Диссертация (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным)
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным". PDF-файл из архива "Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ОглавлениеВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 19Глава 1. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихледля полуплоскости по неточным данным на двух прямых . . . . . . 211.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 211.2 Формулировка основного результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановления . . . . . . . . . 231.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления иоптимальные методы . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Оптимальный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6 Случай точно заданных измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 361.7 Линейная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Глава 2. Оптимальное восстановление решения задачиДирихле для полуплоскости по n (n > 2) измерениям. . . . . . . . . . . . . 392.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Формулировка основного результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановления . . . .
. . . . . 432.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления иоптимальные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Глава 3. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихледля полуплоскости по неточно заданному преобразованию Фурьеграничной функции в метрике L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 533.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Формулировка основного результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 553.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановления . . . . . . . . . 553.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления иоптимальный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .. 622Глава 4. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихледля полуплоскости по неточно заданному преобразованию Фурьеграничной функции в метрике L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Формулировка основного результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановления . . . . . . . . . 684.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления иоптимальные методы . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5 Пример оптимального метода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 79Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803Введение1. Исторический обзорНа практике часто возникают задачи, связанные с восстановлениемкакой-либо характеристики объекта по информации (часто не полнойи/или не точной) о других характеристиках этого объекта. К примеру,рассматривается задача о восстановлении функции или ее производнойв точке, или интеграла от нее по информации о наборе ее значений вдругих точках, либо по приближенно заданному преобразованию Фурье,или требуется восстановить решение дифференциального уравнения понеточно известным начальным данным и так далее.Применяютсяразличные подходы к решению подобного класса задач.Автор следуетподходу, который предполагаей наличие некоторой априорной информацииоб объекте, характеристики которого подлежат восстановлению.Этодает возможность поставить задачу о нахождении наилучшего методавосстановления данной характеристики среди всех возможных методоввосстановления.Такой подход к задаче восстановления базируется наработах А.
Н. Колмогорова [15] 30-годов XX века, посвященным нахождениюнаилучших средств приближения для различных классов функций. Математическая теория, в которой рассматриваются задачи восстановления,основывающиеся на этом подходе, плодотворно развивается, начиная с 60годов XX века.Задача Колмогорова–Никольского о наилучших квадратурах послужила, в определенном смысле, отправной точкой для постановки общейпроблемы нахождения оптимальных методов восстановления значенийлинейных функционалов и операторов.Простейший вариант задачиКолмогорова–Никольского формулируется так. Определен некоторый классW в линейном пространстве непрерывных функций на отрезке [a, b] и заданыточки a 6 x1 < .
. . < xn 6 b. Для любой функции f (·) ∈ W мы хотим4Rbвычислить интеграл a f (x) dx, используя с этой целью приближеннуюPформулу ni=1 qi f (xi ), при этом коэффициенты qi , 1 6 i 6 n, мы хотимопределить таким образом, чтобы полученная формула давала наилучшееприближение сразу для всех функций f (·) из W . Точная постановка задачитакова: требуется найти величинуZn bXqi f (xi ) ,inf sup f (x) dx −q1 ,...,qn f ·∈W ai=1где нижняя грань берется по всем наборам (q1 , . . . , qn ), и определениитакого набора, на котором нижняя грань достигается. Полученный набор,очевидно, будет искомым.Постановки такого типа задач о наилучших квадратурах впервые сталирассматриваться в работах A. Sard [61] и C. М.
Никольского [36].Дальнейшее развитием этой тематики, связанное с общей постановкойзадачи о оптимальном восстановлении линейного функционала на классеэлементов, получило в работе С. А. Смоляка [47]. Пусть X — линейноепространство, W — непустой класс элементов в X и li , i = 0, 1, . . . , n, —линейные функционалы на пространстве X. Предполагается, что элементымножества W известны приближенно, а именно, о каждом x ∈ W известеннабор чисел li (x), i = 1, . . . , n (значения линейных функционалов li , i =1, . .
. , n, на элементе x). Имея эту информацию, мы будем восстанавливатьзначения линейного функционала l0 на элементах W наилучшим образом.Заметим, что любой способ (метод) m восстановления сопоставляет набору(l1 (x), . . . , ln (x)) некоторое число, т. е. m — это функция на Rn . Погрешностьметода m определяется величинойe(l0 , W, l1 , . . . , ln , m) = sup |l0 (x) − m(l1 (x), .
. . , ln (x))|.x∈WЭто «наихудший» результат из всех, которые можно получить, используяданный способ восстановления. Погрешностью оптимального восстановления5будет величинаE(l0 , W, l1 , . . . , ln ) =infm : Rn →Re(l0 , W, l1 , . . . , ln , m),а те методы, на которых достигается эта нижняя грань будут оптимальнымиметодами восстановления.Понятно, что нас интересуют именно этапогрешность и полученные методы.С.
А. Смоляк доказал, что для центрально-симметричного множестваW (то есть W=−W ), среди оптимальных методов обязательноесть линейный (лемма Смоляка).Задача Колмогорова–Никольскогоявляется частным случаем данной постановки. Действительно, пусть X— пространство непрерывных функций на отрезке [a, b], l0 — линейныйфункционал, определенный на пространстве на X, сопоставляющий функцииее интеграл по отрезку [a, b], li — линейные функционалы на пространствеX, сопоставляющие функции ее значение соответственно в точках xi , 1 6 i 6n.
В качестве методов восстановления рассматриваются только линейныеметоды.В дальнейшем математическая теория, связанная с оптимальнымвосстановлением, развивалась и обобщалась в различных направлениях.Значительное внимание уделялось задачам восстановления, в которыхначальная информация об элементах W задана неточно (например, вприведенной постановке числа li (x), i = 1, . . . , n, известны приближенно) и,быть может, бесконечномерна. Для такого рода задач находились условиясуществования линейного оптимального метода, т.
е.леммы Смоляка для них (см., например, [34],[17],справедливость[8]).В работе[18] получен окончательный результат — необходимые и достаточныеусловия существования линейного оптимального метода восстановлениядля достаточно общей постановки задачи оптимального восстановлениялинейного функционала.Помимо этого, было решено значительноеколичество конкретных задач, связанных с нахождением оптимальных6методов восста- новления (см.[63] и монографию [62]).по этому поводу обзоры [57], [58],Подход к нахождению оптимальных методоввосстановления линейных функционалов по неточным исходным данным спозиций теории экстремаль- ных задач впервые был предложен в работе [31].В приведенных обзорах была поставлена более общая задача восстановления, а именно, задача об оптимальном восстановлении значений линейногооператора на классе элементов по неполной и неточной информации о самихэлементах.
