Диссертация (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным), страница 6

. , λbn ) такие, чтоdbµ(·) > 0 и набор множителей Лагранжа λвыполняются44bi > 0, 1 6 i 6 n (условие неотрицательности);1. λR −2y |ξ|bi ·2. λe i dbµ (ξ) − δi2 = 0, 1 6 i 6 n (условия дополняющейRнежесткости);bb3. min L dµ(·), λ = L dbµ(·), λ (принцип минимума),dµ(·)>0то dbµ(·) — решение задачи (25).Перепишем функцию Лагранжа в виде:ZL (dµ(·), λ) =−e−2Y |ξ|!λi e−2yi |ξ|dµ (ξ) −nXi=1RZ+nX−2Y |ξ|−1 +enXi=1!−2(yi −Y )|ξ|nXdµ (ξ) −λi ei=1Rλi δi2 =λi δi2 =i=1Z−2Y |ξ|eh(ξ, λ) dµ (ξ) −nXi=1Rгдеh(ξ, λ) = −1 +nXλi δi2 ,λi e−2(yi −Y )|ξ| .i=1a) Пусть Y ∈ [ysj , ysj+1 ). Положимdbµ(ξ) = Cδ(ξ − ξ0 ),где δ(ξ − ξ0 )— дельта-функция в точке ξ0 , а величины C и ξ0 выберем изусловий:Ze−2yk |ξ| dbµ(ξ) = δk2 , k = sj , sj+1 .RПолучим следующую систему: Ce−2ysj |ξ0 | = δ 2sj Ce−2ysj+1 |ξ0 | = δ 2 .sj+1Откуда находим, что:ξ0 =ln δs1− lnj+1ysj+1 − ysj1δsj> 0,2ysj+1ysj+1 − ysjC = δsj45−2ysjysj+1 − ysj· δsj+1.Покажем, что мераµ(·) допустимав задаче (25).

По определению db1ломаной θ(·) все точки yi , ln, i = 1, 2, . . . , n, лежат не выше ее графика,δiа так как эта ломаная вогнута, то ее график лежит не выше прямой1 ysj+1 − yy − ysj1··+ ln,δsj ysj+1 − ysjδsj+1 ysj+1 − ysj 11и ysj+1 , ln. Используя это свойство,соединяющей точки ysj , lnδsjδsj+1получим:p(t) = lnZe−2yi |ξ|Zdbµ(ξ) =Re−2yi |ξ| C · δ(ξ − ξ0 ) = C · e−2yi ξ0 =Rysj+1 −yi2 ys −ysδsj j+1 jyi −ys·2 ys −yj sδsj+1j+1 j= e−2p(yi ) 6 e−2 ln δ1i= δi2 , i = 1, 2, .

. . , n.То есть мера2ysj+1ysj+1 −ysjsjdbµ(·) = δ2ys·j− ys −ysjj+1δsj+1· δ(ξ − ξ0 )допустима в задаче (25).bk = 0, k 6= sj , sj+1 , а коэффициенты λbs и λbs выберем так,Положим λjj+1чтобыb = 0;h(ξ0 , λ)b = 0.h0 (ξ0 , λ)Эти уравнения равносильны следующей системеλbs e−2(ysj −Y )ξ0 + λbs e−2(ysj+1 −Y )ξ0 = 1jj+1λbs (ys − Y )e−2(ysj −Y )ξ0 + λbs (ys − Y )e−2(ysj+1 −Y )ξ0 = 0,jjj+1j+1решением которой являютсяbs = ysj+1 − Y e−2(Y −ysj )ξ0 ,λjysj+1 − ysjbs = Y − ysj e2(ysj+1 −Y )ξ0 .λj+1ysj+1 − ysjb условияПроверим, что с так определенной мерой dbµ(·) и набором λ,теоремы Каруша–Куна–Таккера выполнены.bi > 0, 1 6 i 6 n.

Условия дополняющей нежесткостиПо построению λbk = 0, k 6= sj , sj+1 , а при k = sj , sj+1 ,также выполняются. Действительно, λ46справедливы равенстваZe−2yk |ξ| dbµ(ξ) = δk2 .Rb выпукла и в точке ξ0 обращается в нольПоскольку функция h(ξ, λ)вместе со своей производной, то она всюду неотрицательна. Следовательно,величинаZb dµ (ξ)e−2Y |ξ| h(ξ, λ)Rв определении функции Лагранжа неотрицательна для любых положительныхмер, и обращается в ноль на мере dbµ(·) в силу ее определения. Следовательно,выполнено условие минимума для функции Лагранжа, и, значит, dbµ(·)(согласно теореме Каруша–Куна–Таккера) — решение задачи (25).Подставляя эту меру в максимизируемый функционал в задаче (25),найдем ее значение:ZZ−2Y |ξ|edbµ (ξ) = e−2Y |ξ| C · δ(ξ − ξ0 ) = C · e−2Y ξ0 =RR2ysj+1ysj+1 −ysjsj=δ2ys·j− ys −ysjj+1δsj+1ys·e−2Y−Y2 ys j+1−ysδsj j+1 j(ln δsj /δsj+1ysj+1 −ysj)=Y −ys·2 ys −yj sδsj+1j+1 j= e−2p(Y ) = e−2θ(Y ) .Покажем теперь, что значение задачи (24), которое, очевидно, небольше значения задачи (25), на самом деле, совпадает с ее значением.Для этого построим последовательность допустимых в задаче (24) функцийϕn (·), на которых максимизируемый функционал сходится к значению (25):Z1lime−2Y |ξ| · |F [ϕn (·)](ξ)|2 dξ = e−2θ(Y ) .n→∞ 2πRДля каждого натурального n рассмотрим функцию ϕn (·) ∈ L2 (R),определенную условием:ysj+1−ysj√ysj+1 −ysjysj+1 −ysj 2πn δδsj+1, ξ ∈ [ξ0 ; ξ0 + n1 ];sjF [ϕn (·)](ξ) =0,ξ∈/ [ξ0 ; ξ0 + n1 ].47Эти функции допустимы в задаче (24), посколькуξ0 + n1Z12πZ2e−2yi |ξ| · |F [ϕn (·)](ξ)| dξ = nysj+1ysj+1 −ysjsje−2yi ξ δ−ysjysj+1 −ysjδsj+1dξ 6ξ0Rysj+1ysj+1 −ysje−2yi ξ0 δsj−ysjysj+1 −ysjδsj+1−yiys=yi −ys2 ys j+1−ysδsj j+1 je−2p(yi ) 6 e·2 ys −yj sδsj+1j+1 j−2 ln δ1i== δi2 , i = 1, 2, .

. . , n.Значение максимизируемого функционала на этих функциях имеет видZ12πe−2Y |ξ| |F [ϕn ]|2 dξ =Rξo + n112π2ysj+1Z−2Y ξ2πn eysj+1 −ysjδsj−2ysjysj+1 −ysjδsj+1−2ysjysj+1 −ysj2ysj+1ysj+1 −ysjdξ = n δsjξo + n1Ze−2Y ξ dξ =δsj+1ξ0ξ02ysj+1−2ysjysj+1 −ysjn ysj+1 −ysjδsj+1−δs2Y j−2Y ξ0e− 2Yne−1 .При n к бесконечности это выражение стремится к величине2ysj+1ysj+1 −ysjsjδ−2ysjysj+1 −ysjsj+1δyse−2Y ξ0 =−Y2 ys j+1−ysδsj j+1 jY −ys·2 ys −yj sδsj+1j+1 j= e−2p(Y ) = e−2θ(Y ) .Тем самым доказано, что в рассматриваемом случаеE(Y, ȳ, δ̄) > e−2θ(Y ) .b) Пусть Y > ysk .Пусть dbµ(·) = δs2k δ(·), где δ(·) есть дельта-функция в нуле.

Проверим допустимость этой меры в задаче (25). Научастке [ysk , +∞) функция θ(·) тождественно равна ln (1/δsk ). Посколькуln(1/δi ) 6 ln(1/δsk ), 1 6 i 6 n, тоZe−2yi |ξ| dbµ (ξ) = δs2k = e−2 ln (1/δsk ) 6 e−2 ln (1/δi ) = δi2 , i = 1, . . . , n,Rи, значит, мера dbµ(·) допустима в задаче (25).48bs = 0, j 6= k, а λbs = 1. Очевидно, что условия (1) и (2)Положим λjkтеоремы Каруша–Куна–Таккера выполняются. В данном случае функцияЛагранжа имеет вид Zb = e−2Y |ξ| h(ξ) dµ (ξ) − δ 2 ,L dµ(·), λskRгдеh(ξ) = e−2(ysk −Y )|ξ| − 1.Поскольку Y > ysk , то h(·) > 0, причем h(0) = 0. Мера dbµ(·) сосредоточенав точке ξ = 0, поэтому выполнятся условие (3) теоремы Каруша–Куна–Таккера.Таким образом, мера dbµ(·) является решением задачи (25), и ее значениетаково:Ze−2Y |ξ| dbµ (ξ) = e−2θ(Y ) .RКак и ранее, построим последовательность допустимых в задаче(24) функций ϕn (·), на которых значение максимизируемого функционаласходится к значению задачи (25).

Рассмотрим функции ϕn (·) ∈ L2 (R),определенные формулойF [ϕn (·)](ξ) =√ 2πn δ 2 , ξ ∈ [0;sk1n ];ξ∈/ [0;1n ].0,Эти функции допустимы в задаче (24), поскольку12πZRZ1/ne−2yi |ξ| · |F [ϕn (·)](ξ)|2 dξ = n e−2yi ξ δs2k dξ 60δs2k e−2 ln (1/δsk ) 6 e−2 ln (1/δi ) = δi2 , i = 1, . . .

, n.49Значение максимизируемого функционала на данных функциях имеет вид12πZ1e−2Y |ξ| |F [ϕn ]|2 dξ =2πZ1/n2πn e−2Y ξ δs2k dξ =0RZ1/nn 2 − 2Y−2Y ξ2edξ = − δsk e n − 1 .n δsk2Y0Устремляя n к бесконечности, получаем требуемый результат.c) Пусть Y < y1 .

Покажем, что в этом случае значение задачи (24)равно бесконечности. Пусть t0 — некоторое положительное число. Найдетсяпрямая t = ay + b, a > 0, которая разделяет точку (Y, −t0 ) и множество M .Тогда aY + b 6 −t0 , а ayi + b > ln (1/δi ), i=1,. . . ,n. Положимdbµ(ξ) = Cδ(ξ − ξ0 ),где числа C ξ0 выберем следующим образом: C = e−2b , а ξ0 = a.

ТогдаZe−2yi |ξ|RZdbµ (ξ) = Ce−2yi |ξ| δ(ξ − ξ0 ) =RCe−2yi |ξ0 | = e−2(ayi +b) 6 e−2 ln (1/δi ) = δi2 , i = 1, . . . , n,то есть мера dbµ(ξ) допустима в задаче (25).Так какZZe−2Y |ξ| dbµ (ξ) = e−2Y |ξ| Cδ(ξ − ξ0 ) = Ce−2Y |ξ0 | = e−2(aY +b) > e2t0 ,RRи t0 — произвольное положительное число, то значение задачи (25) равно+∞.

Тем самым, и значение задачи (24) равно +∞.Итак, показано, что во всех случаях справедлива следующая оценкаснизу для погрешности оптимального восстановления:E(Y, ȳ, δ̄) > e−2θ(Y ) .502.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления иоптимальные методыПостроим методы m,b для которых погрешность восстановления совпадаетс полученным значением нижней оценки погрешности оптимального восстановления, то естьe Y, ȳ, δ̄, mb = e−2θ(Y ) .Очевидно, что такие методы будут оптимальными.a) Пусть k > 2 и tsj < Y < tsj+1 , 1 6 j 6 k − 1.

Проводя выкладки,аналогичные случаю двух измерений (Глава 1), получим, что для любыхфункций ai (·) ∈ L∞ (R) , i = 1, 2, таких, чтоe−Y |ξ| = a1 (ξ) e−ysj |ξ| + a2 (ξ) e−ysj+1 |ξ| ,для п.в. ξ ∈ Rи |a1 (·)|2 |a2 (·)|2 6 1, λ1 + λ2 L∞ (R)линейный операторmb a1 ,a2 : (L2 (R))n → L2 (R) ,действующий в образах Фурье по правилу:F [mb a1 ,a2 (z1 (·), z2 (·))](ξ) = a1 (ξ)·F [z1 (·)](ξ)+a2 (ξ)·F [z2 (·)](ξ) для п.в. ξ ∈ R,является оптимальным методом.b) Пусть Y = ysj , 1 6 j 6 k.

Рассмотрим методmb (z̄(·)) (·) = zsj (·).Оценим его погрешность:e Y, ȳ, δ̄, mb =supf (·),zi (·)∈L2 (R),ku(·,yi ,f (·))−zi (·)kL2 (R) 6δi , i=1,2,...,nsupf (·),zsj (·)∈L2 (R),ku(·,ysj ,f (·))−zsj (·)kL2 (R) 6δsjku(·, Y, f (·)) − mb (z̄(·))kL2 (R) =u(·, ys , f (·)) − zs (·)6 δsj = e− ln(1/δsj ) = e−θ(ysj ) .jjL2 (R)51Следовательно, данный метод является оптимальным.с) Пусть Y > ysk . Рассмотрим методmb (z̄(·)) (·) = P (·, Y − ysk ) ∗ zsk (·).Его погрешность по определению равнаe Y, ȳ, δ̄, mb=supf (·),zsk (·)∈L2 (R),ku(·,ysk ,f (·))−zsk (·)kL2 (R) 6δskku(·, Y, f (·)) − mb (z̄(·))kL2 (R) .Оценим квадрат выражения под знаком супремума, переходя к образамФурье.