Диссертация (Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы), страница 9

При парциальном охлаждении,+ (1 − п )1 + ( − 1) пп пж〉 =г≡ж−( − 1) п (1 − п )∆1 + ( − 1) пж.По формуле (2.43) для указанных условий теплообмена находим=+∆ ,где=п г̅≡∆̅;∆ =[ 1 + ( − 1) п ]∆(жп−г ) ≡ sign( − 1)∆∆∆ .жСледует заметить, что при характерных для парциально охлаждаемой лопаткиусловиях теплообмена формула (2.42) для любого момента времени дает тот жерезультат, что и (2.43), т.е.

замена переменного коэффициента теплоотдачи эквивалентным постоянным практически не влияет на колебания температуры.Напряжения и деформации, вызванные в твердом теле неравномерностьютемпературы, можно определить, проинтегрировав несвязанную динамическуюзадачу термоупругости в перемещениях [52]∇+̈∇(∇ ⋅ )2(1 + )−=∇ ,( , , ) ∈ , > −∞;1−21−2= 0,(ΤЗдесь=,ж ,()∈,,,(2.44), > −∞;)∈, > −∞.= ( , , , ) – вектор перемещения материальной частицы из точки скоординатами ( , , ) в момент времени , м; ̈ = ̈ ( , , , ) ≡тор ускорения материальной частицы, м⁄с ;пространения поперечных волн в твердом теле, м⁄с;н– век-– коэффициент Пуассона;эффициент линейного теплового расширения, К ;= ( , , , )= ( , , , )−⁄=– ко-⁄ – скорость рас– модуль сдвига, Па;– изменение температуры тела, К;н= const62– начальная температура тела, К; Τ – симметричный тензор напряжений, Па;– орт внешней нормали к поверхности тела;ж=ж(,,) – векторнапряжения, вызванного действием жидкой среды на поверхность тела, Па;= \,– участки поверхности тела.

Решение описанной задачи термоупру-гости не представляет таких принципиальных трудностей, как решение задачитеплопроводности, поскольку все коэффициенты, стоящие перед неизвестнымифункциями, не зависят от времени. В таком случае упругие гармоники не связаны между собой, а постоянная составляющая напряженно-деформированногосостояния не влияет на колебательную. Поскольку термоциклические напряжения полностью определяются колебаниями температуры, то при наличии термического слоя для их исследования могут быть использованы те же расчетныесхемы, что и для тепловых волн.Решая (2.44) методом разделения переменных, получаем( , , , )=где( , , ),=2=+[( , , ),cos(=)+sin()] ,(2.45)( , , ) – коэффициенты ряда, м.Подставляя (2.45) в (2.44) и используя ортогональность тригонометрическойсистемы функций, находим уравнения для коэффициентов:∇+∇(∇ ⋅ ) 2(1 + )=∇1−21−2,( , , ) ∈ ;(2.46)∇+∇(∇ ⋅ )+1−2=2(1 + )∇1−2,( , , ) ∈ ;(2.47)∇+∇(∇ ⋅ )+1−2=2(1 + )∇1−2,( , , ) ∈ .(2.48)Аналогичным образом могут быть представлены граничные условия, замыкающие (2.44).

Решив (2.46) – (2.48) с соответствующими граничными условиями,получаем поле перемещения (2.45) и определяем с помощью обобщенного закона Гука и соотношений между компонентами вектора перемещения и тензорадеформаций напряженное состояние тела.63Если инерционным членом ̈ ⁄в (2.44) можно пренебречь, то приходимк несвязанной квазистатической задачи термоупругости в перемещениях, длякоторой уравнения (2.44), (2.47) и (2.48) принимают вид:∇(∇ ⋅ ) 2(1 + )=∇ ,( , , ) ∈ ;1−21−2∇(∇ ⋅ ) 2(1 + )∇+=∇ ,( , , ) ∈ ;1−21−2∇(∇ ⋅ ) 2(1 + )∇+=∇ ,( , , ) ∈ .1−21−2Циклические напряжения вызывают усталость материала детали.

Если∇+напряженно-деформированное состояние твердого тела, обусловленное колебаниями температуры, является упругим, то усталость будет многоцикловой (высокочастотной) [65, 87]. Следует отметить, что термическая усталость, под которой понимают малоцикловую (низкочастотную) усталость в условиях циклического изменения температуры [87], изучена достаточно хорошо [20, 26, 33,114, 119, 125]. В то же время в известной автору литературе отсутствуют данные о высокочастотной термоусталости, что объясняется специфичностью данного явления, практически не встречающегося на практике. Хотя для такогопроцесса наиболее достоверные критерии усталостной прочности могут бытьвыработаны только на основе экспериментальных исследований, при отсутствии опытных данных имеются все основания применять методы расчета выносливости в условиях изотермического циклического нагружения.

Это объясняется тем, что при небольших колебаниях температуры свойства материаламеняются незначительно, поэтому при вычислениях можно использовать значения его механических свойств, соответствующих средней за период температуре тела в рассматриваемой точке.Гипотезы усталостного разрушения для общего случая, когда напряженное состояние тела является сложным, т.е. компоненты симметричного тензоранапряжений64Τ =отличны от нуля, представляют собой обобщения известных гипотез прочностина случай циклических напряжений [15, 16, 62, 96, 97, 128]. Для определениякоэффициента запаса многоцикловой усталостной прочности наиболее удобноиспользовать формулу [15]=2max ∆( , , )∈где,(2.49)экв– предел выносливости материала при симметричном цикле нагруже-ния, Па;∆∆==1∆√2−∆1−+(∆,∆,∆=∆+ ∆∆∆ √2экв∆,∆++(∆−∆+∆,∆∆,∆) +6(2.50);.−∆∆−+2) +6 ∆−∆+∆∆+∆;∆;++∆+– компоненты тензора размахов колебанийнапряженийΤ∆ = max Τ − min Τ ;,,,,,– эффективные коэффициенты концентрациинапряжений, учитывающие влияние состояния поверхности, масштабного эффекта и концентрации напряжений,,,,,на усталостнуюпрочность;> 0 – коэффициент чувствительности материала к асимметриицикла;– наибольшее главное значение тензора среднеарифметических.напряженийΤ=1max Τ + min Τ2.65В (2.49) входит наибольшее значение размаха колебаний эквивалентногонапряжения ∆экв ,которое обычно имеет место на поверхности тела.

Такжеследует заметить, что величина интенсивности размахов колебаний напряжений условно обозначена как ∆ , хотя она не является размахом колебаний интенсивности напряжений, которая определяется по формуле=−++(2−−) +6++.В работах [62, 97] отмечается, что компоненты тензора напряженийдолжны изменяться не только синхронно, но и синфазно, т.е.

одновременно достигать максимумов и минимумов. В общем случае колебания напряжений могут не быть синфазными, однако при отсутствии экспериментальных данныхвполне допустимо использовать указанные формулы. В качестве примера можно привести эмпирическую формулу Гафа и Полларда [128], которая применима как для синфазных, так и несинфазных колебаний нормального и касательного напряжений.Как было отмечено в начале главы, любая ограниченная периодическаяфункция характеризуется средним за период значением, которое более удобнодля расчетов с использованием тригонометрических рядов Фурье, чем среднееарифметическое ее максимального и минимального значений. Для произвольных законов колебаний напряжений тензоры среднеарифметических и среднихза период напряжений совпадать не будут. Однако если принять во внимание,< 1, то вместо (2.50) можночто обычно разница между ними невелика, аиспользовать формулу∆гдеэкв=∆+2,(2.51)– наибольшее главное значение тензора средних за период напряже-нийΤ =1Τ.66Если отсутствуют концентраторы напряжений, поверхность имеет высокое качество обработки, окружающая среда не вызывает коррозию материала, а влия≈ 1.

Если помимо этого стационарныение масштабного фактора мало, тосоставляющие напряжений равняются нулю, то (2.51) принимает вид:∆экв≈∆ .(2.52)Для оценочных расчетов многоцикловой усталости можно принять в качестве условия прочности= 1,7 ÷ 3 [97].Необходимо отметить, что в основе классической теории теплопроводности лежит феноменология Фурье, связывающая векторное поле плотности теплового потокасо скалярным полем температуры :=− ∇ .(2.53)Из (2.53) следует, что тепловое возмущение распространяется в пространстве сбесконечной скоростью, поскольку изменение температуры в некоторой области мгновенно сказывается на температуре в сколь угодно удаленной от нееточке.

В действительности теплота распространяется с конечной, хотя и довольно большой, скоростью, поэтому в большинстве практических задач ееможно не принимать во внимание. Однако для некоторых задач по тепловомуудару, когда температура поверхности тела или граничащей с ней среды меняется скачкообразно, и ряда других процессов [50, 67] этого сделать нельзя. Втаких случаях следует заменить (2.53) уравнением Максвелла-КаттанеоЛыкова, учитывающим инерцию теплового потока [50]:=− ∇ −где̇,– время релаксации теплового потока, с; ̇ ≡(2.54)⁄– скорость измене-ния вектора плотности теплового потока. Следует отметить, что кроме (2.54)существуют и другие более общие, чем (2.53), законы теплопроводности [139].В ряде работ, затрагивающих вопрос о конечной скорости распространения теплоты, отмечается ее качественное влияние на процесс формированиятемпературных полей. Например, авторы [67] исследовали поле температурыбесконечной пластины при термическом ударе на ее поверхностях в начальный67момент времени.