Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс

Московский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваФизический факультетНа правах рукописиСоболевский Андрей НиколаевичДинамика и сингулярностив моделях инерционного переноса масс01.01.03 – Математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква – 2013Работа выполнена в Институте проблем передачи информацииим. А. А. Харкевича Российской академии наукОфициальные оппоненты:Д.ф.-м.н., академик РАН, гл.

науч. сотр. ИТФ им. Л.Д. Ландау РАНСинай Яков ГригорьевичД.ф.-м.н., вед. науч. сотр. ИТПЗ РАНЖелиговский Владислав АлександровичД.ф.-м.н., профессор, декан факультета управления и прикладнойматематики МФТИШананин Александр АлексеевичВедущая организация:Математический институт им. В.А.

СтекловаРАНЗащита состоится «»2014 г. вчасов на заседании дис­сертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном универ­ситете им. М. В. Ломоносова, расположенном по адресу: Москва, 119991,Ленинские горы, д. 1, стр. 2, физический факультет МГУ.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультетаМГУ им. М. В.

Ломоносова.Автореферат разослан «»2014 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печа­тью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретарядиссертационного совета.Ученый секретарьдиссертационного советад.ф.-м.н., профессорПоляков П. А.Общая характеристика работыАктуальность работы. Уравнения движения бесструктурной сплош­ной среды — такой, как жидкость, газ или пылевидное вещество в космо­логии — лежат в основе целого спектра моделей математической физики.«Крайними точками» этого спектра являются идеальная жидкость, описыва­емая уравнением Эйлера + ( · ∇) + ∇ = 0 при условии несжимаемости∇ · = 0, и абсолютно сжимаемое (давление = 0) пылевидное вещество,частицы которого движутся по инерции, не испытывая влияния со сторонысоседних частиц.

Согласно известной теореме Я. Бренье (Y. Brenier) 1 , про­извольное смещение элементов сплошной среды в евклидовом пространствеможет быть разложено в композицию двух факторов: отображения, обладаю­щего несжимаемостью (т. е. сохраняющего объемы), и инерционного переносаэлементов массы вдоль векторов некоторого потенциального поля смещений.Оба предельных типа динамики, «несжимаемый» и инерционный, обла­дают богатой геометрической структурой, которую важно изучить с точкизрения их приложений в моделях математической физики. Хорошо извест­но 2 , что уравнение Эйлера может быть переформулировано как движениепо инерции на бесконечномерном искривленном конфигурационном многооб­разии — группе сохраняющих объем диффеоморфизмов SDiff.

В свою оче­редь, модель нелинейного переноса в одномерном случае допускает анало­гичную формулировку над полугруппой монотонных отображений как вы­пуклым подмножеством подходящего функционального пространства (гл. 4настоящей диссертации), а в многомерном случае при условии потенциаль­ности принимает вид уравнения Бернулли или нестационарного уравнения1Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions // Communicationsin Pure and Applied Mathematics. 1991. Vol.

44, no. 4. Pp. 375–417.2Арнольд В. И., Хесин Б. А. Топологические методы в гидродинамике. М.: МЦНМО, 2007. 392 с.1Гамильтона–Якоби + (, , ∇(, )) = 0( ∈ R ),(1)где — потенциал поля импульсов.Глобальные решения этого нелинейного уравнения в общем случае неглад­ки и определены лишь в некотором обобщенном смысле: среди известныхподходов к такому определению, в частности, можно назвать вязкостные ре­шения М. Г.

Крандалла и П.-Л. Лионса (M. G. Crandall, P.-L. Lions)3, 4,минимаксные решения Н. Н. Красовского и А. И. Субботина 5 и др. Если га­мильтониан (, , ) является выпуклым по аргументу , обобщенные реше­ния, определенные каждым из этих способов, совпадают и являются полуво­гнутыми функциями, т. е. представимы в виде разностей вогнутых функцийи подходящих квадратичных форм. Все это обусловливает ту значительнуюроль, которую в данном круге вопросов играют выпуклый анализ и выпуклаягеометрия.Модель нелинейного инерционного переноса массы возникает, в частно­сти, в задачах распространения волн в средах без дисперсии, а также приисследовании возникновения крупномасштабной структуры Вселенной в при­ближении Зельдовича («модель слипания» в теории гравитационной неустой­чивости в космологии) 6, 7 .

Особый интерес представляют вопросы о возмож­3Crandall M. G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc.1983. Vol. 277, no. 1. Pp. 1–42.4Crandall M. G., Ishii H., Lions P.-L. User’s guide to viscosity solutions of second order partial differentialequations // Bull. Amer. Math. Soc. 1992. — July. Vol. 27, no. 1.

Pp. 1–67.5Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспек­тивы динамической оптимизации. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.6Гурбатов С. Н., Малахов А. Н., Саичев А. И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии.Современные проблемы физики. М.: Наука, 1990. 216 с.7Гурбатов С.

Н., Саичев А. И., Шандарин С. Ф. Крупномасштабная структура Вселенной. Прибли­жение Зельдовича и модель слипания // Успехи физических наук. 2012. Т. 182, № 3. С. 233–261.2ности явного построения решений соответствующих уравнений и о структуресингулярностей, возникающих в таких решениях, а также о динамике тече­ния внутри сингулярностей.

Рассмотрению этих вопросов посвящены главы1–4 настоящей диссертации.В последние годы были опубликованы обширные каталоги пространствен­ных координат (красных смещений) галактик8, 9. Вместе с данными много­летних наблюдений тонкой анизотропии реликтового излучения в экспери­ментах WMAP и Planck 10, 11 возник массив данных, обеспечивающих гораздоболее точное определение космологических параметров и более полное опи­сание крупномасштабной структуры распределения масс, чем это было воз­можно раньше.

Тем самым возросла актуальность моделей, позволяющих ин­терпретировать полученные данные и извлекать из них физически значимуюинформацию. В частности, в рамках представленного в диссертации кругаидей был развит метод реконструкции динамической истории формированиякрупномасштабной структуры распределения масс и пекулярных скоростейгалактик, представленный в главе 5.Цели и методы диссертационного исследования. Целью цикла ис­следований, отраженных в диссертационной работе, является математическоеисследование сингулярных решений уравнения Гамильтона–Якоби и некото­рых его аналогов, рассматриваемых как математические модели физическихявлений (формирование крупномасштабной структуры распределения масс82dFGRS Team. The 2dF Galaxy Redshift Survey.

URL: http://magnum.anu.edu.au/~TDFgg/ (датаобращения: 19 января 2013 г.)9SDSS Collaboration. Sloan Digital Sky Survey. URL: http://www.sdss.org/ (дата обращения: 19января 2013 г.)10Wilkinson Microwave Anisotropy Probe. Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP). 2012. URL:http://map.gsfc.nasa.gov/ (дата обращения: 23 января 2013 г.)11European Space Agency.

The Planck Mission. 2013. URL: http://www.esa.int/Our_Activities/Space_Science/Planck (дата обращения: 23 января 2013 г.)3в космологии).Исследование направлено на построение физически естественной дина­мики частиц среды, описываемой уравнением Гамильтона–Якоби и его ана­логами, внутри формирующихся в такой среде сингулярностей, разработкуметода частичного восстановления этой динамики по наблюдаемому распре­делению масс для приложений к обработке астрономических данных, а такжеисследованию структуры стационарных обобщенных решений уравнения Га­мильтона–Якоби и препятствий к их формированию.Этой целью определяется существенное единство диссертационной рабо­ты, которая сочетает аналитические вычисления, исследование математиче­ских проблем механики сплошной пылевидной среды математическими мето­дами (методами теории обобщенных вязкостных решений нелинейных урав­нений в частных производных, теории динамических систем, теории транс­портной оптимизации) и результаты, допускающие сравнение с эксперимен­тальными (наблюдательными) данными (численный метод массового восста­новления смещений и пекулярных скоростей элементов скрытого вещества покрупномасштабным каталогам галактик).Научная новизна и значение результатов.

Диссертация охватыва­ет результаты, полученные диссертантом на протяжении примерно 15 лет.Все выносимые на защиту результаты являются новыми. Кратко охаракте­ризуем их с сегодняшних позиций, останавливаясь также на работах коллег,послуживших источниками и мотивировкой представленных в диссертацииисследований.Результаты, изложенные в гл. 1 и опубликованные в [8, 13], представ­ляют интерес с точки зрения построения обобщенных решений уравненияГамильтона–Якоби, определенных на бесконечных интервалах времени. Гл. 2посвящена исследованию структуры таких решений, удовлетворяющих до­полнительному условию периодичности градиента решения, и аналогичной4конструкции в теории одномерной транспортной оптимизации.Гл.