  R0 / R  1 /  ).Вне этой области остаточные смещения оказываются нулевыми, что, разумеется, неотменяет возвратно-поступательные движения частиц воды при распространениигравитационных волн на любом расстоянии от источника.

Если пренебречь силойКориолиса (   0 ), то функция  (r * ) принимает видlimr * , 0  r *  1,(r )  lim  (r ,  )  0.5 1 0r * , r *  1.**36Предельная зависимость представлена на Рис. 2.1.3.2 толстой серой кривой. Видно, что вэтом случае потенциальное поле убывает относительно медленно – по закону r 1 .Зная, что функции   (r * ) и  (r * ) достигают максимальных значений в центреобласти при r  0 и на границе источника при r *  1 соответственно, из выражений(2.2.6), (2.2.13) получаем формулы для максимальных значений этих функций  max /0  1  K 1 (  ) ,(2.1.3.1) max (  )  I1 (  ) K1 ( ) .(2.1.3.2)Вид функций (2.1.3.1) и (2.1.3.2) представлен на Рис. 2.1.3.3. Видно, что увеличениепараметра  ведет к быстрому росту величины   max / 0 , в то время как величина  maxмонотонно убывает, причем при   1 (типичные условия)  max  0.5 .

Поэтому для оценкимаксимальных значений горизонтального смещения частиц воды и скорости вихревоготечения вместо выражений (2.1.2.9), (2.1.2.10) можно применять упрощенные формулыD max  0.50 R / H ,(2.1.3.3)V max  0.50 R f / H .(2.1.3.4)При типичных значениях параметров очага цунами (0  2 м , R  105 м , H  103 м ,f  104 c )из(2.1.3.3),(2.1.3.4)получаемследующиеоценки:D max  100 м ,v max  0.01м / с .Горизонтальные смещения ~ 100 м , несомненно, могут быть зарегистрированы вокеане, например, с использованием дрифтеров, оснащенных системой спутниковогопозиционирования. Но скорость в геострофическом вихре ~ 0.01 м / с оказывается стольмалой, что обнаружить ее на фоне прочих океанических течений будет непросто.Впрочем, малые значения вихревой скорости означают, что потенциальное поле, покрайней мере, в первые часы после подводного землетрясения, не должно быть сильноискажено вихревым полем.

Сопоставляя формулы (2.1.2.11), (2.1.2.12), несложноустановить, что существенные искажения наступят за время t  D / v  f 1 ~ 10 4 c .На Рис. 2.1.3.3 представлены потенциальная, кинетическая и полная энергиигеострофического вихря, рассчитанные по формулам (2.1.2.16), (2.1.2.17) как функциипараметра  .

Потенциальная энергия ( Wp /W0 ) при увеличении параметра  монотонновозрастает, стремясь в пределе к 1. При   0.1 кинетическая энергия ( Wk /W0 ) примернона порядок превосходит потенциальную энергию. При   0.956 значения потенциальнойикинетическойэнергийсравниваются( Wp / W0  Wk / W0  0.153 ).37При  0.956потенциальная энергия вихря превосходит кинетическую.

Зависимость для кинетическойэнергии обладает максимумом Wk / W0 max  0.175 , который достигается при   1.587 .Т.е. кинетическая энергия в любом случае не превышает 17.5% энергии источника.Рис. 2.1.3.3. Нормированные полная, потенциальная и кинетическая энергии остаточногогеострофического вихря как функции параметра µ. Расчет выполнен по формулам (2.1.2.16), (2.1.2.17).Максимальное значение смещения свободной поверхности воды в геострофическом вихре, нормированноена амплитуду деформации дна, и максимальное значение функции β как функции параметра µ.

Расчетвыполнен по формулам (2.1.3.1), (2.1.3.2).Полная энергия вихря (Wk  W p ) / W0 монотонно растет при увеличении параметра , приближаясь к максимальному значению, равному 1. В типичных условиях (   0.1 ) вгеострофическом вихре связывается до 1% энергии источника цунами, в исключительныхслучаях (при   1 ) – до 30%.Отдельного комментария заслуживает гипотетическая для условий нашей планетыситуация   1 , когда влияние силы Кориолиса оказывается столь велико, что в областидеформации дна остается стационарное возмущение поверхности, сопоставимое повысоте и размерам с деформацией дна (см. Рис.

2.1.3.1). При этом остаточные смещения ивихревые скорости наблюдаются только у границы источника, а их величина заметнопадает с ростом параметра  (см. Рис. 2.1.3.2). Интересно, что в этом гипотетическомслучае, волны цунами могли бы быть заметно ослаблены, за счет того, что основная частьэнергии источника оказалась бы связанной в геострофическом вихре.38Эффектсвязыванияначальноговозвышениявочагецунамиможетреализовываться в типичных земных условиях, но для возмущений устойчивойстратификационной структуры океана, вызванных землетрясением. Заметим, чтовозмущения стратификационной структуры могут быть обязаны не только вытеснениюводы остаточной деформацией дна, но и эффектам перемешивания, инициированнымсильными сейсмическими движениями дна [Левин и др., 1998; Nosov, 1998; Levin, Nosov,2016]. В любом случае, при возмущениях стратификационной структуры горизонтальныйразмер очага цунами следует сопоставлять с бароклинным радиусом деформации Россби( ~ 10 4 м ) [Gill, 1982], который, в противоположность баротропному радиусу, существенноуступает размеру очага цунами.

Следовательно, вращение Земли должно оказыватьсильное влияние на эволюцию возмущения стратификационной структуры, препятствуяего распаду на серию внутренних волн, как это описано, например, в классической работе[Hammack, 1980]. Влияние устойчивой стратификации на остаточные поля мы рассмотримв разделе 2.2.2.1.4. Влияниепространственнойформыинеоднородностейисточниканаостаточные поляВ разделе 2.1.1.