Диссертация (Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками), страница 9

Отсюда следует формула (4.2).Теорема доказана.Замечание. Формулы (4.1), (4.2) описывают асимптотическое решение в случае, когда дно представляет собой наклонную плоскость, описываемую уравнением C(x) = ∇C(0)x.Случай симметричного источника. В случае, когда источник является симметричным, т.е. b1 = b2 = b, то интеграл (4.1) можно вычислить явно. В этомслучае формула для возвышения свободной поверхности жидкости будет иметьвид:Z2π1η(x, t) = √ ·Re2 2π0dθ2 +O(µ)+O(t),|x|tb + i µ · (C(0) + h∇C(0), xi) − i µ · cos θ где θ = ψ − ψ1 , cos ψ1 = x1/|x|, sin ψ1 = x2/|x|.

Ответ для функции η(x, t)получается следующий:68√η(x, t) = 2π · Rea(a2 − 1)3/2tгде a = − |x|(C(0) − h∇C(0), xi) + i βµ.|x|+ O(µ) + O(t),(4.4)На Рисунке 4.1 изображен профиль решения η(x, t) для симметричногоисточника в момент времени t = 0.2. Здесь глубина в точке (0, 0) равна 1,∇C(0) = (2, 0), µ = 0.08. Из рисунка видно, что волна имеет разную высоту,причем, большей амплитуде соответствует меньшая глубина, а меньшей амплитуде — большая глубина.Рис.

4.1. Случай симметричного ис-Рис. 4.2. Случай несимметричноготочникаисточника. Угол θ = 0Случай несимметричного источника. В том случае, когда источник является несимметричным, интеграл, который стоит в формуле (4.2), явно не вычисляется, и его надо считать численно. На Рисунках 4.2, 4.3, 4.4 изображеныначальные стадии распространения волны цунами для разных углов θ в случаекогда глубина в точке (0, 0) равна 1, ∇C 0 = (2, 0), µ = 0.08, t = 0.2. На Рисун-ке 4.2 изображен случай несимметричного источника для θ = 0. Правому краюволны соответствует меньшая глубина, левому — большая. На Рисунках 4.3, 4.4изображены случаи несимметричного источника для θ = π/2 и θ = π/4 соответственно.69Рис.

4.3. Случай несимметричногоРис. 4.4. Случай несимметричногоисточника. Угол θ = π/2источника. Угол θ = π/4Глава 5Распространение длинныхволн над подводнымибанками и хребтамиВ данной главе рассматриваются примеры поведения линейных нестационарных волн на мелкой воде, порожденных непрерывными во времени и локализованными в пространстве источниками и распространяющихся над подводнымибанками и хребтами. Здесь используется асимптотическое приближение, описанное в главах 2-й и 3-й.

Устанавливается возникновение и динамика захваченных волн, двигающихся над подводными хребтами с волновыми фронтами,которые имеют сингулярности, фокальные точки (точки поворота), каустики ит.д.Волны, распространяющиеся над подводными хребтами и банками, представляют собой довольно интересные объекты в теории волн на воде и физикеокеана.

Обычно они рассматриваются как стационарные или квазистационарные состояния в 3-D задаче о волнах на воде, или как решения пространственнодвумерного волнового уравнения с оператором Лапласа–Бельтрами −∇C 2(x1, x2)∇в пространственной части, если используется длинноволновое приближение.7071Рис. 5.1. Начальное возвышение свободной поверхности жидкости над эллептической подводной банкойЗдесь C 2 = gD(x1 , x2), где D(x1 , x2) — глубина в точке x = (x1, x2), а g —ускорение силы тяжести. Существование захваченных волн используется дляобъяснения многих эффектов в физике океана.

В частности, распространениедлинных волн цунами без потери энергии связано с длинными подводнымихребтами в океане. В этой области существует большое количество работ. Мыотметим только некоторые из них [69, 70, 77, 74, 75, 76]. Отметим также, что, какправило, стационарные проблемы для захваченных волн рассматриваются дляслучая, когда неоднородность дна в функции D(x1, x2) зависит только от однойpпространственной переменной x1 или от полярного радиуса r = x21 + x22.Распространение волн в нестационарном случае над подводными хребтамиизучено не очень хорошо. В данной главе будут рассмотрены некоторые модельные примеры, описывающие распространение длинных волн над подводнымихребтами, порожденных непрерывными во времени и локализованными в пространстве источниками.

Такая постановка задачи относится к так называемойпоршневой модели в теории волн цунами, в случае когда подводный источникрасполагается на вершине хребта или рядом с его вершиной.72Рис. 5.2. Начальное возвышение свободной поверхности жидкости над хребтом, изогнутымпо дуге окружностиИтак мы рассматриваем задачу (2.1), (2.2).

В качестве модельных примеровфункции дна мы берем следующие функции.1. Начальное возвышение свободной поверхности жидкости имеет вид (2.3).2. Подводная банка и прямой хребет (см. Рисунки 5.1, 5.4) описываются формулойa0,1 + ((x1 − a1 )/b1)2 + ((x2 − a2 )/b2)2здесь a0 , a1 , a2, b1, b2 — действительные параметры.D(x1 , x2) = 1 −(5.1)3. Подводный хребет, изогнутый по дуге окружности (см. Рисунок 5.2) описывается формулойD(x1, x2) = 1 −a01 + ((u − au )/bu)2 + ((φ · R − aφ )/bφ)2здесь a0 , au , aφ , bu, bφ , R — действительные параметры,φ = arctanx2 − x02x1 −,x01u = (x1 − x01) cos φ + (x2 − x02) sin φ − R,(x01, x02) — центр окружности.(5.2)73Рис. 5.3.

Начальное возвышение свободной поверхности жидкости над зигзагообразным хребтом4. Подводный зигзагообразный хребет (см. Рисунок 5.3) описывается формулойD(x1, x2) = 1 −a01 + (x1 − a1 · sin(x2/p))2/b21 + (x2 − a2 )2 /b22(5.3)здесь a0 , a1 , a2 , b1, b2, p — действительные параметры.Основные результаты данной главы заключаются в асимтотически-численномописании решений задачи (2.1), (2.2) и установлении появления нестационарных захваченных волн, движущихся над подводными хребтами с фронтами, накоторых есть сингулярности, фокальные точки, каустики и т.

д.5.1Образование фокальных точек и волн надкруглыми банками1). Сначала рассмотрим пример, когда фокальные точки на фронте не появляются. Пусть дно имеет вид (5.1), и параметры дна имеют следующие значения:74Рис. 5.4. Начальное возвышение свободной поверхности жидкости над бесконечным прямымхребтомa0 = 0.1, a1 = 0, a2 = 300, b1 = 100, b2 = 100. Если банка невысокая, то волна не чувствует ее, и волновой фронт похож на окружности, увеличивающиесяс течением времени. Жирными линиями на Рисунке 5.5 изображен волновойфронт в последовательные моменты времени.

Контурным графиком изображено дно, источник отмечен жирной точкой в начале координат. Здесь и далееизображается только часть волнового фронта, которая проходит над банкамии хребтами.2). Если банка будет более высокая или над банкой будет меньшая глубина,то на фронте будут образовываться фокальные точки. Рассмотрим случай, когда дно имеет вид (5.1) и параметры дна имеют следующие значения: a0 = 0.5,a1 = 0, a2 = 300, b1 = 100, b2 = 100. На Рисунке 5.6 изображен волновой фронтв последовательные моменты времени.

Также на рисунке контурным графикомизображено дно, и пунктирными линиями изображены каустики. Источник отмечен жирной точкой в начале координат.75Рис. 5.5. Волновые фронты в момент про-Рис. 5.6. Волновые фронты в момент про-хождения над круглой симметричной бан-хождения над круглой симметричной бан-кой. Фронты изображены жирными линия-кой. Фронты изображены жирными линия-ми, источник отмечен жирной точкой в на-ми, источник отмечен жирной точкой в на-чале координат. Фокальные точки на фрон-чале координатте отсутствуют5.2Фокальные точки и волны над вытянутымибанками: появление пространственновременных каустик1).

Начнем с примера, когда на фронте появляются четыре фокальные точки.Дно имеет вид (5.1), параметры дна имеют следующие значения a0 = 0.5,a1 = 0, a2 = 350, b1 = 40, b2 = 180. На Рисунке 5.1 изображено дно и начальноевозвышение свободной поверхности жидкости. На Рисунке 5.7 изображены76Рис. 5.7. Волновые фронты в момент про-Рис. 5.8. Волновые фронты в момент про-хождения над эллиптической подводнойхождения над эллиптической подводнойбанкой.

Каустики изображены штрихован-банкой. Каустики изображены штрихован-ными линиями, источник отмечен жирнойными линиями, источник отмечен жирнойточкой в начале координат и находится наточкой в начале координат и находится наоси симметрии банкиоси симметрии банкиРис. 5.9. Волновой фронт в момент про-Рис. 5.10. Волновой фронт, распространя-хождения над вытянутой подводной бан-ющийся над бесконечным подводным пря-кой. Каустики изображены пунктирнымимым хребтом.

Каустики изображены пунк-линиями, источник находится в начале ко-тирными линиями, источник находится вординат, сбоку от оси симметрии хребтаначале координат77волновые фронты в последовательные моменты времени. Также на рисункеконтурным графиком изображено дно. Концы арок (фокальные точки) образуют линии, известные как пространственно-временные каустики. На рисункекаустики изображены штрихованными линиями. В начальный момент времени фокальные точки на фронте отсутствуют, затем, из-за неровностей дна, нафронте образуются первые две фокальные точки, после этого появляются ещедве фокальные точки.

Источник отмечен на рисунке жирной точкой в началекоординат.2). Рассмотрим еще один пример появления фокальных точек на фронте.Пусть дно опять имеет вид (5.1), а параметры дна имеют следующие значенияa0 = 0.5, a1 = 0, a2 = 350, b1 = 40, b2 = 280. В сравнении с предыдущимрасчетом, здесь появляются шесть фокальных точек, которые изображены наРисунке 5.8. Разница между этими двумя расчетами заключается в более вытянутой банке во втором случае.

В обоих примерах источник располагается наоси симметрии банки. Также в обоих примерах при дальнейших расчетах других фокальных точек не появлялось. Из Рисунков 5.7, 5.8 видно, что первыефокальные точки появляются уже тогда, когда фронт еще не достиг точки, вкоторой банка имеет максимальную высоту. Для того чтобы это увидеть достаточно посмотреть контурные графики дна и точки, в которых образовалисьпервые каустики. Фокальные точки могут также появляться и в том случае,когда источник располагается сбоку от оси симметрии хребта. Этот случай рассматривается в следующем примере.3).

Рассмотрим пример, когда функция D(x1 , x2) имеет вид (5.1) и параметры имеют следующие значения: a0 = 0.5, a1 = 30, a2 = 350, b1 = 40, b2 = 280.Здесь источник находится также в точке (0, 0), которая расположена не на осисимметрии хребта. На Рисунке 5.9 изображен волновой фронт в разные моменты времени, каустики и источник. Также контурным графиком нарисованафункция дна D(x1, x2). Данный расчет иллюстрирует тот факт, что фокальныеточки могут образовываться и в том случае, когда источник волны находится78не на оси симметрии хребта.