Диссертация (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным), страница 8

|ξ| 6 σ,Z2ξ 2r F [f ] (ξ) dξ 6 1.R(32)Максимизируемый функционал в (32) представим в виде суммы двухинтегралов:12πZ21e−2Y |ξ| F [f ](ξ)−a1 (ξ)g(ξ)) dξ =2πZσb2e−2Y |ξ| F [f ](ξ)−a1 (ξ)g(ξ) dξ−bσR1+2πZ|ξ|>bσ622e−2Y |ξ| F [f ](ξ) dξ. (33)Оценим подынтегральное выражение в первом слагаемом, используя неравенство Коши-Буняковского:e−2Y |ξ| |(F [f ](ξ) − a1 (ξ)g(ξ))|2= e−2Y |ξ| |(1 − a1 (ξ)) F [f ](ξ) + a1 (ξ) (F [f ](ξ) − g(ξ))|22q 1 − a (ξ) qa1 (ξ)1−2Y |ξ| rbb=eλ2 ξ F [f ](ξ) + q2π λ1 (ξ)(F [f ](ξ) − g(ξ)) qb1 (ξ)b2 ξ r2π λλ!|1 − a1 (ξ)|2|a1 (ξ)|2−2Y |ξ|+6eb2 ξ 2rb1 (ξ)λ2π λ222rb2 ξ |F [f ](ξ)| + 2π λb1 (ξ) |F [f ](ξ) − g(ξ)| .λНепосредственный подсчет показывает, чтоe−2Y |ξ|22|1 − a1 (ξ)||a1 (ξ)|+b2 ξ 2rb1 (ξ)λ2π λ!= 1.Интегрируя полученное неравенство с учетом этого обстоятельства иучитывая ограничения в задаче (32), приходим к следующей оценке дляинтеграла слева в (33):12πZσbb2 Z22λ−2Y |ξ| ξ 2r F [f ](ξ) dξeF [f ](ξ) − a1 (ξ)g(ξ)) dξ 62π−bσRZσb+b1 (ξ)F [f ](ξ) − g(ξ)2 dξ + 1λ2π−bσZ2e−2Y |ξ| 2r dξξF[f](ξ)2rξ|ξ|>bσσbZσb−2Y σb Zb2 Z2λ1e22r 22r b1 (ξ) dξ + dξ6ξF[f](ξ)ξ F [f ](ξ) dξ + δλ2π2π σb2r−bσ−bσ|ξ|>bσσbZb2 Z2λ2r 2b1 (ξ) dξ=ξ F [f ](ξ) dξ + δλ2π−bσRe−2Y σbδ26 2r +σb2πZσb−bσ 2r !ξδ2−2Y |ξ|−2Y σbe−edξ =1 − e−2Y σb .σb2πY63Следовательно,rre(Y, W2∞(R), δ, σ, m)b6δ2(1 − e−2Y σb ) .2πYВместе с оценкой (27) это означает, что при σ > σb метод mb из формулировкитеоремы является оптимальным и справедливо нужное выражение дляпогрешности оптимального восстановления.2.

Пусть σ < σb. Обозначим 2r1 − e−2Y (σ−|ξ|) ξ, |ξ| 6 σ;σa2 (ξ) =0,|ξ| > σ.Рассуждения совершенно аналогично предыдущему случаю, получаем, что12πZe−2Y |ξ| |(F [f ] (ξ) − a2 (ξ)g(ξ))|2 dξRδ261 − e−2Y σ + e−2Y σ2πYσ1−σ 2r σb2r+1и поэтомуsre(Y, W2∞(R), δ, σ, m)b 6δ2(1 − e−2Y σ ) + e−2Y σ2πY1σ−σ 2r σb2r+1.Отсюда и из (31) следует, что при σ < σb метод mb из формулировкитеоремы оптимален и справедлива нужное выражение для погрешностиоптимального восстановления.

Теорема доказана.64Глава 4. Оптимальное восстановление решения задачиДирихле для полуплоскости по неточно заданномупреобразованию Фурье граничной функциив метрике L2В этой главе рассматривается задача о наилучшем (оптимальном) восстановлении решения задачи Дирихле для верхней полуплоскости по точноили приближенно известному преобразованию Фурье граничной функциив метрике L2 . Построена серия оптимальных методов восстановления ивычислена соответствующая погрешность восстановления.4.1 Постановка задачиПусть r — натуральное число. Обозначим через W2r (R) соболевский классфункций на прямой: (r) rW2 (R) = f (·) ∈ L2 (R) : f (·)L2 (R)61 ,где производная, как уже отмечалось выше, понимается в обобщенномсмысле.Пусть ∆ — оператор Лапласа на плоскости R2 и f (·) ∈ W2r (R).Рассмотрим задачу Дирихле:∆u(x, y) = 0, (x, y) ∈ R2 , y > 0,(P1 )u(·, 0) = f (·),заключающуюся в нахождении гармонической функции u(·, ·) в верхнейполуплоскости, для которой f (·) является граничной функцией.

Последнеепонимается так: u(·, y) → f (·) при y → 0 в метрике L2 (R).Напомним, что в силу сделанных предположений (см. Предварительныесведения) единственным решением этой задачи является интеграл ПуассонаZu(x, y) =P (x − t, y)f (t) dt,(34)R65y.π(x2 + y 2 )Пусть Y > 0. Ставится задача о наилучшем восстановлении функциигде P (x, y) =u(·, Y ) — решении задачи Дирихле на прямой y = Y — по следующейинформации: на отрезке [−σ, σ], σ > 0 известно преобразование ФурьеF [f ](·) функции f (·) либо точно, либо приближенно в метрике L2 ([−σ, σ]),т. е. известна функция g(·) ∈ L2 ([−σ, σ]) такая, чтоkF [f ](·) − g(·)kL2 ([−σ,σ]) 6 δ,где δ > 0 (случай δ = 0 соответствует точному значению F [f ](·) на [−σ, σ]).Задача оптимального восстановления u(·, Y ) по указанной информациипонимается следующим образом.

Любое отображениеm : L2 ([−σ, σ]) → L2 (R)назывется методом восстановления, а величинаe(Y, W2r (R), δ, σ, m) =supf (·)∈W2r (R), g(·)∈L2 ([−σ,σ])kF [f ](·)−g(·)kL ([−σ,σ]) 6δku(·, Y ) − m(g(·))(·)kL2 (R)2— погрешностью метода m. Если δ = 0, то это записывается так:e(Y, W2r (R), 0, σ, m) =supf (·)∈W2r (R)ku(·, Y ) − m(F [f ](·))(·)kL2 (R) .Нас интересует метод, на котором погрешность принимает минимальноезначение.

Точнее говоря, нас интересует величинаE(Y, W2r (R), δ, σ) =которая называетсяinfm : L2 ([−σ,σ])→L2 (R)e(Y, W2r (R), δ, σ, m),погрешностью оптимального восстановления и теметоды m,b на которых нижняя грань достигается, т. е.E(Y, W2r (R), δ, σ) = e(Y, W2r (R, δ, σ, m).bТакие методы мы называемоптимальными методами восстановления.Нашей целью является построение оптимальных методов и нахождениесоответствующей погрешности оптимального восстановления.664.2 Формулировка основного результатаТеорема 4.1) Пусть δ > 0.Тогда погрешность оптимальноговосстановления имеет видrE(Y, W2r (R), δ, σ)=e−2Y σδ2+ 2r2πσДля любой функции a1 (·) ∈ L∞ (R) такой, что21a1 (ξ) −1 + e−2Y σ (ξ/σ)2r e−2Y σ (ξ/σ)2r6(e2Y |ξ| (1 + e−2Y σ (ξ/σ)2r ) − 1), для п.в.

ξ ∈ [−σ, σ],−2Yσ2r2(1 + e(ξ/σ) )линейный непрерывный оператор Λa1 : L2 ([−σ, σ]) → L2 (R), действующий вобразах Фурье по правилу (считая, что функция g(·) продолжена нулем запределы отрезка [−σ, σ])F [Λa1 g(·)](ξ) = a1 (ξ)g(ξ)e−Y |ξ| ,является оптимальным методом.2) Если δ = 0, то погрешность оптимального восстановления имеет вид:E (Y, W2r (R), σ) =e−Y σ.σrДля любой измеримой функции a2 (·) ∈ L∞ (R) такой, что|a2 (ξ) − 1| 6 (ξ/σ)r · e−Y σ ,для п.в. ξ ∈ [−σ, σ],линейный непрерывный оператор Λa2 : L2 ([−σ, σ]) → L2 (R), действующий вобразах Фурье по правилуF [Λa2 g(·)](ξ) = a2 (ξ)g(ξ)e−Y |ξ| ,является оптимальным методом.Доказательство проведем в несколько этапов.674.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановленияПусть u(·, Y ) — решение задачи Дирихле (P1 ) и m — произвольныйметод восстановления.

Рассмотрим экстремальную задачу:ku(·, Y )kL2 (R) → max,f (·) ∈ W2r (R),kF [f ](·)kL2 ([−σ,σ]) 6 δ.(35)Обозначим ее значение через S, то естьS=supf (·)∈W2r (R)kF [f ](·)kL ([−σ,σ]) 6δku(·, Y )kL2 (R) .2Покажем, что погрешность оптимального восстановления не меньше значенияэтой задачи: E(Y, W2r (R), δ, σ) > S.Оценим сверху максимизируемый функционал в (35).Пусть m(·) —произвольный метод восстановления, а функция f (·) ∈ W2r (R) такова, чтоkF [f ](·)kL2 ([−σ,σ]) 6 δ.

Тогда2 ku(·, Y )kL2 (R) = ku(·, Y ) − m(0) − (−u(·, Y ) − m(0))kL2 (R)6 ku(·, Y ) − m(0)kL2 (R) + k − u(·, Y ) − m(0)kL2 (R)62supf (·)∈W2r (R)kF [f ](·)kL ([−σ,σ]) 6δku(·, Y ) − m(0)kL2 (R)262supf (·)∈W2r (R)g(·)∈L2 ([−σ,σ])kF [f ](·)−g(·)kL ([−σ,σ]) 6δku(·, Y ) − m(g(·))kL2 (R)2= 2 e(Y, W2r (R), δ, σ, m).Таким образом, ku(·, Y )kL2 (R) 6 e(Y, W2r (R), δ, σ, m). ПереходякверхнейграниkF [f ](·)kL2 ([−σ,σ]) 6 δ,послевафункциям f (·) ∈ W2r (R) таким, чтовсема справа к нижней грани по всем методамm : L2 ([−σ, σ]) → L2 (R), получим:E(Y, W2r (R), δ, σ) >supf (·)∈W2r (R)kF [f ](·)kL ([−σ,σ]) 6δ268ku(·, Y )kL2 (R) ,то естьE(Y, W2r (R), δ, σ) > S.Найдем значение величины S. Так как F [u(·, Y )](·) = e−Y |ξ| ·F [f ](·) (см.,например, [48]), то, согласно теореме Планшереля, квадрат значения задачи(35) равен значению следующей задачи:Z1e−2Y |ξ| · |F [f ](ξ)|2 dξ → max,2πRZ1δ22χ(−σ,σ) (ξ)|F [f ](ξ)| dξ 6,2π2π12πRZξ 2r |F [f ](ξ)|2 dξ 6 1, (36)Rгде χ(−σ,σ) (·) — характеристическая функция интервала (−σ, σ).

Нетруднопоказать, что в этой задаче нет решения. Поэтому, заменяя формальноdµ(ξ) =122π |F [f ](ξ)| dξ,рассмотрим более общую задачу на произвольныхборелевских положительных мерах на прямой («расширение» задачи (36)):ZZe−2Y |ξ| dµ(ξ) → max,χ(−σ,σ) (ξ)dµ(ξ) 6 δ12 ,RRZξ 2r dµ(ξ) 6 1, δ12 =δ2. (37)2πRРассмотрим вначале случай, когда информация задана неточно (δ > 0).Найдем значение «расширенной» задачи (37).

Будем решать равносильнуюзадачу на минимум:Z− e−2Y |ξ| dµ(ξ) → min,RZZχ(−σ,σ) (ξ)dµ(ξ) 6 δ12 ,Rξ 2r dµ(ξ) 6 1. (38)RЭто выпуклая задача. Составим ее функцию Лагранжа:L (dµ(ξ), λ1 , λ2 ) =ZZZ− e−2Y |ξ| dµ(ξ) + λ1 ·  χ(−σ,σ) (ξ)dµ(ξ) − δ12  + λ2 ·  ξ 2r dµ(ξ) − 1RR=Z R−e−2Y |ξ| + λ1 χ(−σ;σ) (ξ) + λ2 ξ 2r dµ(ξ) − λ1 δ12 + λ2 .R69По теореме Каруша-Куна-Такера (см., например, [33]), если существуетдопустимая мера dbµ(·) в (38) и коэффициенты λ̂1 , λ̂2 такие, что выполняютсяусловия:a) λ̂1 > 0; λ̂2 > 0;Rb) λ̂1χ(−σ,σ) (ξ) dµ(ξ) − δ12 = 0,λ̂2RRξ 2r dµ(ξ) − 1= 0;Rc) min L dµ(·), λ̂1 , λ̂2 = L dbµ(·), λ̂1 , λ̂2 ;dµ(·)>0то dbµ(·) — решение задачи (38).Условие c) равносильно следующему неравенству:Z −e−2Y |ξ|+ λ̂1 χ(−σ;σ) (ξ) + λ̂2 ξ2rdµ(ξ) >RZ −e−2Y |ξ| + λ̂1 χ(−σ;σ) (ξ) + λ̂2 ξ 2r dbµ(ξ),Rсправедливому для любой меры dµ(·) > 0.Рассмотрим подынтегральную функциюq(ξ) = −e−2Y |ξ| + λ̂1 χ(−σ;σ) (ξ) + λ̂2 ξ 2r .e−2Y σ.