Диссертация (Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками), страница 6

В противном случае точкаP лежит снаружи от треугольника. Если точка P попала в треугольник ABCили BDC, то область, заключенная между отрезками AB и CD разбиваетсяна маленькие треугольники, так как изображено на Рисунке 2.9. После этогонаходится маленький треугольник, в который попала точка P . Пусть a,b,c —это вершины маленького треугольника, в который попала точка P , а η(a), η(b),η(c) — это возвышение свободной поверхности жидкости, вычисленное в точкахa,b,c соответственно. В данной работе по этим трем точкам проводилась плоскость Π(a, b, c, η(a), η(b), η(c)) и вычислялось значение ηΠ (P ) на плоскости Π.38Окончательное значение возвышения свободной поверхности жидкости в точкеP вычислялось как сумма η(P ) + ηΠ (P ).Замечание 1: Можно не проверять принадлежность точки P сетки M1 области, заключенной между двумя соседними отрезками сетки M2 , а сразу проверять попадание точки P во все маленькие треугольники сетки M2 .

Стоитотметить, что этот способ потребует существенно больших временных затрат.Замечание 2: Для удобства фронт (а вместе с ним и поверхность) можноразбить на отдельные не самопересекающиеся куски. Для этого заметим, чтопрактически всегда, когда на фронте есть точки самопересечения, то на неместь также и фокальные точки. Причем, если мы вычисляем фронт в секторе 0 < ψR < ψL < 2π и на фронте есть фокальные точки ψ1F , . . . , ψnF , т.ч.ψR < ψ1F < . .

. < ψnF < ψL, то следующие участки фронта будут без самопересеченийF, ψnF ), (ψnF , ψL).(ψR , ψ1F ), (ψ1F , ψ2F ), . . . , (ψn−1Соответственно возвышение свободной поверхности жидкости, вычисленное вокрестности таких участков фронта тоже будет без самопересечений.Глава 3Асимптотическое решение вокрестности фокальныхточек фронта3.1Определение асимптотического решения вокрестности фокальных точекРассмотрим на фронте Γt некоторую фокальную точкуrt∗ = (P(ψ ∗, α∗ , t), X (ψ ∗, α∗, t))c координатами ψ ∗ , α∗.

В окрестности такой точки асимптотическое решениеможно представить двумя различными способами [34]. Первый способ основывается на том, что если в некоторой окрестности фокальной точки r∗ отличенот нуля якобианdet C (0,2)(ψ, α) = P1α X2ψ − P1ψ X2α ,то в этой окрестности решение можно представить в виде интеграла3940∗ηasrZ∞ Z∞ " 1ρπρI ∗p· e−i 2 ·Ind (r ) ·= Re· ei µ ·(α−P1 (ψ,α,t)X1 (ψ,α,t)+p1 ·x1 ) 2π| det C (0,2) |0 −∞(0,2)×Ae (ψ, α)α=α(0,2) (p1 ,x2 ,t),ψ=ψ (0,2) (p1 ,x2 ,t)Здесь A — это амплитуда, которая имеет видvuu01 η̃ (ρn(ψ)) t |p|C(αn(ψ), 0)·· C(x, t)A= ·2 C(αn(ψ), 0)C(x, t)dp1 · dρ .(3.1),p=P(ψ,α,t),x=X (ψ,α,t)e(0,2) (ψ, α) — срезающая функция, носитель которой принадлежит некоторойокрестности фокальной точки, а величины α = α(0,2) (p1, x2, t), ψ = ψ (0,2) (p1, x2, t)являются решениями уравненийP1(ψ, α, t) = p1,X2 (ψ, α, t) = x2.Второй способ справедлив в том случае, когда в некоторой окрестности фокальной точки отличен от нуля якобианdet C (1,0)(ψ, α) = X1α P2ψ − X1ψ P2α .Перейти от рассмотрения одного случая к другому можно просто заменив индексы 1 → 2 и 2 → 1 у координат X и импульсов P.

В связи с этим можно∗рассматривать дальнейшие упрощения формулы для ηasв случае, когда отли-чен от нуля якобиан det C (0,2) (ψ, α).Функция (3.1) достаточно быстро убывает при удалении от фронта Γt , по-этому интеграл (3.1) можно упростить. Это упрощение основано на соображениях комплексного ростка [10] или погранслоя [73].

Для реализации этих соображений нам понадобятся разложения фазы в интеграле (3.1). Частично такиеразложения были проделаны в работе [34].41Теорема: 1). В окрестности фокальной точки r∗ справедливо равенство∗ηas= Re×гдеZ∞ Z∞0 −∞(rπ1I ∗· e−i 2 ·Ind (r )2·π√C0q|(P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ ) − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψ |ioi· µρ ·Φdψ · dρ + O(µ) ,×A|α=0 · e(ψ) · eρ · |P1ψ | ·(x2 − X2 )2Φ = hP, x − Xi −2(P1ψ Ṗ2 − Ṗ1 P2ψ ) + h∇C 0, n0(ψ)i · (P1ψ P2 − P1 P2ψ ).×(P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ ) − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψ(3.2)(3.3)2). Если в качестве η 0 (z) взять функцию (2.3), тоpZ∞ π|P|·|P | · C(X, t) · e(ψ)a∗1ψ∗rηas= √ · Re e−i 2 Ind(r ) ·2 2π00−∞P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ − h∇C , n (ψ)i · P1 X2ψ dψ×2 .iβ(ψ) − µ · Φ (3.4)Фаза Φ вычисляется по формуле (3.3).

Величина Ind(r∗) — это индекс Масловафокальной точки. Он может принимать одно из четырех значений: 0, 1, 2, 3.В работе [29] показано, что для задачи (2.1), (2.2) его можно вычислитьчерез индекс Морса, приходящей в эту точку траектории системы Гамильтона.Доказательство теоремы см. последнем параграфе данной главы.423.2Примеры волновых фронтов и поведениеосновных величин вдоль фронтаПодкоренное выражение, стоящее в числителе формул (3.2)- (3.4) — это гамильтониан, записанный в карте (P1, X2 ). Можно также записать якобиан вкарте (P2 , X1). Выпишем якобианы отдельно.J(P1, X2) = P1ψ Ẋ2 − P˙1 X2ψ − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψ ,(3.5)J(P2, X1) = P2ψ Ẋ1 − P˙2 X1ψ − h∇C 0, n0(ψ)i · P2 X1ψ .(3.6)Формулы (3.1)- (3.4) справедливы только в той окрестности фокальной точки, вкоторой отличен от нуля якобиан.

В связи с этим, сначала кажется необходимымпосмотреть некоторые примеры поведения якобианов в окрестности фокальныхточек, а также примеры поведения основных величин вдоль фронта.Рис. 3.1. Начальное возвышение свободной поверхности жидкости над круглой симметричнойбанкой1. Поведение волнового фронта при прохождении волны над круглой подводной банкой. В качестве первого примера рассмотрим прохожде-43ние волны над круглой подводной банкой. Пусть глубина D(x1, x2) задаетсяформулойD(x1 , x2) = 1 −a01 + ((x1 − a1 )/b1)2 + ((x2 − a2 )/b2)2,(3.7)а параметры дна имеют следующие значения: a1 = 0.4, a2 = 0.4, b1 = 0.2,b2 = 0.2, a0 = 0.6.Рис.

3.2. Волновые фронты и каустики надРис. 3.3. Радиусы действия якобианов. Яко-круглой симметричной банкойбиану, записанному в карте (p1 , x2 ) соответствует окружность меньшего радиуса (R =0.0082), а якобиану, записанному в карте(p2 , x1 ) — большего (R = 0.0677)На Рисунке 3.2 изображены волновые фронты в последовательные моментывремени. Также на рисунке изображены каустики, дно изображено контурнымграфиком, источник отмечен жирной точкой в начале координат. Время счета для этого рисунка составляет t = 60.

Здесь характеристики вычислялись всекторе ψ ∈ [0, π/2]. На Рисунке 3.1 изображено дно вида (3.7) и начальноевозвышение свободной поверхности жидкости. Возвышение изображено схематически, в действительности оно имеет гораздо меньшую амплитуду.На Рисунке 3.4 изображены графики якобианов (3.5), (3.6) для последне-44го положения волнового фронта, изображенного на Рисунке 3.2. Здесь фокальные точки имеют следующие координаты: ψ1F = 0.592, ψ2F = 0.979. Нули якобиана (3.5), записанного в карте (p1, x2), имеют следующие значения:ψ = (0.1239, 0.5678, 1.052).

Нули якобиана (3.6), записанного в карте (p2, x1),имеют значения: ψ = (0.5191, 1.0022, 1.4477). Все значения для углов приведены в радианах. Выпишем разницу δψ между ψ1F и ближайшей точкой, в которой обращается в нуль якобиан. Также приведем эту разницу для графикаdet (P, Pψ ), изображенного на Рисунке 3.5. График функции det (P, Pψ ) проходит через 0 в точках ψ = (0.569, 1.002).• Для якобиана, записанного в карте (p1, x2): δψ = 0.0242 ≈ 1.39◦.• Для якобиана, записанного в карте (p2, x1): δψ = 0.0729 ≈ 4.18◦.• Для якобиана det (P, Pψ ): δψ = 0.0227 ≈ 1.3◦Рис. 3.4.

Графики якобианов в картах (p2 , x1 ) и (p1 , x2 ). Синим цветом изображен якобианв карте (p1 , x2 ) (в фокальных точках он имеет положительные значения), красным цветомизображен якобиан в карте (p2 , x1 ) (в фокальных точках он имеет отрицательные значения)На Рисунке 3.3 изображены радиусы действия якобианов (3.5), (3.6). Радиус каждой окружности равен расстоянию от фокальной точки до ближайшей45Рис. 3.5.

График якобиана det (P, Pψ )точки на фронте, в которой якобиан обращается в нуль. Видно, что якобиан,записанный в карте (p2, x1) имеет большую допустимую область на плоскости(x1, x2) по сравнению с якобианом, записанным в карте (p1, x2). Однако, еслипосмотреть на Рисунок 3.4, то будет видно, что якобиан, записанный в карте(p2, x1) имеет очень маленькие значения в окрестности фокальной точки. В связи с этим, якобиан J(p2, x1) не пригоден для вычисления возвышения свободнойповерхности жидкости в окрестности фокальной точки. В следующем параграфе будет описан алгоритм, позволяющий подобрать ”наилучший” якобиан длявычисления возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фокальной точки.В заключение рассмотрим поведение величин X1 (ψ), X2 (ψ), P1 (ψ), P2 (ψ),которые изображены на одних осях на Рисунке 3.6.

Здесь черные вертикальныелинии соответствуют фокальным точкам.2. Поведение волнового фронта при прохождении волны над подводной банкой, изогнутой по дуге окружности. Выше был рассмотрен пример, где дно представляет собой круглую банку, расположенную симметричноотносительно осей x1, x2. Здесь мы рассмотрим случай, когда волна распространяется над банкой, изогнутой по дуге окружности.

Пусть дно имеет видD(x1, x2) = 1 −a01 + ((u − au )/bu)2 + ((φ · R − aφ )/bφ )2,(3.8)46Рис. 3.6. Графики величин X1 , X2 , P1 , P2 в зависимости от угла ψ. В первой фокальной точке(ψ F = 0.592) самый нижний график принадлежит величине P1 , следующий — P2 , далее —X1 , и самый верхний — X2Рис. 3.7. Начальное возвышение свободной поверхности жидкости над банкой, изогнутой подуге окружностипараметры дна имеют следующие значения: a0 = 0.6, a1 = −0.1, a2 = 1.5,b1 = 0.2, b2 = 1, (x01, x02) = (−1.5, 0), R = 1.5, c = 0.001. Пример такого днаи начальное возвышение свободной поверхности жидкости изображены на Рисунке 3.7.

На Рисунке 3.8 изображены волновые фронты в последовательныемоменты времени. Также на рисунке изображены каустики, дно изображеноконтурным графиком, источник отмечен жирной точкой в начале координат.Время счета для этого рисунка составляет t = 150. Здесь характеристики вычислялись в секторе ψ ∈ [0, π].47Рис. 3.8. Волновые фронты и каустики над банкой, изогнутой по дуге окружностиРис.