Диссертация (Разработка математических и компьютерных моделей переноса тепла, массы, импульса для систем тепло- и водоснабжения), страница 3

Такойспособ на основе введения дополнительных граничных условий [27, 28, 30, 32 −34, 43, 44, 68] позволяет находить решения практически с заданной точностью идля малых, и для сверхмалых величин времени. Данное обстоятельство объясняется тем, что исходная задача разделяется на две задачи, в каждой из которых интегрированию подлежит уравнение в обыкновенных производных. Кроме того,применительно к решению каждой из этих задач начальное условие выполняется12не по всей ширине пластины, а лишь в одной из граничных точек, что значительно упрощает его выполнение.Существуют различные модификации данного интегрального метода −Гудмена [11] , Швеца [88] , Вейника [4, 9] , Постольника [63] , Био [5] и др. Основной их проблемой является недостаточная точность. Причина в том, что приточном выполнении интегрального уравнения и граничных условий, основноедифференциальное уравнение в данном случае удовлетворяется лишь в среднем.Следовательно, повышение точности связанно с улучшением выполнения исходного уравнения.

Для этого в работах [27, 28, 32 − 34, 39, 43, 44, 68] избрано направление апроксимации искомой функции полиномами с высокими степенями,при определении неизвестных коэффициентов которых используются некоторыедополнительные условия. Такой подход позволяет находить решения практическидля всего времени процесса.Данный метод особенно эффективен для задач динамического и тепловогопограничного слоя, где в качестве временно́й переменой принимается продольнаяпространственная координата [30, 34, 39]. В настоящей диссертации этот методразвит применительно к решению задачи для турбулентного теплового пограничного слоя.Так как решению подлежит параболическое уравнение теплопроводностипри выводе которого ( в формуле Фурье для теплового потока) закладываетсябесконечная скорость переноса теплоты, то введение фронта теплового возмущения является условным и используется лишь для получения простого вида приближенных решений.

Однако в работах [30, 33, 32, 39, 68] показано, что увеличение числа приближений приводит к увеличению скорости движения фронта теплового возмущения и в пределе при n   величина скорости также стремитьсяк бесконечности. Этот факт свидетельствует о том, что данный метод при увеличении числа приближений позволяет получать решения, эквивалентные точным.Результаты исследования распределения температур, давлений и скоростейв движущихся жидкостях приведены в работах Б.С. Петухова, Г.

Шлихтинга, Л.Г.Лойцянского, П.В. Цоя, И.А. Чарного и др. [45, 62, 84, 85, 86, 89, 91]. И, в частно-13сти, при определении давлений и скоростей интегрированию подлежит системанелинейных уравнений движения. Путём соответствующей линеаризации эта система в ряде случаев может быть сведена к двум независимым гиперболическимуравнениям для давления и скорости. Метод их решения, изложенный в [62], является сложным и трудоёмким, а полученные решения, имеющие вид бесконечных рядов, затруднительно использовать в инженерных приложениях. В настоящей диссертации приведена методика построения точного решения гиперболического уравнения, описывающего гидравлический удар в трубопроводе.Определение температуры движущейся жидкости связано с решением задачи Гретца – Нуссельта [62, 84, 85]. Исходная краевая задача является нестационарной задачей конвективно – кондуктивного теплообмена, которая в процессенахождения решения физически обоснованно сводится к решению двух задач –нестационарной и квазистационарной.

Первая задача применяется для участковтеплообменника, которых не достигает возмущение, связанное с температурой,задаваемой на входе в канал. В этих областях процесс теплообмена протекает какбы в неподвижной жидкости, то есть без учёта конвективного теплопереноса попродольной переменной. Применительно к этим областям краевая задача теплообмена сводится к задаче теплопроводности для цилиндра, точные решения которой приведены в известной литературе.Наибольший интерес в данном случае представляет получение решенияквазистационарной задачи (задачи Гретца – Нуссельта). Она ставится для участков теплообменника, которых достигает возмущение, связанное с температуройжидкости, задаваемой на входе в трубу.

Теплообмен в этих областях не зависит отначальной температуры всей жидкости и определяется лишь температурой, задаваемой на входе в трубу. Данная задача является нелинейной – её решение впервые получил Л. Гретц (1885 г.) и, независимо от него, В. Нуссельт (1910 г.).

П.П.Шумиловым и В.С. Яблонским было получено решение, отличное от решений Л.Гретца и В. Нуссельта . Детальный анализ всех этих решений выполнен в работеБ.С. Петухова [62], где приводятся два различных решения этой краевой задачи.Первое из них представляет бесконечный ряд, собственные числа которого опре-14деляются из решения степенного алгебраического уравнения. Учитывая трудности получения решений таких уравнений, число членов бесконечного ряда будетнебольшим, а это значит, что получение решений для малых величин продольнойпеременной не представляется возможным.Второе решение, приведённое в [62], состоит из трёх различных формул,каждая из которых может быть применена лишь в определённом диапазоне поперечной пространственной переменной.

К тому же, разделение границ, в которыхсправедливо каждое из решений, не приводится. В связи с чем, использование таких решений для выполнения практических расчётов весьма затруднительно. Внастоящей работе решение данной задачи получено путём введения фронта теплового возмущения и некоторых дополнительных условий, задаваемых на границе области.15Глава 2. Компьютерные модели трубопроводных системВ связи с ростом параметров эксплуатации оборудования и усложнениемтехнических процессов и систем для их адекватного описания и анализа большоезначение приобретают компьютерные модели, позволяющие с высокой точностьювоспроизводить протекающие в них процессы.

Применительно к сложным трубопроводным сетям особенно эффективными и универсальными являются компьютерные модели, основанные на электрогидравлической аналогии с использованием законов Кирхгофа. Такие модели могут быть построены для нефте – водо – газопроводов и любых других трубопроводных систем, служащих для перемещениякакого – либо продукта. Компьютерная модель позволяет рассчитать многие варианты работы объекта и выбрать наиболее оптимальный из них.

При этом возможно проведение вычислительных экспериментов по расчету различных режимов работы объекта, связанных с включением и отключением оборудования, изменением параметров работы, расчётом оптимальных вариантов реконструкции ипроектированием новых участков и проч.2.1. Математическое моделирование течения жидкости втрубопроводных системахЭффективным направлением при расчёте сложных гидравлических цепей,подключенных к одному или нескольким источникам, является построение компьютерных моделей, позволяющих моделировать протекающие в них гидравлические процессы, при рассмотрении их как единых гидравлических систем. С ихпомощью можно определять расходы давления, скорости течения, потери давления, расход электроэнергии на перемещение и проч. В основе моделей заложеныдва закона Кирхгофа, используемые для расчетов электрических сетей.

Их применение к гидравлическим сетям основано на аналогии процессов протекания элек-16трического тока в электропроводных материалах и жидкости в трубопроводныхсетях [67].Идею метода поясним на примере нахождения распределения расходов всети, состоящей из кольца, которое имеет три ответвления (рис. 2.1).

По участкамa, b, c, d расходы обозначим через Q a , Qb , Q c , Qd ,  по ответвлениям – Q1 , Q 2 ,Q3 . Требуется найти расходы по участкам кольца при известном расходе Q , зада-ваемом на входе в кольцо. Расходы Q1 , Q 2 , Q3 по ответвлениям заданы, и суммаих равна расходу на входе в кольцо Q  Q1  Q2  Q3 .Q1QaQbQ2QQdQcQ3Рис. 2.1. Схема кольцевой сетиВведем следующие допущения: 1) поступление среды в узел считаем положительным, а отток– отрицательным; 2) потеря напора для среды, движущейся почасовой стрелке, положительна, против – отрицательна.По первому закону Кирхгофа, при расчётах гидравлических сетей должновыполняться равенство поступления и оттока в любом узлеnQi 0,(2.1)i 1где n – число соединяющихся в узле трубопроводов; Qi (i  1, n) – расходы полюбому из трубопроводов.По второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура сумму напоров следует приравнять нулюnn H i   S i Qi2  0 ,i 1(2.2)i 1где Si (i  1, n) , Qi (i  1, n) – гидравлические сопротивления и расходы наi – ом участке.17Применяя итеративный метод расчета, на основе (2.1) и (2.2) можно определить расходы по участкам сети при заданном расходе Q на входе в кольцо.

Первый шаг итерации связан с заданием произвольных расходов воды Qa , Qb , Q c , Qdна каждом участке кольца. Отсюда в узлах 0, 1, 2 , исходя из первого законаКирхгофа, определяемQd  Q  Qa ;Qa  Q1  Qb ;Qb  Q2  Qc .Запись уравнения Кирхгофа для узла 3 не требуется, так как расходQ3  Qd  Qc при известных значениях расходов на других участках сети.Используя принятые расходы и второй закон Кирхгофа, находятся невязкинапоровnH   S i Qi2  S a Qa2  S b Qb2  S c Qc2  S d Qd2 .(2.3)i 1Если H положительна, то, следовательно, перегружены участки, с направлением движения по часовой стрелке, и недогружены, где противоположное направление движения.

Чтобы приблизить невязку напоров H к нулю вводитсяувязочный расход Q . Он вычитается из расхода на перегруженных и добавлятся– на недогруженных участках. Увязочный расход Q можно найти из (2.3), положив H  0 . Считая, что невязка найденная из (2.3), положительна, увязочныйрасход Q определяется по соотношению2222S a Qa  Q   S b Qb  Q   S c Qc  Q   S d Qd  Q   0 .(2.4)Пренебрегая членами Q  , считая их малыми величинами, соотношение2(2.4) относительно Q приводится к алгебраическому линейному уравнению. Егорешение nQ  H /  2 S i Qi  . i 1(2.5)nгде S i Qi  S a Qa  S b Qb  S c Qc  S d Qdi 1Q и H всегда одинаковые.– , всегда положительная величина.