Диссертация (Горизонтальные движения водного слоя, сопровождающие генерацию и распространение волн цунами), страница 9

Заметим, что наши оценки вихревых скоростей неплохо соответствуютрасчетам, выполненным, например, в работе [Доценко, 2001]. Однако, следует отметить,что оценки потенциальных полей выполнены впервые.Рис. 2.1.5.3. Энергия землетрясения WEQ , энергия волны цунами WTSи энергия остаточногогеострофического вихря WGV при различных глубинах как функции моментной магнитуды землетрясения.На Рис.

2.1.5.3 изображены зависимости энергии землетрясения, энергии цунами иэнергии геострофического вихря в зависимости от магнитуды M W . Как видно из рисунка,вэнергиюцунамипереходитпорядка1%энергииземлетрясения.Энергиягеострофического вихря, в свою очередь, составляет только часть от энергии цунами,причем эта часть увеличивается с ростом магнитуды и уменьшением глубины океана.Если бы землетрясение произошло в области, где глубина на протяжении всего источникацунами составляла бы 10 м (нереальная ситуация), то значительная часть энергииначального возвышения оказалась бы связанной в геострофическом вихре.

Но вреальности даже при сильных землетрясениях к геострофическому вихрю переходит влучшем случае до нескольких процентов энергии цунами.462.2.Стратифицированный океанВ этом разделе в рамках линейной теории длинных волн получена системауравнений, описывающая потенциальное и вихревое остаточные гидродинамическиеполя, возникающие во вращающемся стратифицированном (двухслойном) океане впроцессе генерации цунами косейсмическими деформациями дна. Для модельного случаяцилиндрически симметричной деформации дна найдено приближенное аналитическоерешение задачи.

На основе этого решения для условий, свойственных реальным очагамцунами,проанализированы особенностиостаточныхполей,обязанные наличиюстратификации.2.2.1. Физическая модель и математическая постановка задачиБудемрассматриватьбезграничнуювдольгоризонтальнойплоскостинесжимаемую двухслойную жидкость на вращающейся Земле. Постановка задачисхематически представлена на Рис. 2.2.1.1. Верхний слой имеет толщину H 1 и плотность , а нижний слой – толщину H 2 и плотность    (   0 ). Сферичностью Землипренебрежем.

Начало прямоугольной системы координат расположим на свободнойневозмущенной поверхности верхнего слоя. Ось 0 z направим вертикально вверх, а оси0 x и 0 y – на восток и на север соответственно.Рис. 2.2.1.1. Постановка задачи для стратифицированного океанаДля описания движений жидкости применим уравнения линейной теории длинныхволн, записанные с учетом силы Кориолиса и предположения о малости перепадаплотностей между слоями (  /   1 )47u1  g 1  fv1 ,txv1  g 1  fu1 ,ty(2.2.1.1)   2 u2  g  1   fv2 ,t x  x    2 v2  fu2 ,  g  1 t y  y(2.2.1.2) u1 v1   H 1  1  2  0 ,tt x y  u2 v2  H 2  2 0,y tt x(2.2.1.3)где ui и vi – компоненты горизонтальной скорости течения i-го слоя ( i  1, 2 ) вдоль осей0 x и 0 y соответственно, i – смещение поверхности i-го слоя от равновесногоположения,  – смещение поверхности дна от исходного положения, g – ускорение силытяжести, f – параметр Кориолиса ( f  const ).Пусть до землетрясения положение дна определяется формулой zb   H , и обаслоя находятся в состоянии покоя ui  vi  i  0 .

После землетрясения дно перемещаетсяв новое положение zb   H   ( x, y ) , где  ( x, y ) – остаточная деформация дна(    H ), которая является причиной формирования остаточных гидродинамическихполей в рассматриваемой системе.Подход к решению задачи (2.2.1.1)–(2.2.1.3) аналогичен тому, который былиспользован в предыдущей главе.

Вначале поле скорости течения представляется каксумма потенциальной и вихревой компонентui i  i,xyvi i  i,yx(2.2.1.4)где  i – потенциал,  i – функция тока i-го слоя. Компоненты скорости течения,выраженные черезпотенциалифункцию тока посредствомформул(2.2.1.4),подставляются в уравнения (2.2.1.1) – (2.2.1.3), которые затем интегрируются по времениот 0 до  . В итоге получаем систему стационарных дифференциальных уравнений,которая описывает потенциальное и вихревое остаточные поля в двухслойнойвращающейся жидкостиH 11   2   1 ,H 2  2     2  i  f i ,g1  f 1  0 ,(2.2.1.5)(2.2.1.6)g1  g 2   f 2   0 ,48(2.2.1.7)где i – остаточное смещение i-й поверхности в геострофическом вихре,  i – функциятока, описывающая остаточное вихревое поле,  i   i dt – потенциал смещений, по0которому рассчитывается вектор остаточного смещения частиц воды в горизонтальномнаправлении D i   i .Исключая из уравнений (2.2.1.5)–(2.2.1.7) функции  i и  i , приходим кследующей системе:2R0 1  (1   )(1   2 ) ,2R1  2    2   R0  c0 / f ,(2.2.1.8)1(   1 ) ,1R1  c1 / f ,(2.2.1.9)c0  g ( H 1  H 2 ) ,c1 gH 1 H 2, ( H1  H 2 )где R0 и R1 – баротропный и бароклинный радиусы деформации Россби [Gill, 1982], c0 –скорость длинных гравитационных волн в однородной жидкости, c1 – скорость длинныхвнутренних волн в двухслойной жидкости [Gill, 1982],   H 2 H 1 – отношение толщиннижнего и верхнего слоев.В качестве граничных условий для задачи (2.2.1.8)–(2.2.1.9) следует потребоватьстремление к нулю решений  1 и  2  на бесконечном удалении от источника.Остаточное смещение Di и компоненты скорости вихревого течения ui и vi такжедолжны стремиться к нулю на бесконечности.

Кроме того, решение, конечно, должнобыть ограниченным.По заданной остаточной деформации дна   из решения системы (2.2.1.8)–(2.2.1.9)определяются функции  1 и  2  , по которым – с использованием уравнений (2.2.1.5) и(2.2.1.6) – рассчитываются все остальные искомые функции  i и  i :g 1   1 ,f 2  g 1   2   ,f 1  g1 ,f2(2.2.1.10)2  g     2   .2  1f (2.2.1.11)Вообще говоря, формулы (2.2.1.10), (2.2.1.11) верны с точностью до функции, являющейсячастным решением плоского уравнения Лапласа, например, C0  C1 x  C2 y , где C0 , C1 иC2 – константы интегрирования.

В силу того, что искомые величины (остаточное49смещение частиц воды и скорость в геострофическом вихре) выражаются черезпроизводные 1-го порядка по пространству от функций  i и  i , величина константы C0не имеет значения. А из условия стремления решения к нулю на бесконечности следуетC1  C2  0 .ДляиногочастногорешенияуравненияЛапласа,например,C1 ln( x 2  y 2 )  C0 , константа интегрирования C1  0 в силу ограниченности решения вначале координат (величина C0 вновь не имеет значения). Кроме приведенных выше двухпримеров, уравнение Лапласа, конечно, имеет и другие частные решения [Полянин, 2001].Но во всех случаях, по указанным выше причинам, константы интегрирования в этихрешениях следует выбирать равными нулю.2.2.2. Приближенное аналитическое решениеАналогично тому, как это было сделано для случая однородного океана впредыдущей главе, в качестве простой модели остаточной деформации дна будемрассматривать осесимметричное поднятие, описываемое функцией  (r )   0 1   (r  R),(2.2.2.1)где  0 – амплитуда деформации, R – радиус источника,  – функция Хевисайда.Непосредственному аналитическому решению система (2.2.1.8)-(2.2.1.9)неподдается даже в наиболее простом случае цилиндрической симметрии.

Существенноупростить задачу можно, полагая 1  0 (приближение «твердой крышки»). Ноприближение «твердой крышки» в рассматриваемом случае может сильно исказитьрезультат. Конечно, как было показано в разделе 2.1, в типичных условиях смещениесвободной поверхности в остаточном геострофическом вихре составляет всего порядка1% от величины остаточной деформации дна: 1 ~ 0.01 ,. Но дело в том, что величины1 и   , входящие в правую часть уравнения (2.2.1.9), вполне могут оказатьсясопоставимыми, т.к.

коэффициент  может принимать достаточно большие значения(например, при H 1  100 м и H 2  5000 м :   50 ). Поэтому пренебрегать смещениемсвободной поверхности не вполне корректно. Приведем и второй, не менее важный,аргумент против использования приближения «твердой крышки». Полагая 1  0 , мыавтоматически исключаем из рассмотрения баротропный геострофический вихрь и темсамым кардинально меняем постановку задачи.Вместоприближения«твердойкрышки»воспользуемсяболееточнымприближением.

Будем полагать, что учет слабой стратификации не может сильноизменить смещение свободной поверхности в геострофическом вихре. Таким образом,50смещение свободной поверхности может быть найдено из решения задачи об остаточныхполях для однородного океана. Напомним, что эта задача сводится к неоднородномууравнениюГельмгольцаотносительносмещениясвободнойповерхностивгеострофическом вихре  2R0         ,(2.2.2.2)для которого удалось найти аналитическое решение в случае осесимметричнойдеформации дна вида (2.2.2.1).Для того чтобы подтвердить предположение о слабом влиянии стратификации насмещение свободной поверхности, аппроксимируем оператор Лапласа в уравнениях(2.2.1.8), (2.2.1.9) и (2.2.2.2) по теории размерности:  ~ R 2 . В результате несложныхпреобразованийполучаем,чтоотносительноеизменениеамплитудысмещенияповерхности, которое обязано учету стратификации, определяется следующей формулой:22    1R ( R  R 2 (1   )).~ 2 1 2 0 222( R  R0 )( R  R1 )  R 2 R1 (2.2.2.3)Подставляя в формулу (2.2.2.3) типичные значения ( R  10 5 м , R0  10 6 м , R1  10 4 м ,  10 ), получаем: (  1 ) /   ~ 0.01 .

Иными словами, в типичных условиях учетстратификации действительно слабо сказывается на амплитуде смещения поверхности.Для получения приближенного решения будем полагать, что 1   , где функция  – аналитическое решение уравнения (2.2.2.2), полученное ранее для однородногоокеана во второй главе. В цилиндрических координатах уравнение (2.2.2.2) имеет вид 2 r*21   2     2  ,**r r(2.2.2.4)где r *  r / R – безразмерная пространственная переменная,   R / R0 – безразмерныйпараметр, выражающий отношение радиуса источника и баротропного радиусадеформации Россби.