Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана, страница 5

Òîãäà òðàåêòîðèè ïðè äâèæåíèè ïîä äåéñòâèåì òàêîãî ïîòåíöèëà áóäóò ãåîäåçè÷åñêèìè áîëüøèìè êðóãàìè. Ðàññìîòðèì òîëüêî òå ãåîäåçè÷åñêèå, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿîò ìåðèäèàíîâ, îíè çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèåì: ctgν = A · sin ϕ. Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñçàìêíóòûìè ãåîäåçè÷åñêèìè ïîäðîáíî îïèñàíû â [5]. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà(À. Áåññå). Ðàññìîòðèì ñôåðó S 2 \ {N, S} ≈ (a, b) × S 1 åäèíè÷íîãî ðàäèóñàñ âûêîëîòûìè ïîëþñàìè, ñ êîîðäèíàòàìè (ν, ϕ mod 2π) è ìåòðèêîé âðàùåíèÿ ds2 =a211 (ν)dν 2 + a222 (ν)dϕ2 .Âñå ãåîäåçè÷åñêèå íà S 2 , îòëè÷íûå îò ìåðèäèàíîâ, çàìêíóòû òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ìåòðèêà ïðèâîäèòñÿ íåêîòîðûì äèôôåîìîðôèçìîì (a, b) → (0, π), ν 7→ ν̃ = ν̃(ν),ê âèäó2p2+ h(cos ν̃) dν̃ 2 + sin2 ν̃dϕ2 ,(1.1.11)ds =qÒåîðåìà 2ãäåpq ðàöèîíàëüíî, à h : (−1, 1) → (− pq , pq ) íå÷¼òíàÿ ôóíêöèÿ.19Òàêèå ïîâåðõíîñòè íàçûâàþòñÿ ïîâåðõíîñòÿìè Òàííåðè.

Äëèíû âñåõ ãåîäåçè÷åñêèõîáùåãî ïîëîæåíèÿ (íå ýêâàòîð è íå ìåðèäèàí) îäèíàêîâû è ðàâíû 2pπ , äëèíà ýêâàòîðà2π , äëèíà ìåðèäèàíà 2 pq π .1.2Îáîáùåííîå ñåìåéñòâî óðàâíåíèéÄëÿ îáîáùåíèÿ òåîðåìû Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü ïåðèîäè÷íîñòü ðåøåíèé óðàâíåíèÿ îðáèò (1.1.7), ÷òî è äåëàåòñÿ â òåîðåìå 3. Äëÿ òîãî,÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó 3 íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñâîéñòâà îðáèò è ïîòåíöèàëîâ.Íàçîâ¼ì îáîáùåííûì ñåìåéñòâîì óðàâíåíèé Áåðòðàíà îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå (íåíóëåâîé ïàðàìåòð K ) ñåìåéñòâî äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéd2 z1+ ρ(z) = 2 Ψ(z)2dϕK(1.2.1)íà èíòåðâàëå (a, b) ⊂ R1 , ãäå Ψ(z) è ρ(z) ôóíêöèè êëàññà C ∞ , îïðåäåëåííûå íà èíòåðâàëå (a, b).Ôóíêöèþ Ψ = Ψ(z) íà èíòåðâàëå (a, b) íàçîâ¼ì çàìûêàþùåé äëÿôóíêöèè ρ = ρ(z) (èëè ρ-çàìûêàþùåé ), åñëèÎïðåäåëåíèå 1.2.1.(∃) ñóùåñòâóåò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà K = K0 ∈ R\{0}, ïðè êîòîðîì ñîîòâåòñòâóþùååóðàâíåíèå èìååò îãðàíè÷åííîå íåïîñòîÿííîå ðåøåíèå z̃ = z̃(ϕ);(∀) âñå îãðàíè÷åííûå íåïîñòîÿííûå ðåøåíèÿ z = z(ϕ) óðàâíåíèÿ ñî âñåâîçìîæíûìèçíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà K ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñ ïîïàðíî ñîèçìåðèìûìè ïåðèîäàìè.Íàçîâ¼ì ôóíêöèþ Ψ = Ψ(z) íà èíòåðâàëå (a, b) ëîêàëüíî çàìûêàþùåé äëÿ ôóíêöèèρ = ρ(z) (èëè ëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåé ), åñëè(∃)loc ñóùåñòâóåò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà K = K0 òàêîå, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèåèìååò íåâûðîæäåííîå óñòîé÷èâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ z0 ∈ (a, b);(∀)loc äëÿ âñÿêîé ïàðû (K0 , z0 ) ∈ (R\{0}) × (a, b), óäîâëåòâîðÿþùåé (∃)loc , íàéäóòñÿ ε, δ >0, òàêèå ÷òî âñå îãðàíè÷åííûå íåïîñòîÿííûå ðåøåíèÿ z(ϕ) óðàâíåíèé, îòâå÷àþùèõK ∈ (K0 −δ, K0 +δ), ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé èç ε-îêðåñòíîñòè z0 , ò.å.

z(R1 ) ⊂ [z0 −ε, z0 +ε], ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñ ïîïàðíî ñîèçìåðèìûìè ïåðèîäàìè.Íàçîâ¼ì ôóíêöèþ Ψ = Ψ(z) íà èíòåðâàëå (a, b) ïîëóëîêàëüíî çàìûêàþùåé äëÿ ôóíêöèè ρ = ρ(z) (èëè ïîëóëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåé ), åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (∃), (∀)loc èñëåäóþùåå óñëîâèå:20(∀)s−loc âñå îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ z(ϕ) óðàâíåíèÿ ïðè K = K0 , òàêèå ÷òî z(R1 ) ⊂ z̃(R1 ),ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñ ïîïàðíî ñîèçìåðèìûìè ïåðèîäàìè, ãäå K0è z̃ = z̃(ϕ) ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà K è ðåøåíèå èç óñëîâèÿ (∃).Íàçîâ¼ì ôóíêöèþ Ψ(z) ñèëüíî (ñîîòâåòñòâåííî ñëàáî ) ρ-çàìûêàþùåé, åñëè ëþáàÿòî÷êà z0 ∈ (a, b) ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì óñòîé÷èâûì (ñîîòâåòñòâåííî óñòîé÷èâûì)ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ óðàâíåíèÿ ïðè íåêîòîðîì K = K0 , çàâèñÿùåì îò z0 , à òàêæåâûïîëíåíî óñëîâèå (∀)loc (ñîîòâåòñòâåííî åãî àíàëîã äëÿ âñÿêîé ïàðû (K0 , z0 ) ∈ (R\{0})×(a, b), òàêîé ÷òî z0 óñòîé÷èâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óðàâíåíèÿ ïðè K = K0 ).Ïóñòü çàäàíî ñåìåéñòâî óðàâíåíèé Áåðòðàíà (1.2.1) íà (a, b).Åñëè Ψ ÿâëÿåòñÿ ïîëóëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåé (èëè ρ-çàìûêàþùåé, èëè ñèëüíî èëèñëàáî ρ-çàìûêàþùåé), òî îíà ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåé.Åñëè íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèÿ ρ íå èìååò íóëåé, òî âñå êëàññû çàìûêàþùèõ,ïîëóëîêàëüíî çàìûêàþùèõ, ëîêàëüíî çàìûêàþùèõ, ñèëüíî çàìûêàþùèõ è ñëàáî çàìûêàþùèõ äëÿ ρ ôóíêöèé Ψ ñîâïàäàþò.Åñëè íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèÿ ρ íå èìååò íóëåé, òî ñóùåñòâóåò íå áîëåå äâóõ çàìûêàþùèõ ôóíêöèé ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíòûè ýòè ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè:Òåîðåìà 3.(a) åñëè ρ0 |(a,b) = const > 0, òî ñóùåñòâóþò ðîâíî äâå (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíòû) ρ-çàìûêàþùèå ôóíêöèè Ψ íà (a, b), à2èìåííî Ψi (z) = Ai /ρi −1 (z), i = 1, 2, ãäà Ai 6= 0 ïðîèçâîëüíàÿ ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ êîíñòàíòà, òàêàÿ ÷òî Ai ρi (z) > 0; áîëåå òîãî ìèíèìàëüíûé ïîëîæèòåëüíûé√ïåðèîä ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî íåïîñòîÿííîãî ðåøåíèÿ ðàâåí Φi = 2π/(i ρ0 );4+D, ãäå D = const 6=(b) åñëè ρ|(a,b) ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé âèäà ρ(z) = (z−ζ)µ2 (z−ζ)30, µ = const > 0, ζ = const 6∈ (a, b), òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ (ñ òî÷íîñòüþäî ïîëîæèòåëüíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíòû) ρ-çàìûêàþùàÿ ôóíêöèÿ íàA(a, b) : Ψ(z) = Ψ2 (z) = (z−ζ)3 , ãäå A 6= 0 ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ êîíñòàíòà, òàêàÿ4÷òî A((z − ζ) + D) > 0; áîëåå òîãî ìèíèìàëüíûé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä ëþáîãîîãðàíè÷åííîãî íåïîñòîÿííîãî ðåøåíèÿ ðàâåí Φi = πµ);(c) åñëè ρ(z) íå èìååò íè îäíîãî èç óêàçàííûõ âûøå âèäîâ, òî íå ñóùåñòâóåò ρçàìûêàþùèõ ôóíêöèé íà (a, b). ñëó÷àÿõ (à) è (b) êàæäàÿ òî÷êà z ∈ (a, b) ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì ïîëîæåíèåìðàâqp2Aíîâåñèÿ óðàâíåíèÿ ïðè K = Ki := ± Ai /ρi (z), i = 1, 2 â ñëó÷àå (a) è K = ±µ (z−ζ)4 +D(â ñëó÷àå (b)), à ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà K íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ.Ïðåæäå ÷åì äîêàçàòü òåîðåìó ñôîðìóëèðóåì ðÿä ëåìì.

Äëÿ íà÷àëà çàìåòèì, ÷òî00ëþáîå óðàâíåíèå èç ñåìåéñòâà Áåðòðàíà (1.2.1) èìååò âèä zϕϕ= −U 0 (z), ãäå U (z) :=21R(ρ(z) −Ψ(z))dz ,K2÷òî ïîçâîëÿåò ðàçãëÿäåòü ïåðâûé èíòåãðàëE := (z 02 )/2 + U (z),(1.2.2)êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì èíòåãðàëà ýíåðãèè. Ïåðâûé èíòåãðàë ïîçâîëÿåò ïîíèçèòüïîðÿäîê êàæäîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû Áåðòðàíà:z 02 = R(z) + CW (z) + 2E = 2E − 2UC (z),RRãäå R(z) := −2 ρ(z)dz , C := K 2 /2, W (z) := Ψ(z)dz , UC (z) := − (R(z) + CW (z)) /2.Ëåììû 1.2.1-1.2.3 îïèñûâàþò îáùèå ñâîéñòâà ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ00âèäà zϕϕ= −U 0 (z), ãäå U (z) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà èíòåðâàëå (a, b), ê êîòîðîìó, î÷åâèäíî,îòíîñÿòñÿ è óðàâíåíèÿ ñèñòåìû Áåðòðàíà (1.2.1).00= −U 0 (z) è ïóñòüÏóñòü ôóíêöèÿ z(ϕ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ zϕϕz 0 (ϕ0 ) = 0.

Òîãäà ãðàôèê ôóíêöèè z = z(ϕ) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé {ϕ =ϕ0 }, ò.å. z(ϕ) = z̃(ϕ) := z(ϕ0 − (ϕ − ϕ0 )).Ëåììà 1.2.1.00Ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé â óðàâíåíèå zϕϕ= −U 0 (z) ïðîâåðÿåòñÿ,÷òî z̃(ϕ) ÿâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèåì. À ò.ê. íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ñîâïàäàþò, z(ϕ0 ) = z̃(ϕ0 ) èz 0 (ϕ0 ) = z̃ 0 (ϕ0 ), òî ñîâïàäàþò è ðåøåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü çàäàíû êîíñòàíòû a0 , b0 , E 0 òàêèå, ÷òî a < a0 < b0 < b è E 0 ∈ R.Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:Ëåììà 1.2.2.00= −U 0 (z) c óðîâíåì ýíåðãèè(a) ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå z(ϕ) óðàâíåíèÿ zϕϕE (1.2.2), òàêîå ÷òî a0 = inf z(R1 ), b0 = sup z(R1 );(b) U (a0 ) = U (b0 ) = E 0 è U |(a0 ,b0 ) < E 0 .Åñëè z̃ ∈ {a0 , b0 } è âûïîëíåíî óñëîâèå (a), òî ñîîòíîøåíèÿ U 0 (z̃) 6= 0 è z̃ ∈ z(R1 ) ðàâíîñèëüíû.Ïóñòü âûïîëíåíî êàêîå-íèáóäü îäíî èç óñëîâèé (à) è (b).

Òîãäàñóùåñòâóåò ïîëîæåíèå (òî÷êà) z0 ∈ (a0 , b0 ), òàêàÿ ÷òî U (z0 ) < E 0 . Ôèêñèðóåì ëþáîé óðîâåíü E ∈ (U (z0 ), E 0 ]. Ïóñòü z(ϕ) ëîêàëüíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿp00zϕϕ= −U 0 (z), òàêîå ÷òî z(0) = z0 , z 0 (0) = 2E − 2U (z0 ). Òîãäà óðîâåíü ýíåðãèè íà ðåøåíèè z(ϕ) ðàâåí E . Ïóñòü (z1 , z2 ) ⊆ (a, b) ìàêñèìàëüíûé èíòåðâàë ïî âêëþ÷åíèþ,ñîäåðæàùèé òî÷êó z0 , íà êîòîðîì U (z) < E . Òîãäà ðåøåíèå z(ϕ) ìîæåò áûòü ïðîäîëRzæåíî íà èíòåðâàë (ϕ1 , ϕ2 ) (ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà ýíåðãèè(1.2.2)), ãäå ϕi = z0i √ dz,Äîêàçàòåëüñòâî.2E−2U (z)i = 1, 2. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè êàêîãî-ëèáî èç óñëîâèé (a) è (b) èíòåðâàë (a0 , b0 ) ñîäåðæèò ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé òî÷êó z0 , íàêîòîðîì U (z) < E 0 .

Çíà÷èò, (z1 , z2 ) ⊆ (a0 , b0 ) (â ñèëó E ≤ E 0 ).22Ïîêàæåì, ÷òî ïîñòðîåííîå ðåøåíèå z(ϕ) îãðàíè÷åíî è z(R1 ) ⊆ [z1 , z2 ], ò.å. z1 =inf z(R1 ) è z2 = sup z(R1 ) (îòñþäà ñëåäóåò ðàâíîñèëüíîñòü óñëîâèé (a) è (b)). Åñëèϕ1 = −∞ è ϕ2 = ∞, òî òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, òàê êàê ïîñòðîåííîå ðåøåíèå îïðåäåëåíî íà âñåì R1 è z(R1 ) = (z1 , z2 ) (ðåøåíèå íåïåðèîäè÷íî).

Îñòàëñÿ ñëó÷àé,êîãäà äëÿ íåêîòîðîãî i ∈ {1, 2} âûïîëíåíî |ϕi | < ∞. Çäåñü â ñèëó (z1 , z2 ) ⊆ [a0 , b0 ] ⊂ (a, b)ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî â òî÷êó ϕi , òîãäà z(ϕi ) = zi , U (zi ) = E è z 0 (ϕi ) = 0. Åñëèϕ1 = −∞ è ϕ2 < ∞, òî â ñèëó ëåììû 1.2.1 ðåøåíèå îãðàíè÷åíî è z(R1 ) = z((−∞, ϕ2 ]) =(z1 , z2 ] (çíà÷èò ðåøåíèå íåïåðèîäè÷íî).

Àíàëîãè÷íî äëÿ ñëó÷àÿ ϕ1 > −∞ è ϕ2 = +∞. Âñëó÷àå æå ϕ1 > −∞ è ϕ − 2 < +∞ ðåøåíèå ïåðèîäè÷íî è z(R1 ) = z([ϕ1 , ϕ2 ]) = [z1 , z2 ],Rz. Òàêèìïðè÷åì ìèíèìàëüíûé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä áóäåò ðàâåí Φ = 2 z12 √ dz2E−2U (z)îáðàçîì, ðåøåíèå âñåãäà îãðàíè÷åíî è âûïîëíÿåòñÿ z(R1 ) ⊆ [z1 , z2 ].Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî i ∈ {1, 2} ðàâíîñèëüíû óñëîâèÿ U 0 (zi ) 6= 0 è zi ∈ z(R1 ). Áåçîãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè i = 2.

Ïóñòü U 0 (z2 ) = 0, ò.å. òî÷êà z2 ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ.Òîãäà åñëè z2 ∈ z(R1 ) (ò.å. ϕ2 < ∞), òî îáà ðåøåíèÿ z(ϕ) è z2 (ϕ) ≡ z2 óäîâëåòâîðÿþòîäíèì è òåì æå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì z(ϕ2 ) = z2 , z 0 (ϕ − 2) = 0, à ïîòîìó ñîâïàäàþò, ÷òîïðîòèâîðå÷èò z1 < z2 . Ïóñòü òåïåðü U 0 (z2 ) 6= 0. Òîãäà U |[z0 ,z2 ] (z) ≤ E − c(z2 − z) äëÿpíåêîòîðîãî c > 0, îòêóäà ϕ2 ≤ (z2 − z0 ) 2/c < ∞, à ïîòîìó z2 ∈ z(R1 ).

Ïóñòü a < a0 < b0 < b è U (a0 ) = U (b0 ) = E 0 , U |(a0 ,b0 ) < E 0 , E0 := min U |[a0 ,b0 ] .Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:Ëåììà 1.2.3.00= −U 0 (z)(a) äëÿ ëþáîãî E ∈ (E0 , E 0 ] ëþáîå îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå zE (ϕ) óðàâíåíèÿ zϕϕñ óðîâíåì ýíåðãèè E (1.2.2), òàêîå ÷òî zE (0) ∈ (a0 , b0 ) ïåðèîäè÷íî;(b) ñóùåñòâóåò îòðåçîê [c1 , c2 ] ⊂ (a0 , b0 ), òàêîé ÷òî U 0 |[a0 ,c1 ) < 0, U 0 |[c1 ,c2 ] = 0, U 0 |(c2 ,b0 ] >0.Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé ìèíèìàëüíûé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä ðåøåíèÿ zE (ϕ)ðàâåíZ z2 (E)dzpΦ(E) = 2,(1.2.3)2E − 2U (z)z1 (E)ãäå çíà÷åíèÿ z1 = z1 (E) ∈ [a0 , c1 ) è z2 = z2 (E) ∈ (c2 , b0 ] îïðåäåëåíû óñëîâèÿìè U (z1 ) =U (z2 ) = E . Ôóíêöèÿ Φ = Φ(E) íåïðåðûâíà íà ïîëóèíòåðâàëå (E0 , E 0 ]. Åñëè U 00 (c1 ) = 0,òîlim Φ(E) = ∞.(1.2.4)E→E0Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (b).

Òîãäà U 0 (z1 ) 6= 0 è U 0 (z2 ) 6= 0,à çíà÷èò, ïî ëåììå 1.2.2 îáðàç z(R1 ) ðåùåíèÿ z(ϕ) ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì, îòêóäà ðåøåíèåïåðèîäè÷íî. Îòñþäà è èç ëåììû 1.2.2 ñëåäóåò ïóíêò (a).Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (a). Òîãäà ìíîæåñòâî A := {z ∈ (a0 , b0 ) | U 0 (z) = 0} íåïóñòî, ò.ê. a0 < b0 è U (a0 ) = U (b0 ). Ïóñòü E ∗ := sup U |A , ââåäåì ìíîæåñòâî B := {z ∈Äîêàçàòåëüñòâî.23[a0 , b0 ] | U (z) ≤ E ∗ }, c1 := inf B , c2 := sup B . ÒîãäàU 0 |[a0 ,c1 ) < 0,U 0 |(c2 ,b0 ] > 0,E0 ≤ U |[c1 ,c2 ] ≤ U (c1 ) = U (c2 ) = E ∗ < E 0 .(1.2.5)Ïóñòü U ([c1 , c2 ]) 6= E ∗ . Âåðíî, ÷òî c1 < c2 è íàéäåòñÿ èíòåðâàë (z1∗ , z2∗ ) ⊆ (c1 , c2 ), òàêîé ÷òîU |(z∗ ,z∗ ) < E ∗ , U (z1∗ ) = U (z2∗ ) = E ∗ è îäèí èç êîíöîâ zi∗ ýòîãî èíòåðâàëà ïðèíàäëåæèò A1 2(ò.å.