Диссертация (Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы), страница 5

С использованием найденной зависимости из закона Ньютона был определен нестационарный коэффи-29циент теплоотдачи и исследован сдвиг фаз между плотностью теплового потокаи температурным напором.В рассмотренных процессах теплообмена между твердыми телами и жидкой средой с переменной температурой коэффициент теплоотдачи считался постоянным, что позволило использовать для их исследования метод разделенияпеременных, метод интегральных преобразований и метод Дюамеля. В действительность его величина изменяется как вдоль поверхности тела, так и вовремени [76].

Для ряда задач нестационарной теплопроводности, в том числе идля рассматриваемой в диссертации, коэффициент теплоотдачи зависит большеот времени, чем от координаты точки поверхности [50]. С помощью специальных функциональных преобразований к ним также можно свести задачи теплопроводности для областей с движущимися границами [50, 51, 53, 55].

Решениезадач данного класса сопряжено с трудностями принципиального характера,поскольку, оставаясь в рамках классических методов математической физики,невозможно согласовать решение линейного дифференциального уравнениятеплопроводности с граничным условием (ГУ) III рода, содержащим произвольно изменяющийся во времени коэффициент теплоотдачи.

На практикеобычно сводят исходную задачу теплопроводности с нестационарным коэффициентом теплоотдачи к решению интегрального уравнения Вольтерры II рода,для чего используют операционный метод [18, 50, 51, 53, 54, 101, 102, 103], интегральные преобразования по пространственной переменной [50], метод тепловых потенциалов [50, 61] или готовое решение соответствующей задачиНеймана [30].Применение преобразования Лапласа рассмотрим на примере решениязадачи теплопроводности для полупространства при циклическом изменениикоэффициента теплоотдачи:Fo⋆=⋆,⋆> 0,Fo⋆ > 0;(1.6)30(0, Fo⋆ )⋆= Bi⋆ (Fo⋆ )[ (0, Fo⋆ ) −lim⋆⋆→⋆(где= (ства, К;н⋆, Fo⋆ ) ≡ (⋆(1.8)⋆(1.9)≥ 0,– избыточная температура полупростран⋆= const – начальная температура, К;=2 ⁄рактерный размер, м;⁄⋆= ⁄– безразмерная ко-– координата точки полупространства, м;ордината точки;с ; Fo⋆ =н⋆⋆ж (Fo )=⋆ж (Foизбыточная температура жидкой среды, К; Fo⋆ =⋆⁄⋆=⁄– ха-– круговая частота циклического процесса,– число Фурье;Bi⋆ (Fo⋆ ) = (Fo⋆ )(1.7)> 0;= 0,Fo⋆ > 0;, 0) = 0,, Fo⋆ ) −⋆⋆ж (Fo )],Fo+ Fo⋆ ) ≡⁄⋆⋆ж (Fo ) − н–– критерий Фурье;– критерий Био; (Fo⋆ ) = (Fo⋆ + Fo⋆ ) – коэффициенттеплоотдачи, Вт⁄(м ⋅ К).Из физического смысла задачи и условий (1.8) и (1.9) также следует, чтоlim⋆→= 0,Fo⋆ > 0.(1.10)Применяя к (1.6) – (1.9) преобразование Лапласа⋆( ⋆ , ) ≜ ℒ [ ( ⋆ , Fo⋆ )] ≡(⋆, Fo⋆ ) Fo⋆ ,получаем краевую задачу⋆(0, )⋆−= 0,⋆> 0;= ℒ{Bi⋆ (Fo⋆ ) (0, Fo⋆ ) − Bi⋆ (Fo⋆ )lim⋆→( ⋆, )⋆⋆ж (Fo )};= 0,имеющую решение⋆(⋆, )=√√ℒ {Bi⋆ (Fo⋆ )[⋆ж (Fo ) −(0, Fo⋆ )]}.31Возвращаясь к оригиналам и используя в правой части теорему Бореля о свертке, находим решение (1.6) – (1.9) в виде⋆⋆⋆(⋆⋆), Fo=(1Fo⋆√)−Bi⋆ ( )[ж() − (0, )].Из него следует, что температура в любой точке полупространства может бытьопределена через температуру его поверхности.

Приняв в формуле⋆= 0, при-ходим к интегральному уравнению Вольтерры II рода⋆⋆)(0, Fo=⋆⋆(1Bi)ж( )Fo⋆ −√Bi⋆ ( ) (0, )1−,Fo⋆ −√откуда находится зависимость температуры поверхности от времени в виде ряда⋆)(0, Fo(Fo⋆ )=⁄,члены которого определяются по рекуррентным формулам⋆⋆)(Fo=⋆Bi⋆()ж(Fo⋆ −)⋆)(Fo;=−Bi⋆ ( )Fo⋆ −( ).Применение интегральных преобразований рассмотрим на примере аналогичной (1.1) – (1.4) краевой задачи для пластины, в которой коэффициенттеплоотдачи является периодической функцией времени:Fo=,0 <(0, Fo)−(1, Fo)(1.11)< 1,Fo > 0;(1.12)= 0,Fo > 0;= Bi(Fo)[ (1, Fo) −( , 0) = 0,0 ≤ж (Fo)],Fo≤ 1.> 0;(1.13)(1.14)Здесь Bi(Fo) = (Fo) ⁄ – критерий Био; (Fo) = (Fo + Fo ) – коэффициенттеплоотдачи, Вт⁄(м ⋅ К).32Следует заметить, что формальное использование конечного косинуспреобразования Фурье дает характеристическое уравнениеctg=⁄Bi(Fo) ,=(Fo).из которого следует, чтоТаким образом, в ядро интегрального преобразования входят пространственная переменная и время, а параметр преобразования является нестационарным, поэтомуℱFo≠Fo.Следовательно, для интегрирования краевой задачи теплопроводности необходим иной подход.

Снова воспользуемся для решения (1.11) – (1.14) конечнымкосинус-преобразованием Фурье, однако примем известной функцию в правойчасти (1.13). В таком случае решение ОДУ для изображения примет вид( , Fo) =Bi( )[cosПоскольку в данном случаеж() − (1, )].является неотрицательным корнем характери-стического уравненияsin= 0,то, согласно формуле обращения,( , Fo) =Bi( )[+2ж() − (1, )](−1) cos(+)() ()Bi( )[ж() − (1, )].Найденная зависимость позволяет определить температуру в любой точке пластины через температуру ее поверхности, которая, соответственно, описываетсяинтегральным уравнением Вольтерры II рода.

Это уравнение может быть реше-33но методом последовательных приближений. В [50] было получено его приближенное решение для Fo ≥ 0,4.Помимо замены дифференциальной формулировки проблемы интегральной существуют и другие, в основном приближенные, аналитические методырешения краевой задачи теплопроводности с нестационарным коэффициентомтеплоотдачи, наиболее полный обзор которых приведен в [51, 53].

Отметимлишь некоторые подходы, применявшиеся исследователями.И.М. Приходько [99] сначала сводил краевую задачу к интегральномууравнению Фредгольма II рода, а затем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. М.М. Сидляр [108], используя вариационный метод, искалрешение в виде ряда Фурье по системе собственных функций, соответствующих задаче Штурма-Лиувилля при некотором постоянном коэффициенте теплоотдачи.

В.Н. Козлов [63] с помощью операционного метода получил обыкновенное дифференциальное уравнение бесконечного порядка для температурыповерхности пластины, которое в дальнейшем решал методом бичастотной передаточной функции. Цой П.В. [136] применял метод взвешенных невязок.Н.М. Цирельман в своей монографии [135] рассматривал использование вариационного метода с функционалом типа свертки.В работах Ю.В. Видина [21, 22, 23] решение искалось в виде, аналогичном зависимости для поля температуры при постоянном коэффициенте теплоотдачи, однако в него дополнительно вводились две функции времени, обеспечивающие точное выполнение краевых условий, а собственные значения находились из характеристического уравнения с нестационарным коэффициентомтеплоотдачи.

В результате задача сводилась к определению неизвестных функций из решения двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, полученных методом взвешенных невязок при единичной весовой функции. В статье [22] Ю.В. Видин учитывал как конвективный, так и лучистыйтеплообмен, поэтому для решения задачи дополнительно применялся методитераций.34В работах [145, 27, 28] рассматривались три закона изменения коэффициента теплоотдачи и температуры жидкой среды во времени – линейный, экспоненциальный и гармонических колебаний.

Для решения задачи использовалсяоперационный метод и свойства преобразования Лапласа – теорема о дифференцировании изображения для линейного закона и теорема смещения дляостальных. Во всех исследованиях была допущена идентичная ошибка – в пространстве изображений теоремы операционного исчисления применялись только к фундаментальному решению ОДУ, хотя постоянная интегрирования такжезависела от параметра преобразования Лапласа. Правильные решения задач сиспользованием теоремы смещения получены в работах Б.Я. Любова с соавторами [79, 80], где функциональные уравнения для постоянных интегрированияв пространстве изображений решались методом последовательных приближений.В некоторых исследованиях тепловой процесс разбивался на два последовательных этапа – инерционный и регулярный. Дальнейшие подходы к решению могли различаться. В работе Ю.С.

Постольника [98] с помощью специальной замены переменной, допускаемой при постоянной температуре жидкости, линейное уравнение теплопроводности приводилось к нелинейному, а ГУIII рода – к ГУ II рода, в правую часть которого входил нестационарный коэффициент теплоотдачи, и полученная задача решалась методом осредненияфункциональных поправок. Ю.Л. Розеншток [100] использовал метод КарманаПольгаузена из теории пограничного слоя, аппроксимируя поле температурыполиномом второго порядка.

В исследованиях В.А. Кудинова с коллегами[66, 112] использовался интегральный метод теплового баланса на основе введения фронта температурного возмущения, а зависимость температуры от пространственной переменной искалась в виде полинома. Для повышения точности решения вводились дополнительные граничные условия, определяемые изисходного дифференциального уравнения и основных граничных условий.35Следует отдельно выделить разработанный А.В. Аттетковым и И.К. Волковым метод расщепления ядра обобщенного интегрального преобразования попространственной переменной, который позволяет получить решения внешнихзадач теплопроводности в аналитически замкнутом виде. Подобная возможность объясняется независимостью параметра преобразования от времени длячастично ограниченных областей. Использованию метода посвящена серияпубликаций [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] и другие статьи.

Рассмотрим основную идеюподхода, для чего снова вернемся к задаче (1.6) – (1.10). Найдем ее решение спомощью обобщенного интегрального преобразования Фурье, для которогоизображение температуры полупространства⋆)( , Fo⋆⋆ )]≜ ℱ [ ( , Fo⋆)cos(≡+Bi⋆ (Fo⋆ )sin(⋆)( ⋆ , Fo⋆ )⋆.Непосредственное использование преобразования в представленном виде оказывается невозможным, поскольку его ядро зависит не только от пространственной координаты, но и от времени, из-за чегоℱ≠Fo⋆Fo⋆.Представим ядро интегрального преобразования в виде1ℳ ( , Fo⋆ )2где⋆⋆+ ℳ (− , Fo⋆ )≡ ℜ ℳ ( , Fo⋆ )⋆= √−1 – мнимая единица; ℜ ℳ ( , Fo⋆ )⋆,– действительная частькомплекснозначной функции вещественного переменного;⋆)ℳ ( , FoBi⋆ (Fo⋆ )=1−.В таком случае для изображений получаем зависимости( , Fo⋆ ) =1ℳ ( , Fo⋆ )2+ℳ (− , Fo⋆ )⋆⋆(⋆(⋆, Fo⋆ ), Fo⋆ )⋆⋆+1= [ℳ( , Fo⋆ ) ( , Fo⋆ ) +236+ℳ (− , Fo⋆ ) (− , Fo⋆ )] ≡ ℜ[ℳ( , Fo⋆ ) ( , Fo⋆ )];ℱ=Fo⋆( , Fo⋆ )+ ℳ (− , Fo⋆ )⋆Fo1ℳ( , Fo⋆ )2(− , Fo⋆ )≡Fo⋆⋆)≡ ℜ ℳ ( , Foℱ= Bi⋆ (Fo⋆ )⋆⋆ж (Fo ) −( , Fo⋆ );Fo⋆( , Fo⋆ ) ≡≡ Bi⋆ (Fo⋆ )⋆ж (Fo ) −ℜ[ℳ( , Fo⋆ ) ( , Fo⋆ )].С их учетом изображение уравнения теплопроводности (1.6) принимает вид( , Fo⋆ )+Fo⋆⋆)ℜ ℳ ( , Fo( , Fo⋆ ) − Bi⋆ (Fo⋆ )⋆ж (Fo )= 0.( , Fo⋆ ) − Bi⋆ (Fo⋆ )⋆ж (Fo )= 0,Положим для мнимой части выражения( , Fo⋆ )+Fo⋆ℑ ℳ ( , Fo⋆ )тогда( , Fo⋆ ) будет решением ОДУFo⋆Bi⋆ (Fo⋆ ) ж (Fo⋆ )=ℳ ( , Fo⋆ )+с начальным условием( , 0) = 0.Интегрируя его, находим⋆⋆)( , FoBi ) ж ( )ℳ( , )⋆=⋆⋆((=⋆)Bi⋆ ( ) ж ( )− Bi⋆ ( )⋆⋆)( , Fo(=⋆)⋆(Bi)ж()+ Bi⋆ ( )Bi⋆ (Fo⋆ )+ Bi⋆ ( ).По формуле обращения определяем искомое решение( ⋆ , Fo⋆ ) =2cos(⋆)+Bi⋆ (Fo⋆ )sin(⋆)( , Fo⋆ )+ Bi⋆ (Fo⋆ ).;37Большинство указанных методов пригодно для решения задач теплопроводности с произвольными зависимостями коэффициента теплоотдачи и температуры жидкости от времени, в том числе и периодическими.