Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов, страница 2

Ââåäåíèå6è êîìïëåêñ Õîâàíîâà. Òàêîå ïîñòðîåíèå ïîòðåáîâàëî ðÿäà íîâûõ èäåé: îðèåíòàöèè è óïîðÿäî÷åíèÿ îêðóæíîñòåé â ñîñòîÿíèÿõ, ñêðó÷åííûõ êîýèöèåíòîâ â àëãåáðå Ôðîáåíèóñà ãîìîëîãèé òðèâèàëüíîãî óçëà, èñïîëüçîâàíèÿ âíåøíèõ ïðîèçâåäåíèé âìåñòî îáû÷íûõ òåíçîðíûõ (ñèììåòðè÷åñêèõ)ïðîèçâåäåíèé.

Êëþ÷åâóþ ðîëü â ïîñòðîåíèè òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâàäëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, â èçó÷åíèè ñâîéñòâ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà, à òàêæåâ äðóãèõ çàäà÷àõ ñûãðàëî ïîíÿòèå àòîìà (ââåäåííîå À.Ò.Ôîìåíêî [F℄ è àêòèâíî èçó÷àåìîå À.Ò.Ôîìåíêî è åãî øêîëîé, ñì. ñáîðíèê [ÔÁØ℄ è ññûëêèâ íåì). Íåçàâèñèìî òî æå ïîíÿòèå àòîìà áûëî îïðåäåëåíî Â..Òóðàåâûì[Tur2℄. Àòîìû è d-äèàãðàììû (îñîáûé âèä õîðäîâûõ äèàãðàìì ñ äâóìÿ ñåìåéñòâàìè íåçàöåïëåííûõ õîðä, ñòð. 163) ñûãðàëè êëþ÷åâóþ ðîëü òàêæå âäîêàçàòåëüñòâå ãèïîòåçû Â.À.Âàñèëüåâà (ãëàâà 8). Òåîðèÿ d-äèàãðàìì ðàçðàáîòàíà àâòîðîì â ðàáîòàõ [Ìàí-2℄, [Ìàí-3℄, [Ìàí-1℄.

îä àòîìà (â äðóãèõèñòî÷íèêàõ íàçûâàåìûé ðîäîì Òóðàåâà) îêàçàëñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîìñâÿçàí íå òîëüêî ñ ãîìîëîãèÿìè Õîâàíîâà, íî è ñ ãîìîëîãèÿìè ÎæâàòàÑàáî, [Low℄.Îïèøåì íåêîòîðóþ îáùóþ òî÷êó çðåíèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò òðàêòîâàòüêëàññè÷åñêèå è âèðòóàëüíûå óçëû åäèíûì îáðàçîì. Êëàññè÷åñêèé óçåë(èëè çàöåïëåíèå) ìîæíî çàäàòü äèàãðàììîé óçëà. Íà äèàãðàììå åñòü ïåðåêðåñòêè è íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìåæäó ñîáîé ëèíèè, ñîåäèíÿþùèå ïåðåêðåñòêè äðóã ñ äðóãîì. Åñëè ðàññòàâèòü íà ïëîñêîñòè ïåðåêðåñòêèïðîèçâîëüíûì îáðàçîì è óêàçàòü, â êàêîì ïîðÿäêå èõ êîíöû ñîåäèíÿþòñÿ äðóãñ äðóãîì, òî èíîãäà ñîåäèíÿþùèå ëèíèè ìîãóò áûòü âûáðàíû íåïåðåñåêàþùèìèñÿ (â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ äèàãðàììà êëàññè÷åñêîãî óçëà), à âíåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óñòàíîâèòü íåïåðåñåêàþùèåñÿ ñîåäèíèòåëüíûå ëèíèèíå óäàåòñÿ ïîëó÷àåòñÿ âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà, èëè äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî óçëà.

Âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè, îáîçíà÷àåìûå êðóæî÷êàìè, âîçíèêàþò âñÿêèé ðàç, êîãäà ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà, îïðåäåëåííûé çàäàííûìè ïåðåêðåñòêàìè è çàäàííûì ñïîñîáîì ñîåäèíåíèé ýòèõ ïåðåêðåñòêîâíå ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîâîëüíî ÷àñòîå ÿâëåíèå.Ïðèìåð âèðòóàëüíîé äèàãðàììû èçîáðàæåí íà ðèñ. 1.1.Òàêèì îáðàçîì, âèðòóàëüíûå óçëû îòíîñÿòñÿ ê êëàññè÷åñêèì ïðèìåðíîòàê æå êàê ïðîèçâîëüíûå ãðàû ê ïëîñêèì ãðààì.I1.1. Ââåäåíèå7èñ. 1.1. Âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììàÏðè ýòîì ýêâèâàëåíòíîñòü (èçîòîïíîñòü) äèàãðàìì êëàññè÷åñêèõ óçëîâîïðåäåëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì îðìàëüíûõ êîìáèíàòîðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà), êîòîðûå îòíîñÿòñÿ ê áëèçêî ñòîÿùèì ïåðåêðåñòêàì.Äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, çàäàííûõ ïîñðåäñòâîì íàáîðà êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ ñ óêàçàíèåì ñïîñîáà ñîåäèíåíèÿ ïåðåêðåñòêîâ äðóã ñ äðóãîìýêâèâàëåíòíîñòü çàäàåòñÿ â òî÷íîñòè òåìè æå äâèæåíèÿìè åéäåìåéñòåðà(ðàçëè÷íûå ñïîñîáû èçîáðàæåíèÿ ñîåäèíåíèÿ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâïðèâîäÿò ê äèàãðàììàì, îòëè÷àþùèìñÿ äðóã îò äðóãà äâèæåíèåì îáúåçäà,ñì.

äàëåå).Îòìåòèì, ÷òî íà ýòîì ïóòè îáîáùåíèÿ ïîÿâèëèñü íîâûå òåîðèè: âèðòóàëüíûõ ìíîãîìåðíûõ óçëîâ (àáñòðàêòíûõ óçëîâ, Êàìàäà-Êàìàäà [KK℄), àòàêæå ïðîñòðàíñòâåííûõ âèðòóàëüíûõ ãðàîâ (Ìåëëîð, Ôëåìèíã, [FM℄).Íåòðóäíî ïîêàçàòü,÷òî âèðòóàëüíûå äèàãðàììû ïðîèñõîäÿò îò óçëîâ (çàöåïëåíèé) â óòîëùåííûõ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòÿõ.Òåîðèÿ óçëîâ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ âåòâåé ìàëîìåðíîé òîïîëîãèè. Êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, îíà âîñõîäèò ê êîíöó âîñåìíàäöàòîãî âåêà. Âàæíûé âêëàä â ðàçâèòèå òåîðèè óçëîâ âíåñëè À.Ò.Âàíäåðìîíä, Ê.-Ô.àóññ [Gau℄, Ô.Êëåéí, Ì.Äåí [Dehn℄, Äæ.

Àëåêñàíäåð [Ale1, Ale2℄ è äðóãèåâûäàþùèåñÿ ó÷åíûå.Ïðè ýòîì ïðîðûâ â òåîðèè óçëîâ, ïðèâåäøèé ê ñîâðåìåííîìó åå ñîñòîÿíèþ, ðåøåíèþ ìíîãèõ äàâíî ñòîÿùèõ ïðîáëåì, ñâÿçàí ñ îòêðûòèÿìè Äæ.Õ.Êîíâåÿ [Con℄ è Â.Ô..Äæîíñà [Jon1℄, à ïîçäíåå Â.À.Âàñèëüåâà[Vas1, Vas2℄ è äðóãèõ è îòíîñèòñÿ ê ïîñëåäíåé òðåòè äâàäöàòîãî âåêà (ïî-1.1. Ââåäåíèå8ëèíîìû Êîíâåÿ, Äæîíñà, èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êîíå÷íîãî ïîðÿäêà).

Çàîòêðûòèÿ â òåîðèè óçëîâ Â.Ô..Äæîíñ, Ý.Âèòòåí, Â..Äðèíåëüä (1990) èÌ.Ë.Êîíöåâè÷ (1998) áûëè óäîñòîåíû âûñøåé ìàòåìàòè÷åñêîé íàãðàäû èëäñîâñêèõ ìåäàëåé. 1997 ãîäó áûëà ïðåäëîæåíà åùå îäíà âûäàþùàÿñÿ êîíñòðóêöèÿ èíâàðèàíòîâ óçëîâ ãîìîëîãèè Õîâàíîâà [Kh℄: êàæäîé äèàãðàììå óçëà ñîïîñòàâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèé êîìïëåêñ, âñå ãîìîëîãèè êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíâàðèàíòû óçëîâ, à ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ýòîãî êîìïëåêñàñîâïàäàåò ñ ïîëèíîìîì Äæîíñà. äåâÿíîñòûå ãîäû XX âåêà ïîëó÷èëè øèðîêîå ðàçâèòèå íåñêîëüêî íàïðàâëåíèé ìàëîìåðíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè, ñâÿçàííûõ ñ òåîðèåé óçëîâ,èìåþùèõ ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ïîëó÷èëà øèðîêîåðàñïðîñòðàíåíèå òåîðèÿ ëåæàíäðîâûõ óçëîâ, ëåæàùàÿ íà ñòûêå òåîðèè óçëîâ è êîíòàêòíîé ãåîìåòðèè [FT, EGH, Che, EH℄.

Îíà èìååò ìíîãîìåðíûåàíàëîãè è ñâÿçàíà ñ ðàçëè÷íûìè îáëàñòÿìè ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè.Äðóãèì íàïðàâëåíèåì ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ ãîìîëîãèé çàöåïëåíèé, äâóìÿâàæíåéøèìè âåòâÿìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà [Kh℄è òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õåãîðà-Ôëîåðà, ïðåäëîæåííàÿ Ï.Îæâàòîì è Ç.Ñàáî,ñì. [OzsSz℄.Çàìå÷àòåëüíûì èçîáðåòåíèåì ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, îòêðûòàÿ Ëóèñîì Êàóìàíîì â 1996 ãîäó, [Kau7℄.

Ñ åå ïîÿâëåíèåì ñòàëîïîíÿòíî, ÷òî òåîðèÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ ÿâëÿåòñÿ ìàëîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþáîëåå øèðîêîé òåîðèè, èçó÷åíèå ñâîéñòâ êîòîðîé ïîìîãàåò ëó÷øå ïîíÿòüíåêîòîðûå ÿâëåíèÿ â òåîðèè êëàññè÷åñêèõ óçëîâ, à òàêæå ñòèìóëèðóåò ïîñòàíîâêó íîâûõ çàäà÷, ñì. [FKM℄. Òåîðèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ íàõîäèò ñâîèïðèìåíåíèÿ â êëàññè÷åñêîé òåîðèè óçëîâ. Ïîñðåäñòâîì òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ áûëà ðåøåíà ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ êîìáèíàòîðíûõ îðìóëäëÿ âñåõ èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ [GPV℄.Ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ áûëà îäíîé èç öåíòðàëüíûõ â ìàëîìåðíîé òîïîëîãèè.

Åå ïåðâîå áåçóïðå÷íîå ðåøåíèå ñâÿçàíî ñèìåíàìè Õàêåíà, Õåìèîíà, Ìàòâååâà è äð. åçóëüòàò îá àëãîðèòìè÷åñêîéðàñïîçíàâàåìîñòè âàæåí òàêæå è ïî ïðè÷èíå òîãî, ÷òî â ìàëîìåðíîé òîïîëîãèè ÷àñòî èìååò ìåñòî àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàñïîçíàâàåìîñòü. Ñ ïîÿâëå-1.1. Ââåäåíèå9íèåì òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ åñòåñòâåííî âñòàë âîïðîñ îá èõ àëãîðèòìè÷åñêîé ðàñïîçíàâàåìîñòè. Ýòîò âîïðîñ ðàçðåøåí ïîëîæèòåëüíî â ãëàâå 2 íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè; ïðè ýòîì ïîìèìî íåñêîëüêèõ ñòðóêòóðíûõïîëîæåíèé òåîðèè Õàêåíà-Ìàòâååâà ïîòðåáîâàëàñü òàêæå íåòðèâèàëüíàÿòåîðåìà Êóïåðáåðãà è ðÿä ðàññóæäåíèé, ñïåöèè÷åñêèõ äëÿ âèðòóàëüíûõóçëîâ.Òåîðèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, åå êîíñòðóêöèè è ìåòîäû òåñíî âçàèìîäåéñòâóþò ñ ðàçëè÷íûìè ðàçäåëàìè êëàññè÷åñêîé òåîðèè óçëîâ, â ÷àñòíîñòè, ñèíâàðèàíòàìè Âàñèëüåâà.

Ýòîìó ïîñâÿùåíà ãëàâà 8.  íåé, ñ èñïîëüçîâàíèåì àòîìîâ è d-äèàãðàìì äîêàçàíà ãèïîòåçà Âàñèëüåâà î ïëàíàðíîñòè ãðàîâ ñ êðåñòîâîé ñòðóêòóðîé; ýòà ãèïîòåçà èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü â ðàáîòåÂàñèëüåâà [Âàñ℄ î ñóùåñòâîâàíèè êîìáèíàòîðíûõ îðìóë äëÿ èíâàðèàíòîâêîíå÷íîãî ïîðÿäêà.Ê òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ ïðîÿâèëè èíòåðåñ ìíîãèå èçâåñòíûå ó÷åíûå: Î.ß.Âèðî, Â..Òóðàåâ, Ì.Í. óñàðîâ, Ì.Õîâàíîâ, Ë.îçàíñêèé .Ôåíí,Ê.óðê, å Ìîëèíü, Ñ.Êàðòåð, Á. Ìåëëîð, .Êóïåðáåðã, Â.Â.Âåðøèíèí,Â..Áàðäàêîâ, Í.Êàìàäà, Ñ.Êàìàäà, Ä. ýäîðä, è äð. Åé ïîñâÿùåíî ìíîæåñòâî ðàáîò, ñì., íàïð., [APS, Bar, BF, DK1, FJK, FM, FRR, Dye, GKZ,GPV, H, HK℄,[Kad, Kam.N1, Kam.N2, Kam, Kau7, Kau8, Kau9, DK2, Kau1,KK℄, [Kau10, KL, KL2, KR, KhR3, Kup, Nel, Satoh, SW, SW2, Saw, Saw2,TuTu, Tur4, Ver, Viro2, Viro, W, ZZ1, ZZ2℄ è ññûëêè â íèõ.Óïîìÿíóòûå âûøå òåîðèè èìåþò ñâÿçü ñ ðàçëè÷íûìè çàäà÷àìè êîìáèíàòîðèêè, òðåõìåðíîé è ÷åòûðåõìåðíîé òîïîëîãèè, òåîðèåé ïðåäñòàâëåíèéãðóïï è àëãåáð Ëè.

Íà ïîñëåäíåé îñíîâàíî ïîñòðîåíèå òàê íàçûâàåìûõêâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ, ñì. [Tur1, Oht℄.1.1.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è êîíñòðóêöèè(Êëàññè÷åñêèé) óçåë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáðàç ãëàäêîãî âëîæåíèÿ îêðóæíîñòè S 1 â ñåðó S 3 ; äâà óçëà íàçûâàþòñÿ èçîòîïíûìè, åñëè îäèí èç íèõìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç äðóãîãî äèåîìîðíûì îòîáðàæåíèåì îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà S 3 íà ñåáÿ, ñîõðàíÿþùèì îðèåíòàöèþ ñåðû S 3 . (Îáùåèçâåñòíî, ÷òî êàæäûé èç òàêèõ äèåîìîðèçìîâ ãëàäêî ãîìîòîïåí òîæäåñòâåííîìó â êëàññå ãëàäêèõ äèåîìîðèçìîâ).

Åñëè ìû âêëàäûâàåì â1.1. Ââåäåíèå10ñåðó S 3 íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå íåñêîëüêèõ îêðóæíîñòåé S 1 ⊔ · · · ⊔ S 1 , òîãîâîðÿò î êëàññè÷åñêîì çàöåïëåíèè; îáðàç êàæäîé îêðóæíîñòè óçåë íàçûâàåòñÿ êîìïîíåíòîé çàöåïëåíèÿ. Êëàññèèêàöèÿ óçëîâ â S 3 ýêâèâàëåíòíà êëàññèèêàöèè óçëîâ â R3 .  ñëó÷àå, åñëè èêñèðîâàíà îðèåíòàöèÿîêðóæíîñòè S 1 , ãîâîðÿò îá îðèåíòèðîâàííîì óçëå (ñîîòâåòñòâåííî, â ñëó÷àå îðèåíòèðîâàííîãî çàöåïëåíèÿ òðåáóåòñÿ îðèåíòàöèÿ îêðóæíîñòåé ïðîîáðàçîâ êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿ); â ñëó÷àå èçîòîïèè îðèåíòèðîâàííûõçàöåïëåíèé òðåáóåòñÿ, ÷òîáû äèåîìîðèçì îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâàñîõðàíÿë êàê îðèåíòàöèþ ñåðû S 3 , òàê è îðèåíòàöèè âñåõ êîìïîíåíò.Åñëè êîìïîíåíòû çàöåïëåíèÿ ïåðåíóìåðîâàòü è ïðè èçîòîïèè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû íîìåðà êîìïîíåíò ñîõðàíÿëèñü, òî ìû ïîëó÷èì êðàøåíûå çàöåïëåíèÿ.Îðèåíòèðîâàííîå çàöåïëåíèå íàçûâàåòñÿ îñíàùåííûì, åñëè â êàæäîéåãî òî÷êå çàäàí íåêîòîðûé åäèíè÷íûé íåïðåðûâíî çàâèñÿùèé îò òî÷êèíîðìàëüíûé ê êîìïîíåíòå çàöåïëåíèÿ âåêòîð; äâà îñíàùåííûõ çàöåïëåíèÿ íàçûâàþòñÿ (îñíàùåííî) èçîòîïíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ñîõðàíÿþùååîðèåíòàöèþ îòîáðàæåíèå îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà (ñåðû S 3 ) íà ñåáÿ,ïåðåâîäÿùåå îäíî çàöåïëåíèå â äðóãîå, ñîãëàñîâàííîå ñ âåêòîðíûìè ïîëÿìè.

Îñíàùåííûå çàöåïëåíèÿ ìîæíî òðàêòîâàòü êàê âëîæåíèÿ íàáîðà ëåíòS 1 × I â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî (òðåõìåðíóþ ñåðó); ñîîòâåòñòâóþùååâåêòîðíîå ïîëå óêàçûâàåò, êàêèì îáðàçîì ýòè ëåíòû ïåðåêðó÷åíû.Îáû÷íî óçëû êîäèðóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ôèêñèðóåì óçåë, ò.å. îáðàç îòîáðàæåíèÿ f : S 1 → R3 . àññìîòðèì íåêîòîðóþ ïëîñêîñòü h ⊂ R3(ñêàæåì, h = Oxy ) è ïðîåêöèþ óçëà íà íåå.

Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòèìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîåêöèÿ óçëà íà ïëîñêîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âëîæåííûé êîíå÷íûé ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà, ÿâëÿþùèéñÿ îáðàçîì ãëàäêîãîïîãðóæåíèÿ îêðóæíîñòè â ïëîñêîñòü. Îáû÷íî ìû áóäåì íàçûâàòü îòðåçîêçàöåïëåíèÿ (ò.å. îáðàç â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå îòðåçêà ÷àñòè îêðóæíîñòè) åãî âåòâüþ. Èíîãäà (êîãäà èç êîíòåêñòà ÿñíî, î ÷åì èäåò ðå÷ü)âåòâüþ ìû áóäåì íàçûâàòü òàêæå ïðîåêöèþ âåòâè íà ïëîñêîñòü. Êàæäàÿâåðøèíà ãðàà ïðîåêöèè (íàçûâàåìàÿ ïåðåêðåñòêîì äèàãðàììû çàöåïëåíèÿ) ñíàáæåíà ñëåäóþùåé ñòðóêòóðîé. Ïóñòü a, b äâå âåòâè çàöåïëåíèÿ,ïðîåêöèè êîòîðûõ ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå V . Òàê êàê a è b íå ïåðåñåêàþòñÿ1.1. Ââåäåíèå11â R3 , äâà ïðîîáðàçà òî÷êè V èìåþò ðàçëè÷íûå z -êîîðäèíàòû.