Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана, страница 6

âûïîëíåíî U 0 (zi∗ ) = 0). Ïóñòü òåïåðü z ∗ (ϕ) îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå ñ óðîâíåì ýíåðãèèE ∗ , îòâå÷àþùåå èíòåðâàëó (z1∗ , z2∗ ) ñîãëàñíî ëåììå 1.2.2. Ò.ê. ýòî ðåøåíèå îãðàíè÷åíî, òîîíî ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì â ñèëó óñëîâèÿ (a), îòêóäà z ∗ (R1 ) = [z1∗ , z2∗ ]. Îòñþäà U 0 (zi∗ ) 6=0 ñîãëàñíî ëåììå 1.2.2. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî U |[c1 ,c2 ] = E ∗ = E0 , ò.å.âûïîëíåíî óñëîâèå (b).Óòâåðæäåíèå (1.2.3) áûëî äîêàçàíî â ëåììå 1.2.2, äîêàæåì (1.2.4).

Ïóñòü U 00 (c1 ) = 0.Òîãäà ∀z ∈ [c1 − ε, c1 ] âûïîëíÿåòñÿ E0 ≤ U (z) ≤ E0 + c(c1 − z)3 äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòûRcdz→ +∞ ïðè E → E0 , E0 < E ≤c > 0. Îòñþäà ïîëó÷àåì Φ(E) ≥ c11−((E−E0 )/c)1/3 √2E−2E00E .Ëåììà 1.2.4.Ïóñòü Ψ(z), ρ(z) ãëàäêèå ôóíêöèè íà (a, b).(a) Ïóñòü ρ(z0 ) 6= 0 äëÿ íåêîòîðîãî z0 ∈ (a, b).

Ïóñòü z0 íåâûðîæäåííîå óñòîé÷èâîåïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Áåðòðàíà (1.2.1) ïðè K = K0 > 0,ρ(z0 ) 00)ò.å. K02 = Ψ(zè ρ0 (z0 ) − Ψ(zΨ (z0 ) > 0. Ïóñòü ïàðà (z0 , K0 ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîρ(z0 )0)âèþ (∀)loc èç îïðåäåëåíèÿ 1.2.1.Òîãäà ñóùåñòâóþò ε0 , β > 0, òàêèå ÷òî ôóíêöèè Ψ è ρ íà [z0 − ε0 , z0 + ε0 ] óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì3Ψ00 Ψ = 4(Ψ0 )2 ,Ψρ0 − Ψ0 ρ = β 2 Ψ.(1.2.6)(b) Ïóñòü ñîîòíîøåíèÿ (1.2.6) âûïîëíåíû íà ïðîìåæóòêå I ⊂ (a, b) ïîëîæèòåëüíîéäëèíû. Ïóñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà z0 ∈ I ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Áåðòðàíà íà (a, b) ïðè K = K0 6= 0, è z0 ∈ I .

Òîãäà â ïðîìåæóòêå4 +D2I âûïîëíåíû òîæäåñòâà Ψ(z) = Ai (z − ζ)1−i è ρ(z) = β 2 (z−ζ), ãäå i ∈ {1, 2}, Ai ,2i (z−ζ)3D, ζ íåêîòîðûå êîíñòàíòû, òàêèå ÷òî D = 0 ïðè i = 1, z − ζ 6= 0, (z − ζ)A1 > 0,((z − ζ)4 + D)A2 > 0 ïðè ëþáîì z ∈ I . Ïðè ýòîì ëþáàÿ òî÷êà z ∈ I ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì óñòîé÷èâûìïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿqΨ(z)Áåðòðàíà ïðè K = ± ρ(z) ; âñå îãðàíè÷åííûå íåïîñòîÿííûå ðåøåíèÿ z = z(ϕ)îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Áåðòðàíà íà I ïðè ïðîèçâîëüíûõ íåíóëåâûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà K ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ñ ìèíèìàëüíûì ïîëîæèòåëüíûì ïåðèîäîìΦ = 2π/β .Øàã 1. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ C := K22 , C0 := K22 , E0 := UC0 (z0 )0R(Uc (z) = ρ(z)dz − 0.5C Ψ(z)dz ).Òî÷êà z0 ∈ (a, b) ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì óñòîé÷èâûì ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ óðàâíå00íèÿ zϕϕ= −UC0 (z) ïðè C = C0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà UC0 0 (z0 ) = 0 è UC000 (z0 ) > 0.Äîêàçàòåëüñòâî.R24Ïîýòîìó −2UC0 0 (z0 ) = R0 (z0 ) + C0 W 0 (z0 ) = −2ρ(z0 ) + K22 Ψ(z0 ) = 0 (ââèäó óñëîâèÿ ρ(z0 ) 6= 00âûïîëíåíî Ψ(z0 ) 6= 0); äèôôåðåíöèðóåì åù¼ ðàç −2UC000 (z0 ) = R00 (z0 ) + C0 W 00 (z0 ) =ρ(z0 ) 0Ψ (z0 ) < 0.−2ρ0 (z0 ) + 2 Ψ(z0)Âûáåðåì ìàëûå ε, δ > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (∀)loc èç îïðåäåëåíèÿ 1.2.1 äëÿp0ïàðû (z0 , K0 ), ÷òî UC00 |[z0 −ε,z0 +ε] è E0,ε,C < Eε,Cïðè K = 2/C ∈ [K0 − δ, K0 + δ], ãäå0ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ Eε,C:= min{UC (z0 − ε), UC (z0 + ε)}, E0,ε,C := min UC |[z0 −ε,z0 +ε] .

Äëÿëþáîé ïàðû (E, C), òàêîé ÷òîp0K = 2/C ∈ [K0 − δ, K0 + δ],E ∈ (E0,ε,C , Eε,C],(1.2.7)00= −UC0 (z) ñ óðîâíåì ýíåðãèè Eðàññìîòðèì îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå zE,C (ϕ) óðàâíåíèÿ zϕϕ(1.2.2), òàêîå ÷òî zE,C (R1 ) ⊂ [z0 − ε, z0 + ε]. Îíî ñóùåñòâóåò â ñèëó ëåììû 1.2.2 è ÿâëÿåòñÿïåðèîäè÷åñêèì â ñèëó óñëîâèÿ (∀)loc èç îïðåäåëåíèÿ 1.2.1.Âûïèøåì ìèíèìàëüíûé ïåðèîä Φ(E, C) ðåøåíèÿ zE,C (çàìåòèì, ÷òî êîíñòàíòû E, C îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ðåøåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî ñäâèãà) ñîãëàñíî ëåììå 1.2.3:Z z2 (E,C)dzp,(1.2.8)Φ(E, C) = 2R(z) + CW (z) + 2Ez1 (E,C)ãäå èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî îòðåçêó ìåæäó äâóìÿ íóëÿìè z1 è z2 çíàìåíàòåëÿ (ïîýòîìó, ñîãëàñíî ëåììå 1.2.2, z1 è z2 ÿâëÿþòñÿ ìèíèìóìîì è ìàêñèìóìîì ïåðèîäè÷åñêîãî00ðåøåíèÿ zE,C = zE,C (ϕ) óðàâíåíèÿ zϕϕ= −UC0 (z)).Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî z1 = z1 (E, C) è z2 = z2 (E, C) çàíóëÿþò çíàìåíàòåëü ïîäûíòåãðàëüíîé äðîáè 1.2.8, âûðàçèì êîíñòàíòû C, E ÷åðåç z1 , z2 :C(z1 , z2 ) :=R(z2 ) − R(z1 ),W (z1 ) − W (z2 )2E(z1 , z2 ) :=R(z1 )W (z2 ) − R(z2 )W (z1 ),W (z1 ) − W (z2 )(1.2.9)ãäå ñîîòíîøåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ íà ìíîæåñòâå {(z1 , z2 ) : z0 − ε ≤ z1 < z2 ≤ z0 + ε}.Äîîïðåäåëèì ýòè âûðàæåíèÿ íà ìíîæåñòâå ïàð (z1 , z2 ) ñîâïàäàþùèõ ÷èñåë ñëåäóþùèìèR0 (z1 )ρ(z1 )R0 (z1 )ñîîòíîøåíèÿìè C(z1 , z1 ) := − W0 (z ) = 2 Ψ(z ) , 2E(z1 , z1 ) := −R(z1 ) + W 0 (z ) W (z1 ).

 èòîãå111ôóíêöèè C(z1 , z2 ), E(z1 , z2 ) îïðåäåëåíû è íåïðåðûâíû íà {(z1 , z2 ) : z0 − ε ≤ z1 ≤ z2 ≤ z0 +ε}, ò.ê. W 0 (z0 ) = Ψ(z0 ) 6= 0q. Ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε0 > 0 ñîîòâåòñòâóþùèåçíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà K = C(z21 ,z2 ) îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Áåðòðàíà (äëÿ âñåâîçìîæíûõqïàð òî÷åê z1 , z2 ∈ [z0 − ε0 , z0 + ε0 ]) áóäóò ïðèíàäëåæàòü δ -îêðåñòíîñòè ÷èñëà C(z20 ,z0 ) =q2= K0 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ z1 , z2 ∈ [z0 − ε, z0 + ε0 ], òàêèõ ÷òî z1 <C0z2 , ïàðà (E, C) := (E(z1 , z2 ), C(z1 , z2 )) óäîâëåòâîðÿåò (1.2.7) (ò.å. ïðèíàäëåæèò îáëàñòèîïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè Φ(E, C)), è äëÿ ëþáîé òàêîé ïàðû ôîðìóëà (1.2.8) ïðèìåò âèä:Z z2dzpΦ(E(z1 , z2 ), C(z1 z2 )) = 2.(1.2.10)R(z) + C(z1 , z2 )W (z) + 2E(z1 , z2 )z1Øàã 2.

Ïîëîæèì òåïåðü z1 = c − h, z2 = c + h, z = c + ht, ãäå c ∈ (z0 − ε0 , z0 + ε0 ),0 < h << 1. Ðàñêëàäûâàåì äàëåå ôóíêöèè W è R â ýòèõ òî÷êàõ â ðÿäû Òåéëîðà ïî25ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé h è ïîäñòàâëÿÿ èõ â (1.2.10) ñ ó÷åòîì (1.2.9), ïîëó÷àåì â ïðåäåëåïðè h → 0:s1Φ(E(c − h, c + h), C(c − h, c + h))2W 0 (c)=:=.lim000000h→02πR (c)W (c) − W (c)R (c)β(c)Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå â èíòåðâàëå (z0 − ε, z0 + ε):R00 (c)W 0 (c) − R0 (c)W 00 (c) = 2β 2 (c)W 0 (c).(1.2.11)Ïîäñòàâëÿÿ äàëåå â ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå W 0 = Ψ è R0 = −2ρ, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèåΨρ0 − Ψ0 ρ = β 2 Ψ â èíòåðâàëå (z0 − ε, z0 + ε), ò.å. âòîðîå ñîîòíîøåíèå èç (1.2.6).Òàê êàê ôóíêöèÿ (1.2.6) íåïðåðûâíà â ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ {(z1 , z2 ) : z0 − ε0 ≤z1 < z2 ≤ z0 +ε0 } è âñå å¼ çíà÷åíèÿ ïîïàðíî ñîèçìåðèìû ââèäó óñëîâèÿ (∀)loc èç îïðåäåëåíèÿ 1.2.1, òî îíà ïîñòîÿííà è ðàâíà ñâîåìó ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ 2π/β(z0 ).

 ÷àñòíîñòè,ôóíêöèÿ β(c) ïîñòîÿííà íà èíòåðâàëå (z0 − ε, z0 + ε).Øàã 3. ×òîáû ïîëó÷èòü ïåðâîå ñîîòíîøåíèå èç (1.2.6), ðàçëîæèì èíòåãðàë (1.2.10) ïîñòåïåíÿì h è ðàññìîòðèì êîýôôèöèåíò ïðè h2 :R0 W 000 − R000 W 0 R0 W 000 − R000 W 03 iv 0π0iv00(R W − R W ) ++W.(1.2.12)4!β 3 W 0 4W08β 2Èç ðàâåíñòâ (1.2.11) è β = const ïîëó÷àåì:00000000200R W − R W = 2β W ;iv00R W −RWiv2β 2((W 00 )2 − 2W 0 W 000 ).=0W(1.2.13)Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.2.13) ïðåîáðàçóåì êîýôôèöèåíò (1.2.12) ïðè h2 â ðàçëîæåíèèèíòåãðàëà (1.2.10) è ïîëó÷èì, ÷òî îí çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèé ôóíêöèè W è åå ïðîèçπ00 20000âîäíûõ â òî÷êå c è ðàâåí 4!β(W]. Ïðèðàâíèâàÿ åãî ê íóëþ è èñïîëüçóÿ0 )2 [4(W ) − 3W W0W = Ψ, ïîëó÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ â èíòåðâàëå (z0 − ε, z0 + ε):3Ψ00 Ψ = 4(Ψ0 )2 .(1.2.14)Ò.å.

äîêàçàíî ïåðâîå ñîîòíîøåíèå èç (1.2.6) è òåì ñàìûì ïåðâàÿ ÷àñòü ëåììû.Øàã 4. Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé ÷àñòè ëåììû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àêêóðàòíîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé (1.2.6), ïîëó÷åííûõ â ïåðâîé ÷àñòè. Ò.ê. òî÷êà z0 ∈ I ÿâëÿåòñÿïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, òî Ψ(z0 ) 6= 0. Âûïèøåì âñå ãëàäêèå ðåøåíèÿ (1.2.14) â ïðîìå2æóòêå I , òàêèå ÷òî Ψ(z0 ) 6= 0: ýòî ðåøåíèÿ Ψi (z) = Ai (z −ζ)1−i , i = 1, 2, ãäå Ai 6= 0 è ζ 6∈ I êîíñòàíòû.

Äðóãèõ ãëàäêèõ ðåøåíèé íåò, ïîñêîëüêó íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (Ψ(z0 ), Ψ0 (z0 ))óêàçàííûõ âûøå ðåøåíèé îáðàçóþò âñå ìíîæåñòâî R2 \({0} × R), ïðè÷åì ïðèâåäåííûåðåøåíèÿ íå èìåþò íóëåé (ïðèòîì íå òîëüêî íà ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè I , íî è íà âñåéïðÿìîé R), à ïîòîìó ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ψ00 = 34 (Ψ0 )2 /Ψâòîðîãî ïîðÿäêà, ðàçðåøåííîãî îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé. Íàêîíåö, íàõîäèì26ρ(z) èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (1.2.6) ñ ó÷åòîì β = const > 0 è ÿâíîãî âèäà íàéäåííîé Ψ(z):ρi (z) = β 2 (z − ζ + D(z − ζ)−3 )/i2 , i = 1, 2, êîíñòàíòà D òàêàÿ, ÷òî D = 0 ïðè i = 1,D 6= −(z − ζ)4 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî z ∈ I .

Èç ðàâåíñòâà UC0 0 (z0 ) = 0 è C0 = 2/K02 > 0 èìååì20)= Ψ(z> 0, îòêóäà çíàê êîíñòàíòû Ai îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî çíàêó ôóíêöèè ρC0ρ(z0 )íà I . Ïðîâåðêà òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîé óêàçàííîé ïàðû ôóíêöèé (Ψi , ρi ), i = 1, 2 ôóíêöèÿΨi ÿâëÿåòñÿ ρi -çàìûêàþùåé è ñèëüíî ρi -çàìûêàþùåé íà I , ïðè÷åì Φ = 2π/β , ïðîâîäèòñÿíåïîñðåäñòâåííî. Òåïåðü ñ ïîìîùüþ ëåìì 1.2.1-1.2.4 äîêàæåì òåîðåìó 3.Ïóñòü ôóíêöèÿ Ψ ÿâëÿåòñÿ ïîëóëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåé íà (a, b).

Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà îíà áóäåò ëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåé íà (a, b). Ïóñòüz(ϕ) îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Áåðòðàíà ñî çíà÷åíèåì ïàðàìåòðàK = K0 è óðîâíåì ýíåðãèè E 0 (1.2.2); îíî ñóùåñòâóåò ââèäó óñëîâèÿ (∃) èç îïðåäåëåíèÿ 1.2.1. Îáîçíà÷èì C0 := 2/K02 , a0 := inf z(R1 ), b0 := sup z(R1 ), E0 := min UC0 |[a0 ,b0 ] .Òîãäà [a0 , b0 ] ⊂ (a, b). Åñëè zE,C0 (ϕ) îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïðè K = K0 ñóðîâíåì ýíåðãèè E ∈ (E0 , E 0 ], òàêîå ÷òî zE,C0 (0) ∈ (a0 , b0 ), òî â ñèëó ëåììû 1.2.2 èìååì zE,C0 (R1 ) ⊂ [a0 , b0 ], à â ñèëó óñëîâèÿ (∀)s−loc èç îïðåäåëåíèÿ 1.2.1 ðåøåíèå zE,C0 (ϕ)ïåðèîäè÷íî. Çíà÷èò, âûïîëíåíî óñëîâèå (a) èç ëåììû 1.2.3 ïðè U = UC0 , à ïîòîìó, ñîãëàñíî ëåììå 1.2.3, âûïîëíåíî óñëîâèå (b) ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðè U = UC0 .