Диссертация (Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками), страница 8

Черными жирными линиями обозначена граница возвышения для каждой области. Оба рисунка получены по описанномувыше алгоритму. Описанный алгоритм был реализован в рамках данной работына языке C++.3.4Доказательство теоремы1). Обозначим выражение α − P1 (ψ, α, t) · X1(ψ, α, t) + p1 · x1, стоящее в ин-теграле (3.1) через Φ. Разложим фазу Φ в ряд Тейлора в окрестности точки(ψ 0, 0, t), где угол ψ 0 определяется из соотношения p1 = P1 (ψ, α, t). Для этогопредставим величины α и △ψ = ψ − ψ 0 в виде:α = α1 + α2 + α3 ,△ψ = △ψ1 + △ψ2 + △ψ3 .Здесь мы будем пользоваться соображениями, изложенными в [10]. Система длянахождения величин α1 , △ψ1 выглядит следующим образом:∂P1 0∂P1 0(ψ , 0, t) · △ψ1 +(ψ , 0, t) · α1∂ψ∂α∂X2 0∂X2 0x2 = X2 (ψ 0, 0, t) +(ψ , 0, t) · △ψ1 +(ψ , 0, t) · α1∂ψ∂αp1 = P1 (ψ 0 , 0, t) +57Препишем систему в видеP1ψ · △ψ1 + P1α · α1 = 0X2ψ · △ψ1 + X2α · α1 = x2 − X2 (ψ 0, t)(3.9)Решение системы (3.9) выглядит следующим образом:x2 − X2 (ψ 0, t)α1 = −P1ψ ·,Jx2 − X2 (ψ 0 , t),△ψ1 = P1α ·J(3.10)гдеJ = det C (0,2) (ψ 0 , 0) = X2ψ · P1α − X2α · P1ψ .Величины △ψ2 и α2 находятся из разложения в ряд Тейлора величин P1 (ψ, α, t),X2(ψ, α, t) до следующего порядка малости:1 ∂ 2 P1∂ 2P11 ∂ 2P122·△ψ1 +P1α ·(α1 +α2 )+ ··α +·△ψ1 ·α1 = 0,P1ψ ·(△ψ1 +△ψ2 )+ ·2 ∂ψ 22 ∂α2 1 ∂ψ · ∂α1 ∂ 2 X21 ∂ 2 X2∂ 2X222X2ψ ·(△ψ1 +△ψ2)+ ··△ψ1 +X2α ·(α1 +α2 )+ ··α +·△ψ1 ·α1 =2 ∂ψ 22 ∂α2 1 ∂ψ · ∂α= x2 − X2 (ψ 0 , t)Вместе с системой Гамильтона (2.4) рассмотрим систему в вариациях, котораяимеет видẇ = −Hxp w − Hxx z,ż = Hpp w + Hpx z.(3.11)Решениями системы в вариациях (см.

[34]) являются вектора (Pα , Xα ), (Pψ , Xψ ),(P, 0), для которых справедливы следующие соотношенияhPα , Xψ i − hPψ , Xα i = 0,hP, Xψ i = 0,hP, Xα i = 1.(3.12)С учетом соотношений (3.12) последнюю систему можно переписать в виде:581 ∂ 2P1∂ 2P11 ∂ 2P122· △ψ1 − ·· α1 −· △ψ1 · α1P1ψ · △ψ2 + P1α · α2 = − ·2 ∂ψ 22 ∂α2∂ψ · ∂α1 ∂ 2X21 ∂ 2X2∂ 2X222X2ψ · △ψ2 + X2α · α2 = − ·· △ψ1 − ·· α1 −· △ψ1 · α1 .2 ∂ψ 22 ∂α2∂ψ · ∂α(3.13)Решение системы (3.13) выглядит следующим образом:22∂ 2P1∂ 2X21∂P∂X1 1112− P1α ·− P1α ·△ψ2 = · · X2α ··△ψ12 + · · X2α ··α12 +22222 J∂ψ∂ψ2 J∂α∂α∂ 2X2∂ 2P11− P1α· △ψ1 · α1 ,+ · X2α ·J∂ψ · ∂α∂ψ · ∂α221 1∂ 2P1∂P∂ 2X21∂X112α2 = · · P1ψ ·− X2ψ ·− X2ψ ··△ψ12 + · · P1ψ ··α12 +22222 J∂ψ∂ψ2 J∂α∂α∂ 2X2∂ 2P11− X2ψ ·· △ψ1 · α1 .+ · P1ψJ∂ψ · ∂α∂ψ · ∂α(3.14)Здесь α1 , △ψ1 определяются с помощью (3.10).Разложение фазы в ряд Тейлора с точностью до линейных членов.

Cучетом того, что p1 = P1(ψ, α, t), разложение фазы Φ в ряд Тейлора с точностьюдо линейных членов выглядит следующим образом:Φ = α1 + p1 · (x1 − X1 (ψ 0 , 0, t)) − p1 ·∂X1 0∂X1 0(ψ , 0, t) · △ψ1 − p1 ·(ψ , 0, t) · α1 =∂ψ∂αx2 − X2 (ψ 0, t)= p1 · (x1 − X1 (ψ , t)) +· (−P1ψ + p1 · (X1α · P1ψ − X1ψ · P1α )).J0С учетом соотношений (3.12) имеем:59p1 · X1α · P1ψ = (1 − p2 · X2α ) · P1ψ ,p1 · X1ψ · P1α = −p2 · X2ψ · P1α .Таким образом в уравнении для фазы выражение, стоящее в скобках, будетравно J, умноженному на p2 .

Итого:Φ = p1 · (x1 − X1(ψ 0 , t)) + p2 · (x2 − X2 (ψ 0 , t)) = hp, x − X(ψ 0 , t)i(3.15)Разложение фазы в ряд Тейлора с точностью до квадратичных членов. Разложение фазы в ряд Тейлора с точностью до квадратичных членоввыглядит следующим образом:Φ = α1 + α2 + p1 · (x1 − X1(ψ 0 , 0, t)) − p1 ·∂X1∂X1· △ψ1 − p1 ·· α1 −∂ψ∂α∂X1∂ 2X1∂X11∂ 2 X1∂ 2X1 22 1−p1 ··△ψ1 − ·p1 ··α −p1 ··△ψ2 −p1 ··α2 − ·p1 ··△ψ1 ·α1 .∂ψ∂α2∂ψ 22∂α2 1∂ψ · ∂αС учетом линейного разложения это выражение можно переписать следующимобразом:Φ = hp, x − X(ψ 0 , t)i + α2 −∂ 2X1∂ 2 X1∂ 2 X1 212 1·△ψ1 − ·p1 ··α −p1 ··△ψ1 ·α1 .−p1 ·X1ψ ·△ψ2 −p1 ·X1α ·α2 − ·p1 ·2∂ψ 22∂α2 1∂ψ · ∂αПоследнее, с учетом (3.12), можно записать в виде:Φ = hp, x − X(ψ 0 , t)i + p2 · X2α · α2 + p2 · X2ψ · △ψ2 −1∂ 2X11∂ 2X1∂ 2X1 22· △ψ1 − · p1 ·· α1 − p1 ·− · p1 ·· △ψ1 · α1 .2∂ψ 22∂α2∂ψ · ∂α(3.16)Выражения для △ψ2 , α2 даются с помощью (3.14).

Теперь соберем в (3.16)слагаемые, стоящие при △ψ12 . Получится:601∂ 2X2∂ 2P1p2 · X2α ·· P1ψ ·− X2ψ ·2·J∂ψ 2∂ψ 2∂ 2X2∂ 2P1∂ 2X111−P·=· X2α ··p·−+p2 · X2ψ ·1α12·J∂ψ 2∂ψ 22∂ψ 211∂ 2X2 1∂ 2X1∂ 2X=− · p1 ·= − · hp,i· (X2α · P1ψ − X2ψ · P1α ) · p2 ·2·J∂ψ 22∂ψ 22∂ψ 2Теперь в выражении для фазы Φ соберем члены, стоящие при α12.∂ 2P1∂ 2X21− X2ψ ·· P1ψ ·p2 · X2α ·2·J∂α2∂α21∂ 2X2∂ 2P1∂ 2X11+p2 · X2ψ ·− P1α ·=· X2α ·− · p1 ·2·J∂α2∂α22∂α2=∂ 2X2 1∂ 2X11∂ 2X1· (X2α · P1ψ − X2ψ · P1α ) · p2 ·−·p·=−·hp,i12·J∂α22∂α22∂α2Также соберем члены, стоящие при △ψ1 · α1 :∂ 2X2∂ 2P11− X2ψ ·p2 · X2α · · P1ψ ·J∂α2∂α21∂ 2X2∂ 2P1∂ 2X1+p2 · X2ψ · · X2α ·− P1α=− p1 ·J∂ψ · ∂α∂ψ · ∂α∂ψ · ∂α∂ 2X2∂ 2X1∂ 2X1− p1 ·= −hp,i= − · (X2α · P1ψ − X2ψ · P1α ) · p2 ·J∂ψ · ∂α∂ψ · ∂α∂ψ · ∂αФаза будет выглядеть следующим образом:11∂ 2X∂ 2X∂ 2X22Φ = hp, x − X(ψ , t)i − · hp,i · △ψ1 − · hp,i · α1 − hp,i · △ψ1 · α1 .2∂ψ 22∂α2∂ψ · ∂α0С учетом (3.10) фазу можно переписать в виде:1 (x2 − X2(ψ 0 , t))2Φ = hp, x − X(ψ , t)i − ·2J202×hp, P1α∂ 2X∂ 2X∂ 2X2+ P1ψ ·− 2 · P1α · P1ψ ·i.·∂ψ 2∂α2∂ψ · ∂α(3.17)612Перепишем скалярное произведение hp, ∂∂ψX2 i в следующем виде:∂ 2X1∂ 2X2∂ 2Xi = p1 ·+ p2 ·,hp,∂ψ 2∂ψ 2∂ψ 2pi ·∂ 2Xi∂=(pi · Xiψ ) − piψ · Xiψ ,∂ψ 2∂ψi = 1, 2,∂ 2X∂hp,i=(p1 · X1ψ + p2 · X2ψ ) − hpψ , Xψ i = −hpψ , Xψ i.∂ψ 2∂ψ2Из таких же соображений получаем выражение для производной hp, ∂∂αX2 i:∂∂ 2Xi=(p1 · X1α + p2 · X2α ) − hpα , Xα i = −hpα , Xα i.hp,∂α2∂αДалее распишем выражение 2 ·pi ·∂2X∂ψ·∂α :∂∂∂ 2Xi=(pi · Xiα ) − piψ · Xiα =(pi · Xiψ ) − piα · Xiψ ,∂ψ · ∂α ∂ψ∂αi = 1, 2,∂ 2X∂∂hp,i=hp,Xi+hp, Xψ i − hpψ , Xα i − hpα , Xψ i = −hpψ , Xα i − hpα , Xψ iα∂α2∂ψ∂αС учетом последних соотношений распишем скалярное произведение в выражении (3.17) для фазы:22P1α· hpψ , Xψ i + P1ψ· hpα , Xα i − P1ψ · P1α · hpψ , Xα i − P1ψ · P1α · hpα , Xψ i == X2α · P1ψ · (P1ψ · P2α − P1α · P2ψ ) − X2ψ · P1α · (P1ψ · P2α − P1α · P2ψ ) == −J · (P1ψ · P2α − P1α · P2ψ ).62После этого фазу можно записать в виде:Φ = hp, x − X(ψ 0 , t)i +(x2 − X2 (ψ 0 , t))2· (P1ψ · P2α − P1α · P2ψ ).2·J(3.18)В выражении (3.18) стоят производные по переменной α, которые, можно выразить через производные по времени, по переменной ψ и через импульс P .Поскольку все вектора (Pα , Xα ), (Pψ , Xψ ), (P, 0) являются решениями системыуравнений в вариациях (3.11), тоPαXα=Ṗ·a+ẊPψXψ·b+P0 · c.Рассмотрим это выражение при t = 0, α = 0.

C учетом системы Гамильтона (2.4) и начальных условий p|t=0 = n0(ψ), x|t=0 = n0 (ψ) · α, имеемṖ 0t=0,α=0= −∇C ,˙Xt=0,α=0= n0 (ψ)·C 0,Pα |t=0,α=0 = 0,Pψ |t=0,α=0 = n0ψ ,Xψ |t=0,α=0 = 0,Xα |t=0,α=0 = n0(ψ).Далее00n (ψ)=a=1,C0−∇C00n (ψ) · C0·a+n0ψ0·b+0n (ψ)0∇C 00 = − 0 + n0ψ · b + n0 (ψ) · c,Cb=1h∇C 0 , n0ψ i,0Cc= · c,1h∇C 0 , n0(ψ)i.0CТеперь в (3.18) подставим вместо P1α , P2α , X2α их выражения через P , Ṗ ,Pψ , Ẋ, Xψ . Получится:63Φ = hP, x − Xi −(x2 − X2)2 a · (P1ψ Ṗ2 − Ṗ1 P2ψ ) + c · (P1ψ P2 − P1 P2ψ )·,2a · (P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ ) − c · P1 X2ψоткуда следует ответ (3.3) для фазы Φ(x2 − X2 )2 (P1ψ Ṗ2 − Ṗ1 P2ψ ) + h∇C 0, n0(ψ)i · (P1ψ P2 − P1 P2ψ )Φ = hP, x − Xi −·.2(P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ ) − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψЗдесь P = P (ψ, t), X = X(ψ, t).

Теперь можно написать ответ для функции∗ηas:∗ηas= Re×Z∞ Z∞0 −∞(rπ1I ∗· e−i 2 ·Ind (r )2·π√ρ · |P1ψ | · C 0q|(P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ ) − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψ |i· µρ ·Φ×A|α=0 · e(ψ) · eПервая часть теоремы доказана.iodψ · dρ + O(µ) .2). Интеграл (3.2) можно упростить, взяв в качестве η 0 (z) функцию (2.3).Амплитуда A для источника (2.3) имеет видs−ρ·β(ψ−θ)|P | · C 0a·eA|α=0 =·· C(X, t).2 · C0C(X, t)Подставив, теперь, амплитуду A в (3.2) можно вычислить следующий интегралпо переменной ρZ∞0iρe−β+ µ Φ dρ = β−1iµ·Φ2 .После этого получаем формулу для возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фокальной точки:pZ∞ π|P|·|P | · C(X, t) · e(ψ)a∗1ψ∗rηas= √ · Re e−i 2 Ind(r ) ·2 2π00−∞P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ − h∇C , n (ψ)i · P1 X2ψ 64Теорема доказана.dψ×2 .iβ(ψ) − µ · Φ Глава 4Асимптотическое решениепри малых временахАсимптотическое решение задачи (2.1), (2.2) было построено в работах [30],[34] и задается интегрированием от канонического оператора Маслова.

При малых временах это выражение представляет собой двойной интеграл, потому чтоначальное лагранжево многообразие не проектируется диффеоморфно на плоскость (x1, x2). С другой стороны малые времена представляют интерес, потомучто при малых временах происходит зарождение волны цунами, волна имеетдостаточно большую амплитуду и ее можно наблюдать. Поэтому в данной работе на временах t ≤ T · µ мы исследуем и упрощаем формулы, задаваемыеканоническим оператором Маслова. Для источников специального вида получены явные формулы.Теорема: 1).

Главный член в асимптотике решения задачи (2.1), (2.2) приt ≤ T · µ, где T > 0 — константа, имеет вид 2π ∞Z Z h1η(x, t) = √ · Re2 2π00ρρ · Ṽ (ρn(ψ)) · ei µ ·(hn(ψ),xi−C(0)·t−h∇C(0),xi·t)65idψdρ66(4.1)+O(µ) + O(t).2). Для источника (2.3) справедлива формула 2πZ1dψη(x, t) = √ · Re+ (β(ψ) − µi · (hn0 (ψ), xi − C(0) · t − h∇C(0), xi · t))22 2π0(4.2)+O(µ) + O(t).Доказательство теоремы1). В работе [34] было сформулировано утверждение о том, что асимптотическое решение задачи (2.1), (2.2) в особых картах с координатами (p1, x2)определяется формулой:η(x, t) = Re−i π2 ·Ind(r∗)e1· √ ·2 2πZ∞ Z∞ "0 −∞ρ|P1ψ |p· Ṽ (ρn(ψ)) · e(ψ)|P1α X2ψ − P1ψ X2α |i µρ (hP (ψ,t),x−X(ψ,t)i)×eidψdρ + O(µ)oПри малых временах для X и P справедливы формулыXP=α · n(ψ)n(ψ)+t·C(α · n(ψ)) · n(ψ)−∇C(αn(ψ))Поэтому c точностью до O(t) имеемP1α X2ψ − P1ψ X2α = sin2 ψ, + O(t).(4.3)P1ψ = sin ψ.Аналогичное представление решение η(x, t) будет иметь в картах с координатами (x1, p1).

В них якобиан будет иметь вид:X1α P2ψ − X1ψ P2α = cos2 ψ,67а в числителе будет стоять |P2ψ | = | cos ψ|. Далее, при вычислении показателяэкспоненты с точностью O(t) имеемhP (ψ, t), x − X(ψ, t)i = hn(ψ), xi − C(0) · t − h∇C(0), xi · t.Поскольку решение рассматривается при малых временах, когда на фронте отсутствуют фокальные точки, за исключением фокальной точки в момент времени t = 0, то величина Ind(r∗) = 0. Далее сумма по картам пропадает, таккак фаза в каждой карте определяется одной и той же формулой, а корни изякобианов сокращаются с соответствующими производными |Pkψ |, k = 1, 2,. Витоге получаем формулу (4.1).2). Подставляем источник вида (2.3) в интеграл (4.1), и, интегрируя по частям, получаем, чтоZ∞01iρ · eρ(−β+ µ Φ) dρ =(β −iµ· Φ)2,где Φ = hn(ψ), xi − C(0) · t − h∇C(0), xi · t.