Автореферат докторской диссертации (Динамика нелинейных уединенных волн и эффективность параметрического взаимодействия в фотонных кристаллах), страница 4

Обнаружена экспоненциальнаязависимость времени задержки от амплитуды падающего импульса.В § 3.2 исследовано взаимодействие БС с локализованным слабым линейнымстатическим возбуждением в РФК, которое состоит из стоячей волны полейблоховских мод малой амплитуды и слабо когерентно возбужденных атомов ивозникает, например, вблизи границы структуры при формировании БС внешнимпадающим импульсом. Получены аналитические выражения для амплитуд полей иполяризации атомов в таком локализованном возбужденииΩ + ( x ) = −Ω − ( x ) = [ε 0 sec h( 2 x ) − θ x ( x )]/ 2 , P( x ) = −θ ( x ) ,θ ( x) =где ε 0ε02{}2 x c h( 2 x ) − sh( 2 x ) ln[2 ch( 2 x )] ,1 .

Энергия взаимодействия БС с линейным возбуждением определяетсяинтегралом перекрытия функций разности амплитуд полейΩ = Ω+ − Ω−иинварианта движения Ω( x, t ) + θ x ( x, t ) и может превышать кинетическую энергию17медленного БС-квазичастицы ξt2 / 2 . Тогда при ε 0 > 0 наблюдается отражение БС cΩ > 0 (антикинка) и притяжение кинка ( Ω < 0 ) слабым возбуждением, чтоподтверждается прямым численным интегрированием уравнений (1). Посколькудвухволновые уравнения Максвелла-Блоха при наличии ненулевого линейноговозбуждениянеявляютсяполностьюинтегрируемымиисводятсякмодифицированному уравнению СГ, то при малых скоростях распространениявзаимодействие двух солитонов в области линейного возбуждения становитсянеупругим.

Кинк отталкивается от притягивающей его потенциальной ямы пристолкновении с антикинком, а незначительное увеличение величины ε0 проводит кзахвату кинка линейным возбуждением и к появлению осциллирующего БС.Взаимодействие медленных БС с возмущениями, отличными от линейныхлокализованных мод, также позволяют управлять динамикой БС. В качествепримера численно исследовано взаимодействие двух БС в области некогерентновозбужденных резонансных атомов. Взаимодействие одиночного БС (как для кинка,так и для антикинка) с таким возмущением вызывает его притяжение.

Привстречном неупругом столкновении двух антикинков в области несимметричнойинверсии атомов один из БС ускоряется, а другой захватывается возмущением.Аналогичная динамика имеет место и при столкновении кинка с антикинком вобласти симметричной слабой некогерентной инверсии. Сделан вывод, что в РФКимеется возможность эффективного управления динамикой мощных импульсов БСпосредством слабого локализованного возбуждения резонансных атомов, то есть засчет формирования неразрушающих структуру дефектов.В § 3.3 решена задача о возбуждении внутренних линейных мод в стоячем БССИП c возмущенными профилями огибающих прямой и обратной блоховских волн ипоказано, что возможно одновременное возбуждение двух близких по формевнутренних мод на малой и нулевой частотах. Найдены выражения для полей,инверсии, поляризации и частоты осцилляций внутренних мод.

Аналитически ичисленно показано, что в результате биений этих мод возникает периодическийобмен энергией между полями внутренних мод и резонансной подсистемойдвухуровневых атомов, который вызывает осцилляции инверсии атомов в БС. Далее,в § 3.4, решение обобщается на случай медленно движущегося солитона. Такойсолитон уже испытывает возмущение не только за счет деформации профиля, но и18вследствие осцилляций инверсии при биениях внутренних мод, что приводит кбольшим осцилляциям амплитуды, поляризации и скорости импульса. Подобнаядинамиканелинейнойуединеннойволныхарактернадлязумерона,илиосциллирующего солитона, распространяющегося с ненулевой средней скоростью.Для подтверждения того факта, что предложенное пробное аналитическое решениедля зумероноподобного импульсаΩ + + Ω − = (4v (t ) / β 1 − v 2 )sec hψ + iεω sin(ω t )sec hψ ,Ω + − Ω − = (4 / β 1 − v 2 )sec hψ − i (εβ / 1 − v 2 )(cos ω t + ϕ 0 )sec hψ thψ ,n = ( −1 + 2sec h 2ψ )(1 − (1/ 2)ε 2 (cos ω t + ϕ 0 ) 2 sec h 2ψ ) ,(4)P( x, t ) = −2sec hψ thψ + iε ( −1 + 2sec h 2ψ ) (cos ω t + ϕ 0 )sec hψблизко к истинному, а также для демонстрации его устойчивости проведено прямоечисленное интегрирование исходных уравнений, где в качестве начальных условийвыбиралось аналитическое решение (4).

Здесь ψ = β ( x − ξ (t )) / 1 − v 2 ; β = 2 − α ;ε , α ,ω1 . Показано, что полученная при этом пространственно-временнаядинамика инверсии, поляризации и полей солитонных составляющих решения ивнутренних мод соответствуют аналитическим выражениям (4). Интеграл движения∞Q = ∫ Ω dx−∞осциллирующегоимпульса,полученногопричисленноммоделировании, удовлетворяет неравенству Q < 2π , что также соответствуетаналитическому результату Q = 2π + απ , α < 0 . На начальном этапе эволюциирешения существует слабое излучение, однако потери энергии при этом весьмамалы, порядка 0.05% энергии импульса, что свидетельствует о близости пробногорешения к истинному. С помощью интеграла энергии найдена зависимость скоростизумероподобного импульса от времени.Глава 4 посвящена исследованию динамики нелинейных уединенных волнпри неколлинеарной геометрии взаимодействия в РФК и в случае произвольногопрофиля пространственного распределения концентрации резонансных атомов.В § 4.1 описана модель трехмерного дискретного РФК в виде периодическирасположенных в линейной матрице малых областей (резонансных доменов)содержащих примесные двухуровневые атомы.

Развита нелинейная динамическая19теория двухволновой брэгговской дифракции в общем случае выполнениявекторного условия Брэгга. Из волнового уравнения Максвелла и уравненийдвижения для матрицы плотности двухуровневой системы получены следующиеобобщенные двухволновые уравнения Максвелла-Блоха∂E0k 2 ∂E0 2π ik 2k0 +=Ps ,∂rω ∂tε∂Ehk 2 ∂Eh 2π ik 2kh +=Ps ,∂rω ∂tεdPsi= − µ 2 ( E0 + Eh ) ρ ,dtd ρ 2i*= ( E0 + Eh ) Ps − ( E0 + Eh )* Ps  ,dt(5)где E0, Eh и Ps – медленно меняющиеся во времени и в пространстве огибающиекомплексных амплитуд падающей и дифрагированной волн и поляризации среды,обусловленной резонансными атомами; k 0,h - волновые вектора падающей идифрагированной волн, k h = k 0 + H , H - вектор обратной решетки; k ≡ k0 = kh ;ρ(r,t) – плотность инверсии атомов; ε - диэлектрическая проницаемость линейнойматрицы. Система уравнений (5) сводится в коллинеарном пределе к уравнениям (2),полученным выше для этого случая, однако существует и принципиальноекачественное отличие этих систем: уравнения (5) позволяют решать более общиепроблемы нелинейной дифракции в РФК за счет использования не только схемыдифракции в геометрии Брэгга (на отражение), но и в геометрии Лауэ (напрохождение).В § 4.2 рассмотрена динамика нелинейных уединенных волн в РФК вусловиях брэгговской дифракции по схеме Лауэ, когда полное брэгговскоеотражение на границе отсутствует, а дифрагирующие волны связываются благодарябрэгговскому отражению от кристаллографических плоскостей внутри структуры.

Вчастном случае однородности амплитуд полей по y-координате вдоль вектораобратной решетки, ∂Ω 0,h / ∂y = 0 , найдено решение уравнений (5) для четырехблоховских мод, описывающее нелинейный эффект Бормана. Две бормановскиемоды являются решениями линейного уравнения c cosη (Ω0 − Ω h ) x + (Ω0 − Ω h )t = 0 ,20где Ω 0,h = 2( µ / ) E 0,h , Ω0 + Ω h = 0 , η - угол между волновыми векторами и xкоординатой вдоль кристаллографических плоскостей.

Эти волны имеют минимумыамплитуд на кристаллографических плоскостях, сформированных из резонансныхдоменов, поэтому эффективно с ними не взаимодействуют и распространяются каклинейныебормановскиеволны.Параантибормановскихмодописываются−2нелинейным уравнением СГ в нерелятивистской форме c cosηθ xt + θtt = −2τ c sin θ ,аналогичнымслучаюСИПtθ ( x, t ) = ∫ [Ω0 ( x, t ') + Ω h ( x, t ')]dt ' ,−∞всплошнойΩ0 − Ω h = 0 .среде,гдеАнтибормановскиемодыформируют Лауэ-солитонΩ0 = Ω h = τ −1 sech[( x − vt ) / vτ ] ,n = −1 + 2sec h 2 [( x − vt ) / vτ ] ,распространяющийся со скоростью v = c cosη /(1 + 2τ 2 / τ c ) вдоль нормали к2вектору обратной решетки.

Представленные результаты численного интегрированияуравнений(5)сграничнымиусловиямиввидеодиночнойволны′Ω0 ( x = 0; y, t ) = Ω0 ( y ) sech(t − t0 / τ 0 ) подтверждают аналитические результаты. Вструктуре возбуждаются два импульса: быстрый линейный, движущийся соскоростьюc cosηбезвозбуждениясреды,имедленныйЛауэ-солитонсамоиндуцированной прозрачности.В § 4.3 рассмотрены особенности динамики БС при неколлинеарнойгеометрии взаимодействия волн. Показано, что появление дополнительногосвободного параметра, угла дифракции η , дает возможность уменьшить скоростьраспространения импульса при сохранении неизменными его длительности иамплитуд блоховских мод. Таким образом, использование неколлинеарной схемыдифракции позволяет изменять скорость БС не только за счет изменениясоотношения амплитуд блоховских мод (или длительности импульса), но и за счетизменения параметров структуры, которые определяют угол дифракции η ,например, периода.

Это весьма существенно с точки зрения управления динамикойБС, так как именно медленный солитон может быть легко остановлен, захвачен илиотражен возмущением. Численно показана возможность формирования решеткистоячих БС.21В § 4.4 проведено обобщение результатов нелинейной теории брэгговскойдифракции на широкий класс структур в виде непрерывных РФК, у которыхфункция пространственного распределения концентрации резонансных атомовпредставляетсобойнедискретнуюрешетку,адостаточнопроизвольнуюнепрерывную функцию. Совершенные непрерывные РФК с большим числомпериодов могут быть изготовлены методом фотополимеризации при наличии врастворе мономеров наночастиц, содержащих примесные резонансные атомы. Дляописания взаимодействия лазерного излучения с такими структурами полученасистема самосогласованных двухволновых уравнений Максвелла-Блоха, которая вчастном случае модуляции концентрации резонансных атомов по гармоническомузакону сводится к следующей точно интегрируемой системеΩt+ ( x, t ) + Ω +x ( x, t ) = (1/ 4) P + ( x, t ) + (1/ 2) P − ( x, t ),Ωt− ( x, t ) − Ω −x ( x, t ) = (1/ 2) P + ( x, t ) + (1/ 4) P − ( x, t ),Pt ± ( x, t ) = n( x, t )Ω ∓ ( x, t ),nx ( x, t ) = − Re  P −* ( x, t )Ω + ( x, t ) + P +* ( x, t )Ω − ( x, t )  ,где P ± ( x, t ) = P( x, t ) e± ikxλ.