Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана, страница 11

Ò.å. ïîëóïåðèîä íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, à äîëæåí áûòü ðàâåí µπ ñîãëàñíî ðàññóæäåíèÿì, àíàëîãè÷íûì çàìå÷àíèþ 2.2.2. Óñòàíîâèâ íåîáõîäèìûå ñâÿçè ìåæäó ñâîéñòâàìè ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà W (θ) èñâîéñòâàìè îðáèò θ(ϕ), à òàêæå îäíî ñâîéñòâî çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà V (θ) (ïðåäëîæåíèå 2.5), äîêàæåì òåîðåìó 6.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.Íóæíî äîêàçàòü íåîáõîäèìîñòü, ò.å. ïîâåðõíîñòèñ áåðòðàíîâñêèìè ïîòåíöèàëàìè ìîãóò èìåòü òîëüêî óêàçàííóþ â òåîðåìå ìåòðèêó, àñàìè ïîòåíöèàëû ìîãóò áûòü òîëüêî òàêèìè, êàê óêàçàíî â òåîðåìå. À òàêæå íóæíîâûïîëíèòü ïðîâåðêó, ÷òî åñëè ïîâåðõíîñòü èìååò óêàçàííóþ ìåòðèêó è íà íåé äåéñòâóåòóêàçàííûé ïîòåíöèàë, òî âñå îãðàíè÷åííûå îðáèòû áóäóò çàìêíóòû è áóäåò ñóùåñòâîâàòüíåêðóãîâàÿ îãðàíè÷åííàÿ îðáèòà.Íåîáõîäèìîñòü.

Ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî â áåðòðàíîâñêèõ êîîðäèíàòàõ (ñì. çàìå÷àíèå 1.1.2). Ïóñòü íà ïîâåðõíîñòè çàäàí çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë V (θ). Òîãäà ñóùåñòâóåòçàìêíóòàÿ îðáèòà ñ ïåðèöåíòðîì a0 è àïîöåíòðîì b0 . Ìû çíàåì (ïðåäëîæåíèå 2.5), ÷òîìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ïàðàëëåëÿìè θ1 , θ2 èç (a0 , b0 ) ìîæíî âûáðàòü çàìêíóòóþ îðáèòó,êîòîðàÿ áóäåò ôëóêòóèðîâàòü ìåæäó íèìè. Ïîñêîëüêó ëþáàÿ îðáèòà äîëæíà áûòü çàìêíóòîé, òî å¼ ïåðèîä T äîëæåí áûòü ñîèçìåðèì c 2π . Çàïèøåì ýòî óñëîâèå:Zθ2T =2dθqθ12(EK2− V (θ)) +1a222 (θ)= 2πµ,µ ∈ Q.(2.2.12) ñèëó òîãî, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî ïðè èçìåíåíèè θ1 , θ2 , à ïðàâàÿ äèñ2êðåòíî ïî ìíîæåñòâó πQ ñëåäóåò, ÷òî µ = const.

Âûáåðåì òî÷êó x = θ1 +θè áóäåì óñòðåì21ëÿòü θ1 , θ2 ê x. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ R(θ) = − a2 (θ) , θ1 = x − h, θ2 = x + h, θ = x + ht, ãäå22t áåãàåò ïî îòðåçêó [−1, 1], à h → 0.ÈìååìV (θ1 ) = V (x − h) = V (x) − V 0 (x)h +V 00 (x) 2 V 000 (x) 3 V iv (x) 4 V v (x) 5h −h +h −h + o(h5 ),26245!V (θ2 ) = V (x + h) = V (x) + V 0 (x)h +V 00 (x) 2 V 000 (x) 3 V iv (x) 4 V v (x) 5h +h +h +h + o(h5 ),26245!45R00 (x) 2 R000 (x) 3 Riv (x) 4 Rv (x) 5h −h +h −h + o(h5 ),26245!R00 (x) 2 R000 (x) 3 Riv (x) 4 Rv (x) 5R(θ2 ) = R(x + h) = R(x) + R0 (x)h +h +h +h +h + o(h5 ).26245!Ðàçëîæèì ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ðÿä (òî÷íåå â ñóììó êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ) Òåéëîðà è ïðîèíòåãðèðóåì. Çàìåòèì dθ = d(x + ht) = hdt.

Èòàê ïîëóïåðèîäðàâåí:R(θ1 ) = R(x − h) = R(x) − R0 (x)h +Zθ2θ1pV (θ2 ) − V (θ1 )dθp=V (θ2 )R(θ1 ) − V (θ1 )R(θ2 ) + V (θ)R(θ2 ) − V (θ)R(θ1 ) + R(θ)V (θ2 ) − R(θ)V (θ1 )√ x+hsV 000 (x) 23Zh h 1 + 12V 0 (x) h + o(h ) d(x + ht)2V 0 (x)p√ √=(2.2.13)V 00 (x)R0 (x) − R00 (x)V 0 (x)h h 1 − t2 F1 (x)x−hÃäåR0 V 000 − V 0 R000F1 (x) = 1 + ht+ h23(V 00 R0 − R00 V 0 )R000 V 00 − R00 V 000V iv R0 − V 0 Riv2+(1 + t ) + o(h2 )6(V 00 R0 − R00 V 0 ) 12(V 00 R0 − R00 V 0 )Äàëüíåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèâîäÿò íàñ ê:T=2Z1rZ1dt2V 0R0 V 000 − V 0 R000tdt√√−h+000000000000V R − R V 6(V R − V R )1 − t21 − t2−1−1 1rZ000 0000 000iv 00 iv000h22V 0ρV−ρVVR−VRdtV √+− 00 0−+12 V 00 R0 − R00 V 0V R − R00 V 02(V 00 R0 − R00 V 0 )1 − t2 V 0−1 0 000Z10 000 2iv 00 iv21(R V − V R )V R −V R t dt√−+ o(h2 ) (2.2.14)+000000200000022(V R − R V )V R −R V1−tr2V 0V 00 R0 − R00 V 0−1Ñ ó÷åòîìT2= µπ , à òàêæåR1−1√ dt1−t2= π çàêëþ÷àåì, ÷òîrµ=Äàëåå âòîðîå ñëàãàåìîå ðàâíî 0, ò.ê.R1−12V 0.V 00 R0 − R00 V 0√ tdt1−t2(2.2.15)= 0.Ïðèðàâíèâàåì òðåòüå ñëàãàåìîå ê íóëþ ñ ó÷åòîìR1−12√t dt1−t2= π2 :V 000 R000 V 00 − R00 V 000V iv R0 − V 0 Riv(R0 V 000 − V 0 R000 )2V iv R0 − V 0 Riv−−+−= 0.

(2.2.16)V0V 00 R0 − R00 V 02(V 00 R0 − R00 V 0 ) 4(V 00 R0 − R00 V 0 )2 4(V 00 R0 − R00 V 0 )46Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà çàìûêàþùèé ïîòåí0öèàë, åñëè èçáàâèòüñÿ îò R0 , R00 , R000 , Riv . Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì (2.2.15) â âèäå 2V=µ2000002V2VV 00 R0 − R00 V 0 . Ïðîäèôôåðåíöèðóåì äâà ðàçà µ2 = V 000 R0 − R000 V 0 , µ2 = V iv R0 − Riv V 0 +V 000 R00 −R000 V 00 . Ïîäñòàâèì èç òðåõ ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé Riv , R000 , R00 â (2.2.16), ïðèäåìê3V 000 V 0 = 4V 02 .(2.2.17)Îòñþäà íàõîäèòñÿ V (θ) =c1(θ+c2 )2+ c3 èëè V (θ) = c1 θ + c2 .

Ãäå c1 , c2 , c3 êîíñòàíòû22)èíòåãðèðîâàíèÿ. À çíàÿ V ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (2.2.15) íàõîäèòñÿ R(θ) = (θ+c+ c4 +µ2c5 (θ + c2 )−2 , ãäå c2 , c4 , c5 äåéñòâèòåëüíûå êîíñòàíòû.Ïðîâåðêà. Ïðîâåðèì, ÷òî íàéäåííûå ïîòåíöèàëû çàìûêàþùèå. Äëÿ ýòîãî ðåøèìóðàâíåíèå (1.1.8), ïîñ÷èòàâ ôóíêöèþ θ(ϕ)!.1022è ïîòåíöèàëà V = Aθ + B èìååì:Äëÿ ïîâåðõíîñòè G = (θ +c)10µ2 (θ2 +c)Aθ= 2 2µKr2(E − B)µ2 K 2µ4 K 4ϕ + ϕ01+−csin22AAµ−1 +Äëÿ ïîâåðõíîñòè G =001µ2 (θ2 +c)s2001µ2 (θ2 +c−tθ−2 )sE−Bc−22µK2−Aθ2+ B èìååì:2(ϕ + ϕ0 )2Asin.22µKµ(2.2.19)!(θ2 +c−tθ−2 )2E−Bcθ = 2 2 − +µK22è ïîòåíöèàëà V =cE−B−22µK21Äëÿ ïîâåðõíîñòè G =(2.2.18).!1(θ2 +c)2cE−Bθ2 = 2 2 − +µK2!2+t−è ïîòåíöèàëà V =2(ϕ + ϕ0 )2Asin.22µKµAθ2+ B èìååì:(2.2.20)Âèäíî, ÷òî âî âñåõ òð¼õ ñëó÷àÿõ îãðàíè÷åííûå îðáèòû {θ = θ(ϕ)} áóäóò çàìêíóòû.Íà ïðèìåðå ïîñëåäíåãî ñëó÷àÿ ïîÿñíèì ïîäðîáíåå êàê áûë ïîëó÷åí ÿâíûé âèä îðáèòû(2.2.20).1AÑîãëàñíî (1.1.8) äëÿ a222 (θ) = µ2 (θ2 +c−tθ−2 ) è V (θ) = θ 2 :E=a211 (θ) 2 02K2µ4 K 2 02 K 2 µ2 2AKθ++V(θ)=θ +(θ + c − tθ−2 ) + 2 + B.

(2.2.21)422a22 (θ)2a22 (θ)22θÂûðàæåíèå òðèâèàëüíî ïðåîáðàçóåòñÿ:2A2E − 2B2 02−2µ θ = t− 2 2 θ +− c − θ2 .µKµ2 K 247Èíòåãðèðóåì ïî ïîëóïåðèîäóZrt−µdθ=2A2E−2B−22θ + µ2 K 2 − c − θµ2 K 2Zdϕ.Ïîñëå óìíîæåíèÿ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ïîäûíòåãðàëüíîé äðîáè íà 2θ ïîëó÷èìZdθ2ϕ + ϕ0r.= µ2A2E−2B2t − µ2 K 2 + µ2 K 2 − c θ2 − θ4Äàëüíåéøèå ïðåîáðàçîâàíèå ïðèâîäÿò ê:cZd θ2 − ( µE−B2K2 − 2 )ϕ + ϕ0r 2 2 = 2 µ .cc+ µE−Bt − µ22A− θ2 − ( µE−B2K2 − 22K2 − 2 )K2Èíòåãðèðóåì è ïîëó÷àåì òðåáóåìîå:cθ2 − ( µE−B2K2 − 2 )ϕ + ϕ0arcsin r 2 = 2 µ .c+ µE−Bt − µ22A2K2 − 2K2Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåëî íàñ íå ê ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêå êàê âôîðìóëèðîâêå òåîðåìû (2.1.8), à ê ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêåÇàìå÷àíèå 2.2.3.ds2 = dθ2(θ+c2 )2µ2+ c5 (θ + c2)−2+ c42 +dϕ2(θ+c2 )2µ2+ c5 (θ + c2 )−2 + c4.Íóæíàÿ ìåòðèêà ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå çàìåíû θ + c2 = µθ̃, t = − µc52 , c = c4 .2.3Ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé ÁåðòðàíàÃåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé S è ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîéS 0 ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òðåõ ïàðàìåòðîâ (c, t, µ) ∈ R2 × Q>0 .

Êîãäà ïàðàìåòð t ðàâåí íóëþ, ìû èìååì (ñîãëàñíî òåîðåìàì 4, 6) ïîâåðõíîñòè ñ äâóìÿ òèïàìè çàìûêàþùèõïîòåíöèàëîâ àíàëîã ãðàâèòàöèîííîãî V1 (θ) = A|θ| + B (A < 0) è àíàëîã îñöèëÿòîðíîãî V2 (θ) = θA2 + B (A(θ4 + t) > 0). Ïðè t = 0 ñîîòâåòñòâóþùèå ïîâåðõíîñòè S èìåþòïîñòîÿííóþ ãàóññîâó êðèâèçíó è äîïóñêàþò îáîáùåíèå çàêîíîâ Êåïëåðà [37] (â ñëó÷àå ðåàëèçóåìîñòè â R3 ), âåêòîðà Ëàïëàñà-Ðóíãå-Ëåíöà [1], [25]. Ïðè t 6= 0 ñóùåñòâóåò òîëüêîîäèí òèï çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà àíàëîã îñöèëëÿòîðíîãî V2 (θ) = θA2 +B (A(θ4 +t) < 0)48è ñèñòåìà òàêæå äîïóñêàåò îáîáùåíèå âåêòîðà Ëàïëàñà-Ðóíãå-Ëåíöà [1].

Îñòàíîâèìñÿ íàãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ïîäðîáíåå.Ðàöèîíàëüíûé ïàðàìåòð µ = pq âëèÿåò êàê íà ôîðìó ïîâåðõíîñòè (â ìåíüøåé ñòåïåíè,÷åì c è t), òàê è íà ôîðìó îðáèò (c, t íà ôîðìó îðáèò ñîâñåì íå âëèÿþò). Ïîâåðõíîñòü Sµ0ïðè íåêîòîðîì µ = µ0 ïîëó÷àåòñÿ èç ïîâåðõíîñòè S1 ïðè µ = 1 òàê æå êàê ðàöèîíàëüíûéêîíóñ â êîììåíòàðèè 1.2. Íàïðèìåð, åñëè âçÿòü ñôåðó åäèíè÷íîãî ðàäèóñà, òî ìîæíîðàçðåçàòü å¼ ïî ìåðèäèàíàì íà p îäèíàêîâûõ äîëåê, çàòåì âçÿâ q òàêèõ äîëåê ìîæíîèçîãíóòü èõ è ñêëåèòü ïî ìåðèäèàíàì òàê, ÷òî âòîðàÿ äîëüêà ñêëåèâàåòñÿ ñ ïåðâîé, òðåòüÿñêëåèâàåòñÿ ñî âòîðîé, ..., ïîñëåäíÿÿ ñ ïåðâîé, âñÿ çàìêíóòàÿ öåïî÷êà äà¼ò ïîâåðõíîñòüSµ , êîòîðàÿ áóäåò èìåòü âèä âåðåòåíà [43]. Ïîâåðõíîñòü Sµ q -ëèñòíî íàêðûâàåò äîëüêó, àèñõîäíàÿ S1 p-ëèñòíî.ßâíûé âèä çàâèñèìîñòè θ(ϕ), ïðåäñòàâëåííûé ôîðìóëàìè (2.2.18), (2.2.19), (2.2.20),ïîçâîëÿåò îïèñàòü ãåîìåòðèþ îðáèò (óêàçàííûå ôîðìóëû ñïðàâåäëèâû êàê äëÿ ðèìàíîâàòàê è äëÿ ïñåâäîðèìàíîâà ñëó÷àÿ).

Çàâèñèìîñòü ôîðìû îðáèòû îò µ = pq íà ïîâåðõíîñòÿõ ñ àíàëîãîì íüþòîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà è ñ àíàëîãîì ãóêîâñêîãî îòëè÷àåòñÿ.  ñëó÷àåãðàâèòàöèîííîãî ïîòåíöèàëà ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.2.18) îðáèòà áóäåò ïåðèîäè÷íî ôëóêòóèðîâàòü ìåæäó ñâîèìè ïåðè- è àïîöåíòðîì, ïîâòîðÿÿ ïîâåäåíèå ñèíóñîèäû. Ïðè ýòîìçà p âèòêîâ âîêðóã ïîâåðõíîñòè îðáèòà ñîâåðøèò ðîâíî q êîëåáàíèé îò ïåðèöåíòðà äîàïîöåíòðà è îáðàòíî, à â ñëó÷àå îñöèëëÿòîðíîãî ïîòåíöèàëà ñîãëàñíî ôîðìóëàì (2.2.19),(2.2.20) ïëàíåòà ñîâåðøèò 2q êîëåáàíèé çà p âèòêîâ.

Ñîîòâåòñòâåííî ìèíèìàëüíûé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä îðáèòû (êàê ôóíêöèè θ(ϕ)) â ïåðâîì ñëó÷àå ðàâåí Φ1 = 2πµ, à âîâòîðîì Φ2 = πµ.Íàïðèìåð, äëÿ åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè (µ = 1, c = t = 0) ïðè äâèæåíèè âîêðóã Ñîëíöàçà îäèí îáîðîò ïëàíåòà ñîâåðøàåò ðîâíî îäíî êîëåáàíèå ìåæäó ñâîèìè ïåðèãåëèåì èàïîãåëèåì.  ñëó÷àå æå ãóêîâñêîãî ïîòåíöèàëà ïëàíåòà äâèãàåòñÿ ïî ýëëèïñó, â öåíòðå(à íå â ôîêóñå) êîòîðîãî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå, ïîýòîìó ïëàíåòà ñîâåðøèò 2 êîëåáàíèÿ çàîäèí îáîðîò.Èòàê ìíîæåñòâî ïàð (S, V ) Áåðòðàíà (êàê â ðèìàíîâîì òàê è â ïñåâäîðèìàíîâîì ñëó÷àÿõ) ïàðàìåòðèçóåòñÿ ñåìåðêîé âåëè÷èí (c, t, µ, â, b̂, A, B), ãäå òðîéêà (c, t, µ) ∈ R2 × Q>0îïðåäåëÿåò ôîðìó ïîâåðõíîñòè S , ïàðà (â, b̂) ∈ R2 îïðåäåëÿåò øèðèíó ïîâåðõíîñòè, ò.å.å¼ ãðàíè÷íûå ïàðàëëåëè, ïàðà (A, B) îïðåäåëÿåò çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë, äåéñòâóþùèéíà S .

Åñëè ïîâåðõíîñòü S íå èìååò ýêâàòîðîâ, òî êàê óæå îòìå÷àëîñü [56] âñå 5 òèïîâïîòåíöèàëîâ (ñì. îïðåäåëåíèÿ 1.1.6-1.1.10) ýêâèâàëåíòíû. ×òî êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòåé, îòâå÷àþùèõ ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì ïÿò¼ðêè ïàðàìåòðîâ (c, t, µ, â, b̂), òî êëàññèôèêàöèþ èõñ òî÷íîñòüþ äî èçîìåòðèè, ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ äàåò òåîðåìà 7. Ñïåðâà äàäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå 2.3.1.Äâå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ S1 è S2 (ñîîòâåòñòâåííî S10 è S20 ) S 1 49èçîìåòðè÷íû èëè ãîðèçîíòàëüíî èçîìåòðè÷íû, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì h :S1 → S2 , ñîõðàíÿþùèé ìåòðèêó (ïñåâäîðèìàíîâó ìåòðèêó) è ïåðåâîäÿùèé ïàðàëëåëè âïàðàëëåëè.Äâå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ S1 è S2 (ñîîòâåòñòâåííî S10 è S20 ) ϕ-èçîìåòðè÷íû èëè âåðòèêàëüíî èçîìåòðè÷íû, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì h : S1 → S2 , ñîõðàíÿþùèéìåòðèêó (ïñåâäîðèìàíîâó ìåòðèêó) è ïåðåâîäÿùèé ìåðèäèàíû â ìåðèäèàíû.Äâå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ S1 è S2 ñ ìåòðèêàìè g1 , g2 (ñîîòâåòñòâåííî S10 è S20 ñ ïñåâäîðèìàíîâûìè ìåòðèêàìè g1 , g2 ) S 1 -ïîäîáíû èëè ãîðèçîíòàëüíî ïîäîáíû, åñëè ñóùåñòâóåòäèôôåîìîðôèçì h : S1 → S2 , ïåðåâîäÿùèé ïàðàëëåëè â ïàðàëëåëè òàê, ÷òî ìåòðèêèñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì h∗ g2 = k 2 g1 äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû k .Ïóñòü Sc,t,µ,a,b ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà, ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êîíñòàíòàìè c, t, µ, a, b, ò.å.ïîâåðõíîñòü ñ êîîðäèíàòàìè (θ, ϕ), ãäå θ ∈ (a, b), è ìåòðèêîé (2.1.2) (ïñåâäîðèìàíîâîéìåòðèêîé (2.1.8)).Äëÿ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ñ ðèìàíîâîé (ïñåâäîðèìàíîâîé) ìåòðèêîéñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:Òåîðåìà 7.1.