Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов, страница 3

Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ñêàçàòü, êàêàÿ âåòâü (a èëè b) ïðîõîäèò ñâåðõó (îáðàçóåòïåðåõîä); à êàêàÿ ñíèçó (îáðàçóåò ïðîõîä) (ñì. ðèñ. 1.2). åáðà ïåðåõîäîâèçîáðàæàþòñÿ ñïëîøíûìè ëèíèÿìè, â òî âðåìÿ êàê ïðîõîä èçîáðàæàåòñÿëèíèåé, èìåþùåé ðàçðûâ â ïåðåêðåñòêå.Âñå ïåðåêðåñòêè äèàãðàììû îðèåíòèðîâàííîãî çàöåïëåíèÿ äåëÿòñÿ íàïîëîæèòåëüíûåè îòðèöàòåëüíûå. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â ñëó÷àåäèàãðàììû óçëà çíàê ïåðåêðåñòêà íå çàâèñèò îò îðèåíòàöèè óçëà.Òàêîå èçîáðàæåíèå óçëà íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ïëîñêîé äèàãðàììîéóçëà.Ïëîñêàÿ äèàãðàììà çàöåïëåíèÿ íàçûâàåòñÿ àëüòåðíèðîâàííîé, åñëè ïðèäâèæåíèè âäîëü ëþáîé èç åå êîìïîíåíò ïðîõîäû ÷åðåäóþòñÿ ñ ïåðåõîäàìè.XU¡ ïåðåõîä@@¡¡ @ ïðîõîä¡@èñ.

1.2. Ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà ïåðåêðåñòêàÏðîñòåéøèå ïðèìåðû êëàññè÷åñêèõ óçëîâ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.3.èñ. 1.3. Ïðîñòåéøèå óçëûÏåðâûå äâå äèàãðàììû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òðèâèàëüíûé óçåë; íà òðåòüåé äèàãðàììå èçîáðàæåí òðèëèñòíèê, íà ÷åòâåðòîé äèàãðàììå âîñüìåðêà. Âñå ýòè äèàãðàììû ÿâëÿþòñÿ àëüòåðíèðîâàííûìè.Íà ðèñóíêå 1.4.1. èçîáðàæåíî òðèâèàëüíîå çàöåïëåíèå èç äâóõ êîìïîíåíò. Íà ðèñóíêàõ 1.4.2, 1.4.3 è 1.4.4 èçîáðàæåíû çàöåïëåíèå Õîïà, çàöåïëåíèå Óàéòõåäà è êîëüöà Áîððîìåî ñîîòâåòñòâåííî.

Âñå ýòè òðè çàöåïëåíèÿ íå òðèâèàëüíû.1.1. Ââåäåíèå12èñ. 1.4. Ïðîñòåéøèå çàöåïëåíèÿÍàçîâåì äóãàìè äèàãðàììû êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè äèàãðàììû (ïðè ýòîìâåòâü ïðîõîäà ïðåäïîëàãàåòñÿ ðàçðûâíîé, êàê è èçîáðàæàåòñÿ íà ðèñóíêàõ).×åòûðåõâàëåíòíûé ãðà ïðîåêöèè áåç óêàçàíèÿ ñòðóêòóðû ïðîõîäîâ èïåðåõîäîâ íàçûâàåòñÿ òåíüþ óçëà. Ñëîæíîñòüþ óçëà íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàìì óçëîâ çàäàííîãî èçîòîïè÷åñêîãî òèïà. Áóäåì äàëåå íàçûâàòü äèàãðàììó çàöåïëåíèÿ ñâÿçíîé, åñëèòàêîâîé ÿâëÿåòñÿ åå òåíü.  ÷àñòíîñòè, ñâÿçíîé ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ äèàãðàììàëþáîãî óçëà. 1932 ãîäó íåìåöêèé òîïîëîã Êóðò åéäåìåéñòåð [Rei℄ ïðèâåë ñïèñîêëîêàëüíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïåðåñòðîåê (ïðåîáðàçîâàíèé åéäåìåéñòåðà, èçâåñòíûõ íûíå êàê äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, ñì. ðèñ. 1.5) è äîêàçàë, ÷òî ëþáûå äâå ïëîñêèå äèàãðàììû çàäàþò îäíî è òî æå çàöåïëåíèå òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà îíè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äðóã èç äðóãà êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ýòèõ äâèæåíèé, à òàêæå ïëîñêîé èçîòîïèè ïðåîáðàçîâàíèÿäèàãðàììû ïîñðåäñòâîì äèåîìîðèçìà ïëîñêîñòè íà ñåáÿ, ñîõðàíÿþùåãî îðèåíòàöèþ ïëîñêîñòè.

Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü èçîòîïè÷åñêèåêëàññû óçëîâ êàê êîìáèíàòîðíûå îáúåêòû: îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êëàññûýêâèâàëåíòíîñòè ïëîñêèõ äèàãðàìì ïî äâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà.Äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ÿâëÿþòñÿ îòïðàâíîé òî÷êîé äëÿ êîìáèíàòîðíîãî îïðåäåëåíèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñì. äàëåå).Ñ òåõ ïîð äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè òåõ èëè èíûõ óíêöèé íàóçëàõ (çàäàâàåìûõ íà äèàãðàììàõ óçëîâ) îñíîâûâàåòñÿ, êàê ïðàâèëî, íàïðîâåðêå èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.Îäíèì èç íàèáîëåå ðàííèõ èíâàðèàíòîâ â òåîðèè óçëîâ ÿâëÿåòñÿ òîïî-1.1.

Ââåäåíèå13èñ. 1.5. Äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà Ω1 , Ω2 , Ω3ëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò ãðóïïà óçëà.3ðóïïîé óçëà K ⊂ R (îáîçíà÷åíèå π(K)) íàçûâàåòñÿ óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà äîïîëíåíèÿ ê óçëó K , òî÷íåå ãîâîðÿ, ê åãî ìàëîé òðóá÷àòîéîêðåñòíîñòè N (K), à èìåííî, ìû ïîëàãàåì π(K) = π1 (R3 \N (K)).Èçâåñòíî, ÷òî ãðóïïà óçëà ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ñèëüíûì èíâàðèàíòîì: òàê,íàïðèìåð, çíàìåíèòàÿ òåîðåìà Äåíà-Ïàïàêèðüÿêîïóëîñà ([Ïàï℄) óòâåðæäàåò, ÷òî åäèíñòâåííûé óçåë, èìåþùèé ãðóïïó, èçîìîðíóþ ãðóïïå Z, ýòîòðèâèàëüíûé óçåë.Ïî äèàãðàììå óçëà ìîæíî ÿâíî âûïèñàòü íåêîòîðîå êîïðåäñòàâëåíèåãðóïïû óçëà (íîñÿùåå íàçâàíèå êîïðåäñòàâëåíèÿ Âèðòèíãåðà).Êîïðåäñòàâëåíèå Âèðòèíãåðà çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.

àññìîòðèìçàöåïëåíèå L, çàäàííîå íåêîòîðîé ïëîñêîé äèàãðàììîé L̄. àññìîòðèì íåêîòîðóþ òî÷êó x, âèñÿùóþ íàä ïëîñêîñòüþ ïðîåêöèè çàöåïëåíèÿ. Áóäåìêëàññèèöèðîâàòü ãîìîòîïè÷åñêèå êëàññû ïåòåëü â R3 \N (K), èñõîäÿùèõ1.1. Ââåäåíèå14q¦¦¦½¦½¦½ ¦½ ¾¾¦½½½½èñ. 1.6. Ïåòëè, ñîîòâåòñòâóþùèå ðåáðàìèç äàííîé òî÷êè.  êà÷åñòâå îáðàçóþùèõ ýëåìåíòîâ ìîæíî âûáðàòü ñëåäóþùèå. àññìîòðèì ïåòëè, èñõîäÿùèå èç òî÷êè x è çàöåïëÿþùèå äóãè äèàãðàììû L̄ îäèí ðàç â íàïðàâëåíèè, çàäàííîì ïðàâèëîì áóðàâ÷èêà (êàæäàÿòàêàÿ ïåòëÿ îãðàíè÷èâàåò äèñê, ïåðåñåêàþùèé ðîâíî îäíó äóãó óçëà ðîâíîâ îäíîé òî÷êå), ñì.

ðèñ. 1.6.Ïåðåéäåì òåïåðü ê îïèñàíèþ îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé.åîìåòðè÷åñêàÿ ñâÿçü ìåæäó ïåòëÿìèîáðàçóþùèìè èìååò ñëåäóþùèéâèä (â ñìûñëå ñîîòíîøåíèÿ â ãðóïïå): b = cac−1 , åñëè äóãà c îòäåëÿåò äóãóa îò äóãè b, ñì. ðèñ. 1.7.6bb = cac−1-6aèñ. 1.7. Ñîîòíîøåíèå â ïåðåêðåñòêåÈç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî äàííûé íàáîð ñîîòíîøåíèé ïîðîæäàåò âñå ñîîòíîøåíèÿ â ãðóïïå óçëà.Òàêèì îáðàçîì, êîïðåäñòàâëåíèå Âèðòèíãåðà óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû èìååò ñëåäóþùèé âèä: äóãè ñîîòâåòñòâóþò îáðàçóþùèì, â òî âðåìÿêàê îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ ïðîèñõîäÿò èç ïåðåêðåñòêîâ: ìû ïîëàãàåìcac−1 = b äëÿ ñîñåäíèõ äóã a è b, îòäåëåííûõ äóãîé c, åñëè b ëåæèò ñëåâàîò c îòíîñèòåëüíî îðèåíòàöèè äóãè c.ëàâíûé íåäîñòàòîê ãðóïïû óçëà (çàöåïëåíèÿ) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ãðóï-1.1. Ââåäåíèå15ïû, çàäàííûå ðàçëè÷íûìè êîïðåäñòàâëåíèÿìè, òðóäíî ñðàâíèâàòü.

 îáùåì ñëó÷àå ðàñïîçíàâàíèå ãðóïïû ïî êîïðåäñòàâëåíèþ ÿâëÿåòñÿ íåðàçðåøèìîé ïðîáëåìîé. Òåì íå ìåíåå ãðóïïà óçëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ áîëåå óäîáíûõ (õîòÿ è ìåíåå ìîùíûõ) èíâàðèàíòîâ óçëîâ è çàöåïëåíèéè äîêàçàòåëüñòâà ñòðóêòóðíûõ òåîðåì.Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè ïîëíûì èíâàðèàíòîì óçëîâ, â÷àñòíîñòè, îíà ðàñïîçíàåò ïðîñòûå óçëû: óçåë íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, åñëèîí íå ïðåäñòàâèì â âèäå ñâÿçíîé ñóììû äâóõ íåòðèâèàëüíûõ óçëîâ; îïðåäåëåíèå ñâÿçíîé ñóììû ñì. â ãë.2.

Áîëåå òî÷íî, äâà ïðîñòûõ îðèåíòèðîâàííûõ óçëà èìåþò èçîìîðíûå óíäàìåíòàëüíûå ãðóïïû, åñëè îíè ëèáîèçîòîïíû, ëèáî ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïîñðåäñòâîì çàìåíû îðèåíòàöèèóçëà è/èëè îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà.Åñòåñòâåííûì îðìàëüíûì àëãåáðàè÷åñêèì îáîáùåíèåì óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà èëè êâàíäëà(quandle), ââåäåííîãî íåçàâèñèìî Ñ.Â.Ìàòâååâûì [Ìàò℄ è (íåñêîëüêî ïîçæå) Ä.Äæîéñîì [Joy℄.Èäåÿ ñîñòîèò â çàìåíå ãðóïïîâîãî ñîîòíîøåíèÿ â ïåðåêðåñòêàõ âèäà b =cac−1 îðìàëüíûì ñîîòíîøåíèåì âèäà a ◦ c = b.Äàëåå ìû îïèñûâàåì îðìàëüíûé îáúåêò, îáðàçóþùèìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ äóãè äèàãðàììû, ïîä÷èíÿþùèåñÿ çàäàííûì ñîîòíîøåíèÿì.

Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà èíâàðèàíòíîñòè îáúåêòà, êîòîðûé ìû ñòðîèì, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì íåîáõîäèìûì àêñèîìàì:1. Èäåìïîòåíòíîñòü: a ◦ a = a;2. Íàëè÷èå ëåâîãî îáðàòíîãî: äëÿ èêñèðîâàííûõ b, c ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí ýëåìåíò x, òàêîé ÷òî x ◦ b = c.  ýòîì ñëó÷àå áóäåì ïèñàòüx = c/b.3. Ïðàâàÿ ñàìîäèñòðèáóòèâíîñòü: (a ◦ b) ◦ c = (a ◦ c) ◦ (b ◦ c).Ýòè àêñèîìû îòâå÷àþò ïåðâîìó, âòîðîìó è òðåòüåìó äâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà ñîîòâåòñòâåííî.Ýòîò îáúåêò (òî÷íîå àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ñì.

â ãë. 3) ïîëó÷àåòñÿ áîëåå ñèëüíûì, ÷åì óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà. Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà àêñèîì äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà äëÿ îïåðàöèè a◦b = bab−1 â ãðóï-1.1. Ââåäåíèå16ïå ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòà îïåðàöèÿ óäîâëåòâîðÿåò âñåì àêñèîìàì äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà è îïðåäåëÿåò óíêòîð èç êàòåãîðèè ãðóïï â êàòåãîðèþäèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ, ïðè ýòîì åñòåñòâåííûì ïðîîáðàçîì äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà óçëà ÿâëÿåòñÿ óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà äîïîëíåíèÿê óçëó (ðàññìîòðåííàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðèçìà).Äèñòðèáóòèâíûì ãðóïïîèäàì â òåîðèè âèðòóàëüíûõ è êëàññè÷åñêèõ óçëîâ ïîñâÿùåíà ãëàâà 3 íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè.ëàâíûé îáúåêò òåîðèè Ëóèñà Êàóìàíà (1996) ñì.

[Kau1℄ è èññëåäîâàíèÿ íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè âèðòóàëüíûé óçåë (èëè â ñëó÷àå ìíîãèõ êîìïîíåíò âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé åñòåñòâåííîå êîìáèíàòîðíîå îáîáùåíèå îáû÷íîãî ïîíÿòèÿ óçëà: ââîäèòñÿ íîâûé òèïïåðåêðåñòêà è ïîïîëíÿåòñÿ ñïèñîê äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà. Íîâûé òèïïåðåêðåñòêà (êîòîðûé íàçûâàåòñÿ âèðòóàëüíûì è èçîáðàæàåòñÿ êðóæî÷êîì) íå ñëåäóåò òðàêòîâàòü íè êàê ïåðåõîä îäíîé âåòâè íàä äðóãîé, íèêàê ïðîõîä îäíîé âåòâè ïîä äðóãîé (åãî ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê äèàãðàììàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå íà ïëîñêîñòè äâóõ äàëåêî îòñòîÿùèõ ÷àñòåé óçëà (çàöåïëåíèÿ), ïåðåñå÷åíèå êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ äååêòîì èçîáðàæåíèÿ). Âýòîì ñìûñëå åñòåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé âûáîð îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà: âñå îáû÷íûå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, îòíîñÿùèåñÿ êêëàññè÷åñêèì ïåðåêðåñòêàì, à òàêæå äâèæåíèå îáúåçäà.

Ïîñëåäíåå ñîñòîèòâ òîì, ÷òî âåòâü äèàãðàììû óçëà, ñîäåðæàùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî íåñêîëüêîâèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ, íî íå ñîäåðæàùàÿ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ,ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â ëþáóþ äðóãóþ âåòâü ñ òåìè æå íà÷àëüíîé èêîíå÷íîé òî÷êàìè; íà ìåñòå íîâûõ ïåðåñå÷åíèé è ñàìîïåðåñå÷åíèé ñòàâÿòñÿâèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè, ñì. ðèñ.

1.8.Êëàññè÷åñêèå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà è îáúåçä ñîñòàâëÿþò íàáîð îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.Îïðåäåëåíèå 1.0. Âèðòóàëüíîé(èëè äèàãðàììîé âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ) íàçûâàåòñÿ âëîæåííûé â ïëîñêîñòü ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà ñ êëàññè÷åñêèìè è âèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè.äèàãðàììîéÎïðåäåëåíèå 1.1. Âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå ýòî êëàññ ýêâèâàëåíòíî-ñòè âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì ïî îáîáùåííûì äâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà.Ïîäîáíî êëàññè÷åñêîìó çàöåïëåíèþ, âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå îáëàäàåò1.1.

Ââåäåíèå17èñ. 1.8. Îáúåçäíåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì êîìïîíåíò.Âèðòóàëüíûé óçåë ýòî âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå ñ îäíîé óíèêóðñàëüíîéêîìïîíåíòîé.Êîìïîíåíòû âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ìîæíî îïèñàòü êîìáèíàòîðíî, èñõîäÿ èç âèðòóàëüíîé äèàãðàììû.Ïîä óíèêóðñàëüíîé êîìïîíåíòîé (äèàãðàììû) âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùåå. àññìîòðèì âèðòóàëüíóþ äèàãðàììó L êàê îäíîìåðíûé êîìïëåêñ íà ïëîñêîñòè. ×àñòü ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ýòîãî êîìïëåêñàïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæíîñòè; êàæäóþ òàêóþ êîìïîíåíòó íàçîâåì (óíèêóðñàëüíîé) êîìïîíåíòîé çàöåïëåíèÿ. Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà Γ ñ âåðøèíàìè â êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõïåðåêðåñòêàõ. Óíèêóðñàëüíîé êîìïîíåíòîé äèàãðàììû íàçîâåì òàêæå (ïîìèìî êîìïîíåíò-îêðóæíîñòåé) êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå ðåáåð ãðàà: äâà ðåáðà e, e′ íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåòíàáîð ðåáåð e = e1 , .

. . , ek = e′ è íàáîð âåðøèí v1 , . . . , vk−1 (íåêîòîðûå èçêîòîðûõ, áûòü ìîæåò, ñîâïàäàþò) ãðàà Γ, òàêîé, ÷òî ðåáðà ei , ei+1 ïîäõîäÿò ê âåðøèíå vi ñ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí.×èñëîì çàêðó÷åííîñòè w(L) âèðòóàëüíîé äèàãðàììû íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ïåðåêðåñòêîâìèíóñ êîëè÷åñòâî îòðèöàòåëüíûõïåðåêðåñòêîâ.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò äèàãðàììû çàöåïëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïðè îáîáùåííûõ äâèæåíèÿõ åéäåìåéñòåðà.  êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ýòî îïðåäåëåíèå êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿ ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðèâå-UX1.1.

Ââåäåíèå18äåííûì ðàíåå.Çàìå÷àíèå 1.1.Îòìåòèì, ÷òî òàêîé ïîäõîä ñòàíäàðòíûå äâèæå-íèÿ âíóòðè ëîêàëüíîé åâêëèäîâîé îáëàñòè è äâèæåíèÿ òèïà îáúåçäà áûë èñïîëüçîâàí Í.Êàìàäîé è Ñ.Êàìàäîé [KK℄ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îðìàëüíûõ òåîðèé ìíîãîìåðíûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ è èõ èíâàðèàíòîâ.Ýòî ïîäâîäèò ê ñëåäóþùåé òðàêòîâêå âèðòóàëüíûõ óçëîâ, îïèñûâàåìîéâ òåðìèíàõ ãàóññîâûõ äèàãðàìì.Ïóñòü óçåë K çàäàí îòîáðàæåíèåì f îðèåíòèðîâàííîé îêðóæíîñòè S 1 âòðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî.Îïðåäåëåíèå 1.2.ñîîòâåòñòâóþùåé ïëîñêîéäèàãðàììå (âèðòóàëüíîãî) óçëà K íàçûâàåòñÿ äèàãðàììà, ñîñòîÿùàÿ èçîðèåíòèðîâàííîé îêðóæíîñòè (ñ èêñèðîâàííîé òî÷êîé, êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàçîì ïåðåêðåñòêà), íà êîòîðîé ïðîîáðàçû ïðîõîäà è ïåðåõîäà(äëÿ êàæäîãî êëàññè÷åñêîãî ïåðåêðåñòêà) ñîåäèíåíû ñòðåëêîé, íàïðàâëåííîé îò ïðîîáðàçà ïåðåõîäà ê ïðîîáðàçó ïðîõîäà.