Диссертация (Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы), страница 13

Из графиков следует, чтодаже при относительно низких частотах процесса, не характерных для турбомашин, приближенная формула (2.119) имеет приемлемую точность. Соответствующие графикам числовые значения величин приведены в табл. 2.4.Границы применимости (2.119) правильнее исследовать в пространствебезразмерных параметров процесса.

Расчеты, проведенные при характерныхдля газовых турбин значенияхп,Bi, , Fo , подтвердили возможность приме-нения приближенной формулы (2.119). На рис. 2.17 представлены зависимости̅ от Fo при различныхдляп= 0,3 и Bi = 1.93а)б)Рис. 2.16. Средняя за период температура цилиндра (а) и относительная погрешность ееопределения по приближенной формуле (б) в зависимости от периода процессаТаблица 2.4Средняя за период температура цилиндра и относительная погрешность ееопределения по приближенной формуле в зависимости от периода процесса〈,с0,010,1110100,К1109,31110,51114,31125,71159,11108,71108,71108,71108,71108,70,61,96,118,755,2ж〉,К̂ ,%Рис. 2.17.

Средняя за период безразмерная избыточная температура цилиндра для п = 0,3 иBi = 1 в зависимости от критерия Фурье Fo при значениях коэффициента интенсивностиохлаждения:1 – = 2; 2 – = 3; 3 – = 4; 4 – = 5Так как у цилиндра⁄= 0, то при условиях парциального охлажде-ния можно заменить переменный коэффициент теплоотдачи эквивалентнымпостоянным=̅.[ 1 + ( − 1) п ](2.120)94Чтобы установить влияние нестационарной составляющей коэффициента теплоотдачина колебания температуры и оценить погрешность определения ∆Рис. 2.18.

Размах колебаний температуры поверхности цилиндрарадиуса = 15мм при = 1с и̅ = 2300 Вт⁄(м ⋅ К) в зависимости от коэффициенталиндров радиусов, бы-= 0,1мм и= 15мм,описываемых задачей (2.104) – (2.106), при̅ = 2300 Вт⁄(м ⋅ К) и различных периодах .= 0,3. Из них следует, что ∆в зависимости отприимеет экстремум при некотором фиксирован-ном значении , причем достигает его вместе сция имеет место и при другихнали проведены расчеты полей температуры ци-На рис. 2.18 – 2.20 показано, как изменяется ∆ппри заменеп.(рис.

2.21). Подобная ситуа-Используя (2.120), находим точку максимума=1−п.па)б)Рис. 2.19. Размах колебаний температуры поверхности цилиндра радиуса = 0,1мм (а) и= 15мм (б) при = 0,1с и ̅ = 2300 Вт⁄(м ⋅ К) в зависимости от коэффициентаа)б)Рис. 2.20. Размах колебаний температуры поверхности цилиндра радиуса = 0,1мм (а) и= 15мм (б) при = 0,01с и ̅ = 2300 Вт⁄(м ⋅ К) в зависимости от коэффициента95При больших значениях , как следуетиз рис.

2.18 – 2.20, колебания температурыначинают уменьшаться. Это связано с тем,что падает интенсивность нагрева цилиндра.В предельном случаеlimг→= 0; lim→п= ̅⁄п,поэтому тепловой поток через поверхностьРис. 2.21. Эквивалентный коэффициент теплоотдачи в зависимости от коэффициента при степени парциальности:1 – п = 0,1; 2 – п = 0,3; 3 – п = 0,5имеет место в случаецилиндра перестает менять свой знак, колебания температуры исчезают, и цилиндрохлаждается доп.Аналогичная ситуация→ 0, когдаlimга цилиндр прогревается дог.→= ̅ ⁄(1 −п ) ; lim→пКак показывают расчеты, замена ( ) на= 0,в ГУ (2.106) незначительновлияет на ∆ ( ) при малых колебаниях температуры. Отличие размаха ∆,найденного из решения задачи (2.104) – (2.106) при постоянном коэффициентетеплоотдачи, от представленного на рис. 2.18 – 2.20 размаха ∆достаточномало.

Наибольшее отклонение в рассматриваемом диапазоне измененияставляет около 2% при= 1с, 0,7% при= 0,1с и 0,2% приАналогичная картина имеет место и при другихв расчетах при замене ( ) нап.со-= 0,01с.Значительная погрешностьвозникает в случаях, когда нарушаются допу-щения, принятые при выводе (2.42):≉〈ж〉+∆ ; ∆≲∆ж.При этом качественное влияние нестационарной составляющей коэффициентатеплоотдачи на ∆сохраняется.Необходимо отметить еще одну важную особенность, которая была обнаружена в ходе расчетов: кривые, изображающие зависимости ∆отдля раз-личных не слишком малых радиусов цилиндра при прочих равных условиях,96практически подобны. Указанная особенность позволяет определить размах∆для любого не слишком малого радиуса цилиндра, если известно его зна-чение для одного . В качестве него целесообразно выбрать→ ∞, посколькув таком случае происходит вырождение радиуса цилиндра как параметра задачи, что значительно упрощает ее анализ.

Это дает основание более детальнорассмотреть поле температуры цилиндра при→ ∞ и в других предельныхслучаях.2.4. Предельные состояния поля температуры цилиндраДля исследования предельных состояний поля температуры цилиндраможно было бы использовать найденные аналитические решения. Однако напрактике оказывается гораздо проще и удобнее проинтегрировать предельнуюформу исходной краевой задачи, чем получить предельный вид ее решения.Используя указанный подход, исследуем три предельных состояния поля температуры, наиболее важных с практической точки зрения.2.4.1.

Высокочастотный процессДля турбомашин характерны высокие скорости вращения ротора, поэтому при парциальном охлаждении лопаток параметры жидкой среды будут изменяться достаточно быстро. Определим поле температуры при→ ∞, для че-го запишем квазистационарную задачу (2.7), (2.8) для цилиндра:1̂−̂̂(2.121),0 < ̂ < 1;̂(0)= 0;̂(1)= Bi[ (1) − 〈̂ж〉(2.122)(2.123)].Здесь〈ж〉=Bi( ̂ )ж(̂)̂Bi( ̂ )̂.97После интегрирования (2.121) – (2.123) находим ( ̂ ) = 〈размерным переменным, получаем, что∆ ( ) → 0 при( , )→〈ж〉ж〉.

Возвращаясь ки, соответственно,→ ∞. Кроме того, для парциального охлаждения( )ж()+ ( , )→( , )ж( ) +−ж−→ ∞,причто строго обосновывает замену переменного коэффициента теплоотдачи эквивалентным постоянным в высокочастотном процессе.2.4.2. Безградиентное поле температурыОДУ (2.9) для цилиндра принимает вид:( )[=где( ) = 2 ( )⁄(ж() − ( )], > −∞,(2.124)) – темп процесса теплообмена, Гц. Представляется це-лесообразным получить приближенное решение (2.124) с помощью используемого ранее подхода, а затем сравнить его с точным решением (2.13).Как и ранее, решение задачи без начальных условий (2.124) может бытьполучено в виде тригонометрического ряда Фурье, но только с постояннымикоэффициентами:( )=2[+cos()+sin()] .(2.125)Для определения коэффициентов ряда предварительно получим разложения( )=2+[cos()+sin()] ;(2.126)ж( )ж( ) =( ) ( )=где22ж++[cos(cos()+)+жsin(sin() ;)] ,(2.127)(2.128)98==2=22(+);++12[(+)+(+)];+12[(−)−(−)];= 0;==−;.Подставив (2.125) – (2.128) в (2.124) и воспользовавшись свойством ортогональности тригонометрической системы функций, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений с бесчисленным множеством неизвестных, которая может быть записана в матричной форме:ℊ…ℊ ,⋱⋮… ℊ,… ℊ ,⋱⋮,⋮⎛⎜ℊℊ⎝ ⋮,,ℊ…⎡⎡ ⎤⋱⎞ ⋮⎢ ⋮⎢ ⎥…⎟ ⎢ ⎥ = 2 ⎢⎢… ⎢ ⎥⎢⋱⎠ ⎣ ⋮ ⎦⎣ ⋮,⋮ℊℊ,,⋮ж⎤⎥ж⎥ ,⎥ж⎥⎦(2.129)=2;гдеℊ,=ℊℊ;ℊ,=;ℊ,=;ℊ,=+;ℊ,,=−−2δ= 1,2, … ;=2,=,;ℊ+;ℊ+2=,,−δ,;;= 1,2, … .Редуцируя бесконечную систему (2.129) до номераи определяя из нее значе-ния коэффициентов в (2.125), получаем приближенное решение (2.124) в видечастичной суммы тригонометрического ряда Фурье:〈 〉( )≈〈 〉()=2+〈 〉cos()+〈 〉sin() .(2.130)Используя (2.13), находим, что при характерных для парциально охлаждаемой лопатки законах изменения ( ) иж()991− (п+1−( )=п1−⎨⎩ г− 1−п)⎧гппг(∆ж ,0)п∆≤ ≤п;< ≤ ,ж , поткуда следует, что∆ =(1 −) 1−1−п−= ж−п(ппп)г∆гж;∆ .(2.131)(2.132)гЗдесьп=г==2п2г2 ̅;;.Используя (2.131) и (2.132), можно получить результаты, вполне очевидные дляпредельных состояний безградиентного поля температуры: при бесконечно высокой частоте процесса=〈lim ∆ = 0; lim→→ж〉; при бесконечно низкой частоте процессаlim ∆ = ∆→ж ;lim=→ж; при бесконечно малом радиусе цилиндраlim ∆ = ∆→( )=В частном случаеж ;lim=→ж.= const найденные зависимости совпадают с ре-зультатами, полученными А.Д.

Трухнием в работе [124]. Если взять в качествепостоянного значения темпа величину∆=(1 −п=2) 1−1−(⁄(), топ)∆ж.(2.133)100Из (2.131) и (2.133) следует, что при высокой частоте процесса для безградиентного поля температуры∆ ≈∆п (1≈п)−∆(2.134)ж.Отсюда вытекает вполне очевидный при постоянном коэффициенте теплоотдачи факт – размах колебаний температуры достигает наибольшего значения прип= 0,5. Если учесть, чтоп=ппг+ (1 −п),гто из (2.134) можно определить точку максимума для нестационарного коэффициента теплоотдачи, которая имеет место при высокой частоте процесса:=п.11+√.Сравнение (2.131) и (2.133) при более низкой частоте процесса показыва( ) нает, что ∆ ≉ ∆ , т.е.

заменанедопустима.Полученные результаты можно проиллюстрировать на примере поля температуры цилиндра= 0,1мм при= 1с, пространствен-ная неравномерность которого мала, посколькуРис. 2.22. Безградиентное полетемпературы цилиндра радиуса= 0,1мм при = 1с∆ (0) = 991,347К, а ∆= 991,457К. Средняятемпература цилиндра= 1169,129К. Точноерешение для безградиентного поля температуры,представленного на рис.

2.22, дает значения ∆ = 991,355К,Использование редуцированного додает ∆〈 〉= 1169,125К.= 2000 приближенного решения (2.130)= 991,571К, что больше точного значения на 0,02%. При этомсредняя температура цилиндра〈 〉совпадает сс точностью до седьмого зна-ка после запятой. Таким образом, сопоставление результатов подтверждает целесообразность используемого в диссертации подхода, который позволяет получить приближенное решение задачи, обеспечивающее приемлемую точностьвычислений.101На рис.

2.23 показано, как изменяютсяразмахи колебаний температуры ∆ , рассчитанные по формулам (2.131) и (2.133), в зависимости отприп= 0,3. Характер изменениякривых схож с теми, которые изображены наРис. 2.23. Размах колебаний безградиентного поля температурыцилиндра радиуса = 0,1мм при= 1с и ̅ = 2300 Вт⁄(м ⋅ К) взависимости от коэффициента :1 – = ( ); 2 – =рис. 2.18 – 2.20, однако в данном случае заменанестационарного коэффициента теплоотдачи наэквивалентный постоянный приводит к замет-ному различию результатов. Тем не менее зависимость (2.133) качественнона ∆ при ̅ = const.правильно отражает влияние2.4.3.

Малая кривизна поверхностиС уменьшением кривизны поверхности ее влияние на колебания температуры уменьшается. Чтобы выяснить, каков будет размах колебаний температуры на поверхности в предельном случае, необходимо исследовать поле температуры цилиндра при=→ ∞. Введем вместо радиальной координатыглубину− . Поскольку1=−1−то предельная форма (2.104) – (2.106) при=(0, )→→→ ∞,→ ∞ имеет вид:, > 0, > −∞;= ( )[ (0, ) −limприж()], > −∞;= 0, > −∞.(2.135)(2.136)(2.137)Таким образом, вместо задачи теплопроводности (2.104) – (2.106) для цилиндрамы получаем задачу теплопроводности (2.135) – (2.137) для полупространства.Поскольку условие ограниченности температуры на оси цилиндра (2.105)может быть записано в виде [50](0, ) ≠ ∞, > −∞,102то вместо (2.137) можно использовать эквивалентное ГУlim≠ ∞, > −∞,→(2.138)что аналогично условиям (1.8) и (1.10) главы 1.Решение (2.135) – (2.137), как и ранее, представляет собой тригонометрический ряд Фурье (2.63)( , )=2cos(+)+sin() ,коэффициенты которого удовлетворяют уравнениям (2.17), (2.19) и (2.21), принимающим в декартовой системе координат вид:(2.139)= 0, > 0;−= 0, > 0;(2.140)+= 0, > 0.(2.141)Согласно (2.138), граничными условиями на бесконечности для (2.139), (2.140)и (2.141) будут служитьlim≠ ∞;(2.142)lim≠ ∞;(2.143)lim≠ ∞.(2.144)→→→Интегрируя (2.139) с условием (2.142), находим( )=где⁄2 ≡≡ const,– среднее значение температуры полупространства за период.Для определения( ) используем уравнение (2.23), которое для нашейзадачи запишем в виде⋆+4⋆= 0,⋆> 0,(2.145)103где⋆⋆= ⁄ловой волны, м;⋆⋆– безразмерная глубина;⋆⋆ ⋆=⁄=– характерный размер теп-=⁄2.