Автореферат докторской диссертации (Динамика нелинейных уединенных волн и эффективность параметрического взаимодействия в фотонных кристаллах), страница 3

В случае точного выполнения условия Брэггаd = λ функции exp( ±ikxi ) = 1 и после усреднения по пространственной области∆Vd 3 , где d − период решетки, при условии, что характерное время измененияамплитуд полей τd / c , уравнения (1) записываются в континуальном пределе ввиде∂Ω ± ( x, t ) ∂Ω ± ( x, t )±c+= τ c−2 P ( x, t ),∂x∂t∂P ( x, t )= n( x, t )[Ω + ( x, t ) + Ω − ( x, t )],∂t∂n( x, t )= − P ( x, t )[Ω + ( x, t ) + Ω − ( x, t )].∂t12(2)С помощью решения уравнений Блоха из (2) получено полностью интегрируемоеуравнение СГ в релятивистски инвариантной форме для блоховского углаtθ ( x, t ) = ∫ [Ω + ( x, t ') + Ω − ( x, t ')]dt ' :−∞∂ 2θ ∂ 2θc− 2 = 2τ c−2 sin θ .2∂x∂t2Его многосолитонные решения θ ( n ) определяют динамику распространения ивзаимодействия произвольного числа БС и бризеров в линейно запрещеннойфотонной зоне шириной ∆ωB = 2 2 / τ c :1  ∂θ ( n )∂θ ( n ) Ω ( x, t ) = ∓c,∂x 2  ∂t±(3)P( x, t ) = − sin θ ( n ) , n( x, t ) = − cosθ ( n ) .ПодробнорассмотреныструктураисвойстваодиночногоБСсамоиндуцированной прозрачности (СИП), проведено сравнение с солитоном СИП всплошной среде.

Брэгговский солитон включает в себя две встречные блоховскиеволны с противоположными знаками амплитуд и когерентно возбужденныерезонансные атомы:Ω ± ( x, t ) = ±c±v x − vt sec h ,vτ vτ  x − vt n( x, t ) = −1 + 2sec h 2 , vτ  x − vt   x − vt P ( x, t ) = −2sec h  th . vτ   vτ Скорость БС v = c / 1 + 2τ 2 / τ c2может принимать нулевые значения, тогдапротяженность импульса vτ ( v = 0) = cτ c / 2 , где τ - его длительности. Энергия БСвыражается формулой для релятивистской частицы W = W0 / 1 − v 2 / c 2 , где W0 энергия стоячего солитона, и может превышать энергию солитона в сплошной средепри тех же средних параметрах структуры в2τ / τ c1 раз. В структуре с числомпериодов ≥ 300 и с параметром взаимодействия τ c = 0.3 пс при τ = 0.4 пс,13λ = 800 нм формируется БС СИП интенсивностью 3 МВт/см2 , что на три порядкаменьше, чем в случае БС в среде с кубической нелинейностью.Путем численного интегрирования уравнений (1) методом характеристикпроведеномоделированиепроцессанелинейнойбрэгговскойдифракциивограниченном РФК.

Показано, что при достаточно большой площади падающегоимпульса, превышающей пороговое значение, которое в свою очередь линейнозависит от длительности импульса, наблюдается нелинейное подавление полногобрэгговскогоотраженияпадающегоизлученияотграницыструктурыиформирование в РФК брэгговского солитона СИП.В § 2.3 исследованы стационарные нелинейные уединенные волны в РФК снеоднородно уширенной спектральной линиейg (∆ω ) и в случае слабогоотклонения от точного условия Брэгга, что важно для оценки параметров ивозможности наблюденияБС в реальных твердотельныхструктурах.

Длясоответствующих двухволновых уравнений Максвелла-Блоха∞∂Ω ± ( x, t ) ∂Ω ± ( x, t )±+= ∫ P ( x, t , ∆ω ) g (∆ω )d ∆ω ,∂x∂t−∞∂P ( x, t , ∆ω )+ iτ c ∆ω P( x, t , ∆ω ) = n( x, t , ∆ω ) Ω + ( x, t ) + Ω − ( x, t )  ,∂t∂n( x, t )= − Re P* ( x, t , ∆ω ) Ω + ( x, t ) + Ω − ( x, t )  ,∂t{}получено решение в виде фазово-модулированного БС СИПv ±1exp ( iα 2τϕ ) sec hϕ ,vτP( x, t , ∆ω ) = [ β (∆ω )sec hϕ thϕ − iσ (∆ω )sec hϕ ] ei (α1x −α 2t ) ,Ω± =n( x, t , ∆ω ) = −1 + 2ξ (∆ω )sec h 2ϕ ,где ∆ω = ω − ω0 - разность частот резонансного перехода атомов ω и частотыизлучения ω0 ; ϕ = ( x − vt ) / vτ ; v −2 = 1 + 2τ 2∫∞−∞ξ (∆ω ) g (∆ω )d ∆ω ; α1 = α 2 / v ;.−1ξ (∆ω ) = 1 + (α 2 − τ c ∆ω )2τ 2  ; β (∆ω ) = −2ξ (∆ω ); σ (∆ω ) = 2τ (α 2 − τ c ∆ω )ξ (∆ω );∫∞−∞(2α 2 − τ c ∆ω )ξ (∆ω ) g (∆ω )d ∆ω = 0 .

Здесь и нижеx, t , v,τ - безразмерныекоординаты и параметры в единицах cτ c ,τ c , c,τ c соответственно. На примере14гауссовой формы линии показано, что неоднородное уширение приводит кувеличению скорости БС.В случае малого отклонение от точного брэгговского условия для периодарешетки d = (1 + ε )λ , ε1 , уравнения (1) принимают следующий вид∂Ω ± ( x, t ) ∂Ω ± ( x, t )±= P( x, t )exp(−iγ x),∂t∂x∂P ( x, t )= n( x, t )[Ω + ( xi , t )exp(iγ x) + Ω − ( x, t )exp(−iγ x)],∂t∂n( x, t )= − Re{ P* ( x, t )[Ω + ( x, t )exp(iγ x) + Ω − ( x, t )exp(−iγ x)]}.∂tНайдено решение для фазово-модулированного БС:v ±1exp {iγ [τϕ / 2 ∓ ( x ∓ t ) ]} sec hϕ ,vτ2n = −1 +sec h 2ϕ ,2 21+τ γ / 41P=exp ( iγτϕ / 2 )( −2sec hϕ thϕ + iγτ sec hϕ ) ,1 + τ 2γ 2 / 4Ω± =распространяющегося со скоростью v = [1 + 2τ 2 /(1 + τ 2γ 2 / 4)]−1/ 2 , зависящей отпараметра отстройки от брэгговского условия γ = 2π cτ cε / λ1 .

Путем численногомоделирования показана неустойчивость фазово-модулированных БС при ихраспространении,обнаруженсолитоноподобногоимпульсапереходкотнестационарномустационарнойрежимудинамикираспространенияосциллирующего квазиустойчивого импульса.В § 2.4 исследован процесс генерации нелинейных уединенных волн присверхизлучении в фотонном кристалле. Возникновение сверхизлучательногоколлективного состояния объясняется фазировкой отдельных первоначальнонекогерентно возбужденных осцилляторов в процессе спонтанного излучения. Длястрогого рассмотрения начальной стадии процесса сверхизлучения необходимоиспользовать квантовое описание поля и среды, однако основные особенностидинамики и характеристики сверхизлучения можно получить и в полуклассическомприближении при условии адекватного выбора модели начальной стадии процесса.15Полуклассическое описание позволяет также учитывать влияние пространственнойнеоднородности излучения и возбуждения среды на динамику излучения, форму ихарактеристики импульса сверхизлучения.

Численное интегрирование уравнений (1)выполнено при следующих стохастических начальных и нулевых граничныхусловиях: P ( xi ,0) = − sin θ 0 exp(iϕi ), n( xi ,0) = − cos θ 0 , Ω ± ( x,0) = Ω + (0, t ) = Ω − (l , t ) = 0.Начальный блоховский угол принимался равным θ 0 = π + 2 / N 1/ 2 , где N – полноечисло излучателей в системе, а стохастический начальный дипольный момент атомаP( xi ,0) задается независимо для каждого i-ого слоя резонансных атомов случайнымвыбором фазы диполя ϕi из интервала значений [0,2π].

Показано, что результатомэволюции первоначально некогерентно возбужденного протяженного РФК являетсянетривиальное двухсолитонное устойчивое когерентное состояние возбужденнойсреды и поля – стоячий брэгговский бризер, который описывается выражениями (3),где θ (2) ( x, t ) - бризерное решение для двух связанных солитонов уравнения СГ.Третьяглавапосвященаисследованиюдинамикинестационарныхсолитоноподобных волн в РФК.В § 3.1 проведен нелинейный анализ устойчивости БС по отношению квозмущению амплитуд его блоховских волн.

Показано, что если в начальный моментвремени импульс имеет амплитуды блоховских волн близкие, но не равные точнымзначениям для БС, то начальная задача для двухволновых уравнений МаксвеллаБлоха в реальных функциях сводится к задаче для модифицированного уравненияСГθ xx − θtt = 2sin θ + f x ( x),где функция отстройки от точного БС f ( x) = Ω + ( x, 0) − Ω − ( x, 0) + θ x ( x, 0) есть инвариантдвижения и определяется начальными условиями.

Методом интегралов движенияполучено уравнение движения для координаты ξ (t ) центра солитоноподобногоимпульса в виде уравнения Ньютона ξtt = −U ξ для квазичастицы единичной массыс потенциальной энергией взаимодействия U = (1/ 2)∫∞−∞sech( 2 x − ξ ) f ( x)dx .Проведенный анализ показал, что возмущенный БС эволюционирует к точному БС,если разность амплитуд блоховских мод импульса в начальный момент времени16больше, чем у точного БС.

Если же эта разность меньше точного солитонногозначения, то при малой скорости импульса его энергии может быть не достаточнодляформированиястационарногоБС,распространяющегосяспостояннойскоростью в линейно запрещенной фотонной зоне. Тем не менее, такие импульсы нераспадаются, а формируют новый класс нестационарных уединенных нелинейныхволн, близких по форме к БС, плененные структурой и осциллирующие вблизивозмущения f ( x ) с нулевой средней скоростью. В приближении малых скоростейξt1 получено аналитическое решение для плененного БС, которое хорошосогласуется с результатами прямого численного интегрирования. Наличие такихнелинейныхуединенныхволнявляетсяспецифическойособенностьюпериодических нелинейных структур с фотонными запрещенными зонами.Неупругое взаимодействие плененных и свободных БС позволяет осуществлятьобмен энергией импульсов, отражение и ускорение БС.В результате численного решения граничной задачи предсказаны эффектызадержанного отражения и задержанного прохождения импульсов, когда падающеена структуру излучение формирует почти стоячий возмущенный БС вблизи границыструктурыичерезнекотороевремязадержкилибоотражается,либораспространяется в глубь среды в виде точного БС.