Диссертация (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным), страница 3

Построена серия оптимальных методов восстановления и вычислена соответствующая погрешность восстановления.Пусть r — натуральное число. Аналогично предыдущему, обозначимчерез W2r (R) соболевский класс функций на прямой (напомним, чтопроизводные, как и раньше, понимаются в обобщенном смысле):W2r (R) = f (·) ∈ L2 (R) : f (r) (·)61 .L2 (R)Пусть Y > 0. Ставится задача о наилучшем восстановлении функцииu(·, Y ) — решения задачи Дирихле на прямой y = Y — по следующей15информации: на отрезке [−σ, σ], σ > 0 известно преобразование ФурьеF [f ](·) функции f (·) либо точно, либо приближенно в метрике L2 ([−σ, σ]),т. е.

известна функция g(·) ∈ L2 ([−σ, σ]) такая, чтоkF [f ](·) − g(·)kL2 ([−σ,σ]) 6 δ,где δ > 0 (случай δ = 0 соответствует точному значению F [f ](·) на [−σ, σ]).Задача оптимального восстановления u(·, Y ) по указанной информациипонимается, как и выше, следующим образом. Любое отображениеm : L2 ([−σ, σ]) → L2 (R)назывется методом восстановления, а величинаe(Y, W2r (R), δ, σ, m) =ku(·, Y ) − m(g(·))(·)kL2 (R)supf (·)∈W2r (R),g(·)∈L2 ([−σ,σ])kF [f ](·)−g(·)kL ([−σ,σ]) 6δ2— погрешностью метода m. Нас интересует величинаE(Y, W2r (R), δ, σ) =infm : L2 ([−σ,σ])→L2 (R)e(Y, W2r (R), δ, σ, m),которая называется погрешностью оптимального восстановления и теметоды m,b на которых нижняя грань достигается, т.

е.E(Y, W2r (R), δ, σ) = e(Y, W2r (R, δ, σ, m).bТакие методы мы называем оптимальными методами восстановления.Теорема 4.1) Пусть δ > 0.Тогда погрешность оптимальноговосстановления имеет видrE(Y, W2r (R), δ, σ)=δ2e−2Y σ+ 2r2πσДля любой функции a1 (·) ∈ L∞ (R) такой, что21a1 (ξ) −1 + e−2Y σ (ξ/σ)2r e−2Y σ (ξ/σ)2r6(e2Y |ξ| (1 + e−2Y σ (ξ/σ)2r ) − 1), для п.в. ξ ∈ [−σ, σ],−2Yσ2r2(1 + e(ξ/σ) )16линейный непрерывный оператор Λa1 : L2 ([−σ, σ]) → L2 (R), действующий вобразах Фурье по правилу (считая, что функция g(·) продолжена нулем запределы отрезка [−σ, σ])F [Λa1 g(·)](ξ) = a1 (ξ)g(ξ)e−Y |ξ| ,является оптимальным методом.2) Если δ = 0, то погрешность оптимального восстановления имеет вид:E(Y, W2r (R), σ)e−Y σ= r .σДля любой измеримой функции a2 (·) ∈ L∞ (R) такой, что|a2 (ξ) − 1| 6 (ξ/σ)r · e−Y σ ,для п.в.

ξ ∈ [−σ, σ],линейный непрерывный оператор Λa2 : L2 ([−σ, σ]) → L2 (R), действующий вобразах Фурье по правилуF [Λa2 g(·)](ξ) = a2 (ξ)g(ξ)e−Y |ξ| ,является оптимальным методом.3. Доклады и публикацииСодержание диссертации и ее основные результаты достаточно полноотражены в публикациях автора. Всего по теме диссертации Абрамовой Е.В.опубликованы 5 печатных работ, из них три статьи в журналах, входящимв перечень ВАК РФ [1]–[3], одна в трудах конференций [5] и одна в тезисахконференции [4]. Доля авторского участия соискателя в работах составляет100%.Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научно-исследовательских семинарах:— 59-я научно-практическая конференция МИРЭА, Москва, 2010 г.;— 64-я научно-практическая конференция МИРЭА, Москва, 2015 г.;17— XII Белорусская математическая конференция, Минск, 2016 г.;— XIII международная конференция «Теория операторов, комплексныйанализ и математическое моделирование», Владикавказ, 2016 г.;— семинаре кафедры Общих проблем управления механико-математическогофакультета МГУ имени М.

В. Ломоносова «Вопросы оптимального восстановления линейных операторов» (рук. проф. Г. Г. Магарил-Ильяев, проф.К. Ю. Осипенко, проф. В. М. Тихомиров);— научно-исследовательский семинар ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ» подифференциальным уравнениям (рук.проф.А. А. Амосов, проф.Ю. А. Дубинский).Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву за постоянноевнимание к работе и полезные обсуждения.18Предварительные сведения1. Задача ДирихлеРассмотрим задачу Дирихле∆u (x, y) = 0, (x, y) ∈ R2 , y > 0(P1 )u (x, 0) = f (x) , ∀x ∈ R, f (·) ∈ L2 (R) ,заключающуюся в нахождении гармонической функции u(·, ·) в верхнейполуплоскости, удовлетворяющей заданному граничному условию, котороепонимается так:u(·, y) → f (·) при y → 0 в метрике L2 (R).Приведем условия, гарантирующие существование и единственностьрешения данной задачи.Теорема 0.1. Пусть функция u(·, ·) есть интеграл Пуассона:Zu(x, y) = P (x − t, y) · f (t) dt,Ry, x ∈ R, y > 0.

Тогда u(·, ·) являетсяπ(x2 + y 2 )решением задачи Дирихле игде f (·) ∈ L2 (R), P (x, y) =ku(·, y)kL2 (R) 6 kf (·)kL2 (R) , y > 0.Теорема 0.2. Пусть u(·, ·) — гармоническая функция в верхней полуплоскости, u(·, y) ∈ L2 (R) и sup ku(·, y)kL2 (R) < ∞.Тогда найдется такаяy>0функция g(·) ∈ L2 (R), что выполняется равенство:Zu(x, y) = P (x − t, y) · g(t) dt.RСледствие.Среди всех гармонических функций u(·, ·) в верхней полу-плоскости, для которыхsup ku(·, y)kL2 (R) < ∞,y>019(U1 )интеграл Пуассона является единственным решением задачи Дирихле (см.,например [48]).Всюду в данной работе предполагается, что это условие выполнено.2.

Гармонический анализПусть f (·) ∈ L1 (R). Функция F [f (·)](·) на R, определенная равенствомZF [f |(·)](ξ) = f (x)e−iξx dx, ξ ∈ R,(2)Rназывается преобразованием Фурье функции f (·).Теорема 0.3 (Планшереля). Существует единственный линейный непрерывный биективный оператор из L2 (R) в L2 (R) (также называемыйпреобразованием Фурье и также обозначаемый через F ), который на L1 (R)∩L2 (R) совпадает с (2) и при этом справедливо равенство:1kf (·)kL2 (R) = √ kF [f ](·)kL2 (R) .2π(3)Следствие.

Пусть функция f (·) и ее n–ая производная f n (·) принадлежатL2 (R). Тогда справедлива формулаZZ1|f n (x)|2 dx =ξ 2n |F [f ](ξ)|2 dξ.2πRR20Глава 1. Оптимальное восстановление решения задачиДирихле для полуплоскости по неточным данным надвух прямыхВ этой главе решается задача об оптимальном восстановлении решениязадачи Дирихле для полуплоскости на прямой, параллельной оси абсцисс понеточным его измерениям на двух других прямых.1.1 Постановка задачиРассмотрим следующую задачу:∆u (x, y) = 0, (x, y) ∈ R2 , y > 0(P1 )u (x, 0) = f (x) , ∀x ∈ R, f (·) ∈ L2 (R) ,заключающуюся в нахождении гармонической функции u(·, ·) в верхнейполуплоскости, удовлетворяющей заданному граничному условию, котороепонимается так: u(·, y) → f (·) при y → 0 в метрике L2 (R) и, кроме того,sup ku(·, y)kL2 (R) < ∞.y>0В этом случае (см.

Предварительные сведения) решение данной задачиединственно и задается интегралом ПуассонаZu (x, y) = u (x, y, f (·)) = P (x − t, y) · f (t) dt = P (x, y) ∗ f (x) ,(4)R1 y— ядро Пуассона.π x2 + y 2В этой ситуации мы хотим восстановить (по возможности, наилучшимгде P (x, y) =образом) решение задачи (P1 ) на прямой y = Y по неточным его измерениямна прямых y = y1 и y = y2 , где 0 6 y1 < Y < y2 . Точная постановка задачитакова.21Пусть u(·, ·) — решение задачи (P1 ) и известны функции zi (·) ∈ L2 (R)такие, чтоku (·, yi ) − zi (·)kL2 (R) 6 δi ,δi > 0, i = 1, 2;0 6 y1 < y2 .По этой информации мы хотим восстановить решение задачи Дирихле напрямой y = Y , y1 < Y < y2 в метрике L2 (R).Любое отображение m : L2 (R) × L2 (R) → L2 (R) назовем методомвосстановления, при этом величинуe (m) = e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m) =supf (·),zi (·)∈L2 (R),ku(·,yi )−zi (·)kL2 (R) 6δi , i=1,2ku (·, Y, f (·)) − m (z1 (·), z2 (·))kL2 (R)назовем погрешностью восстановления (погрешностью метода m).Тот метод mb : L2 (R) × L2 (R) → L2 (R) , на котором погрешностьвосстановления минимальна, то естьe (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m)b =infm: L2 (R)×L2 (R)→L2 (R)e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m) ,будем называть оптимальным методом восстановления, а величинуE (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) =infm: L2 (R)×L2 (R)→L2 (R)e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m)назовем погрешностью оптимального восстановления.1.2 Формулировка основного результатаСвяжем с числами 0 < y1 < Y < y2 ,δ1 > 0, δ2 > 0 следующиевеличины:y2 − Yλ1 =·y 2 − y1−y1 ) −2(Yδ1 y2 −y1,δ2Y − y1λ2 =·y2 − y1−Y ) 2(yy 2−y21δ1.δ2Теорема 1.

1) Пусть 0 6 y1 < Y < y2 , δ1 > δ2 > 0. Тогда погрешностьоптимального восстановления имеет вид:y2 −Yy2 −y1E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) = δ122Y −y1y2 −y1· δ2.Для любых функций ai (·) ∈ L∞ (R) , i = 1, 2, таких, чтоe−Y |ξ| = a1 (ξ) e−y1 |ξ| + a2 (ξ) e−y2 |ξ| ,для п.в. ξ ∈ Rи |a1 (·)|2 |a2 (·)|2 6 1, λ1 + λ2 L∞ (R)линейный операторmb a1 ,a2 : L2 (R) × L2 (R) → L2 (R) ,действующий в образах Фурье по правилу:F [mb (z1 (·), z2 (·))](ξ) = a1 (ξ) · F [z1 (·)](ξ) + a2 (ξ) · F [z2 (·)](ξ) для п.в.

ξ ∈ R,является оптимальным методом.2) Пусть 0 6 y1 < Y < y2 , 0 < δ1 6 δ2 . Тогда погрешность оптимальноговосстановления имеет вид:E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) = δ1 .При этом метод видаm(z1 , z2 )(ξ) = e−y1 |ξ| · F [z1 (·)](ξ)является оптимальным.Доказательство этой теоремы проведем в несколько этапов.1.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановленияПокажем, что погрешность оптимального восстановления не меньшезначения следующей задачи:ku(·, Y, f (·))kL2 (R) → max,ku(·, yi , f (·))kL2 (R) 6 δi , i = 1, 2,23f (·) ∈ L2 (R) , (5)то естьE (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) >supku(·, Y, f (·))kL2 (R) .(6)f (·)∈L2 (R),ku(·,yi ,f (·))kL2 (R) 6δi ,i=1,2Действительно, пусть m — произвольный метод восстановления и функцияf0 (·) допустима в задаче (5). Тогда функция −f0 (·) — тоже допустима,поскольку u(·, y, −f0 (·)) = −u(·, y, f0 (·)), и мы имеем:2ku(·, Y, f0 (·))kL2 (R) =ku(·, Y, f0 (·)) − m(0, 0) − (−u(·, Y, f0 (·)) − m(0, 0))kL2 (R) 6ku(·, Y, f0 (·)) − m(0, 0)kL2 (R) + k − u(·, Y, f0 (·)) − m(0, 0)kL2 (R) 62ku(·, Y, f (·)) − m(0, 0)kL2 (R) 6supf (·)∈L2 (R)ku(·,yi ,f (·))kL2 (R) 6δi ,i=1,22ku(·, Y, f (·)) − m(z1 , z2 )kL2 (R) =supf (·),zi (·)∈L2 (R),ku(·,yi ,f (·))−zi (·)kL2 (R) 6δi ,i=1,22 · e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m) .Таким образом,ku(·, Y, f0 (·))kL2 (R) 6 e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m) .Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в (5), азатем справа к нижней грани по всем методам m, получим:supku(·, Y, f (·))kL2 (R) 6 E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ).f (·)∈L2 (R),ku(·,yi ,f (·))kL2 (R) 6δi ,i=1,2Найдем значение задачи (5).