Диссертация (Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы), страница 11

Для удобства сразу разложим их в тригонометрические ряды Фурье, используя формулу умножения рядов Фурье [123]:( ) ( , )=+2cos()+cos()+sin() ;(2.89)sin() ;(2.90)̇̇( ) ( , ) =( , )( )̇+2= ( )( ) cos()−̇( ) sin() =̇=2̇+cos()+̇sin() ,(2.91)где==2=212(+)( )+(+)( ) ;+12(−)( )−(−)( ) ;̇̇=2̇2=+12+12̇=( ) ;+̇̇( )++2̇+̇̇=̇+2−̇( )+̇( ) ;̇̇( )+( )−( )−̇̇+−( ) ;̇( ) ;( ) ;76̇=̇2=(+)( )−(+)( ) ;(−)( )+(−)( ) ;2= 0;==−;̇;̇= 0;̇=̇;̇=−.Приняв во внимание (2.89) – (2.91), умножим обе части (2.62) на 1, cos(sin(),) и проинтегрируем каждое из полученных равенств от 0 до , что даст̇+( )( )̇+++̇+++̇+( ) иЗаменив в (2.92) – (2.94)ж=̇̇̇ж+(2.92);=ж+̇ж;(2.93)=ж+̇ж(2.94).( ) их значениями из (2.87) и (2.88) исгруппировав члены, получим бесконечную систему линейных алгебраическихуравнений с бесчисленным множеством неизвестных, которая может быть записана в матричной форме:ℊ…⋱……⋱,⋮⎛⎜ℊℊ⎝ ⋮,,ℊℊ,⋮ℊℊ⋮ℊℊ,,⋮,,⋮̇жж+⋮ж+…⎡⎡ ⎤⋱⎞ ⋮⎢⎢ ⎥…⎟ ⎢ ⎥ = 2 ⎢⎢… ⎢ ⎥⎢⋱⎠ ⎣ ⋮ ⎦⎣,ж⎤⎥̇ж ⎥,⎥̇ж⎥⎦+⋮(2.95)гдеℊℊ,,==2̇+̇+−;ℊ=,Ber(̂̇+,=2̇+−Bei(̂,ℊ=Θ,,=Θ,,Ber(Bei(,,=+̇̂+̇;+Bei(,);Ber(,);)++2ℊ,)−,−2ℊ;ℊ)−Σ)+Σ,̇+,Bei(Ber(,,+̂)+δ)+δ,,Φ ;Ξ ;77ℊ=Υ,ℊ,=Υ,,Ber(Bei(,=++Σ,=++Υ,=−+Ω,=−+Φ =2,̇̇̇−̇−̇̇,Ber( , ))+δΞ ;,Φ ;,−̂ (+);+̂ (+);+̂ (−);−̂ (−);) ;Ξ = 2,)−δ,Ber(,+̇Bei(,+̇Ber (Ber ( , ) =δ)−Ω,Θ)+Ω,Bei (; Bei ( , ) =,);Bei( , );– символ Кронекера:δ,=1, =0, ≠= 1,2, … ;;;= 1,2, … .Системы бесконечных уравнений рассмотрены в монографиях [48, 68].Для решения (2.95) можно использовать один из приближенных способов, возможность применения которых обоснована в [48].

Наиболее целесообразнымпредставляется применение метода редукции, в котором исходная бесконечнаясистема усекается до номера= , а полученная конечная система решаетсястандартными способами линейной алгебры. Следует заметить, что для (2.95)при проведении вычислений необходимо использовать асимптотические формулы для обобщенных функций Кельвина. Обоснование редукции бесконечнойсистемы, следуя работе [81], также можно свести к получению априорнойоценки для нормы разности решений краевой задачи (2.59) – (2.61) и ее редуцированного аналога, однако подобное исследование здесь не проводится, поскольку выходит за рамки диссертационной работы.

Вопрос о погрешности, которая появляется из-за редуцирования бесконечной системы, на практике можно решить последовательным увеличением параметра редукциидо обеспече-ния оптимальной точности решения. После приближенного определения коэф-78фициентов в (2.87) и (2.88) из редуцированной до номерасистемы уравнений(2.95) температура может быть записана в виде частичной суммы ряда Фурье:〈 〉〈 〉(( , )≈, )=〈 〉+2( ) cos(〈 〉)+( ) sin() ,(2.96)где〈 〉〈 〉〈 〉,〈 〉,〈 〉〈 〉( ̂) =Ber(〈 〉( ̂) = −Bei(̂,)+̂,)+〈 〉〈 〉– решение редуцированной до( )=В частном случаеBei();̂,Ber();̂,системы уравнений (2.95).≡ const система (2.95) расщепляется на от-дельные системы из двух уравнений с двумя неизвестнымии, которыеимеют точные решения.

Из них находим значения коэффициентов=ж=+ж̇ж+̇ж(2.97);ж−̇ж++ж=+̇жж+;(2.98),(2.99)̇ж++где==Bi =BiBiBer (,) + Ber(Bei (,) + Bei(,,Это значит, что=ж,жBei(,);)+ ̂Ber(,);̇ж⁄ – критерий Био. Если учесть, что=)− ̂= 0, то для свободного члена.т.е. средняя температура цилиндра за период при по-стоянном коэффициенте теплоотдачи всегда будет совпадать со средней температурой жидкости. Если задано ГУ I рода( , )=ж(), > −∞,(2.100)79которое является предельным случаем ГУ III рода (2.61) при бесконечно большой интенсивности теплоотдачи, то коэффициенты определяются по формуламж=Ber( , )=Ber ( ,жBei( , )=Ber ( ,ж;− Bei( , )) + Bei ( , )ж+ Ber( , )) + Bei ( , )ж;,которые можно получить либо непосредственным интегрированием (2.59) с ГУ(2.60) и (2.100), либо из (2.97) – (2.99) при Bi → ∞.Как известно из теории подобия [77], на протекание физического процесса оказывают влияние не столько его отдельные параметры, сколько их безразмерные комбинации.

Чтобы выяснить, какие критерии и числа подобия оказывают влияние на колебания температуры, запишем (2.59) – (2.61) в безразмерном виде:̂+̂̂= Fo1̂̂̂̂,0 < ̂ < 1, ̂ > −∞;(0, ̂ )= 0, ̂ > −∞;̂(2.101)(2.102)(1, ̂ )(2.103){Bi( ̂ )[ (1, ̂ ) − ж ( ̂ )]}, ̂ > −∞.= 1+ ̂̂̂= ( ̂ , ̂ ) = [ ( ̂ , ̂ ) − ж ]⁄∆ ж – безразмерная избыточная температура−Здесьцилиндра;ж(жидкости;ж̂) = [≡жж(̂) −ж ]⁄∆ ж– безразмерная избыточная температура⁄2 – средняя за период температура жидкости, К; ∆размах колебаний температуры жидкости, К; ̂ =ж–– безразмерное время;Bi( ̂ ) = ( ̂ ) ⁄ – критерий Био.Решение (2.101) – (2.103) можно получить либо приведя к безразмерномувиду найденную зависимость ( , ), либо непосредственным интегрированием.В любом случае искомая функция будет иметь вид:80( ̂ , ̂) = ̅ +где ̅ = ( −ж )⁄∆ ж( ̂ ) cos( ̂ ) +( ̂ ) sin( ̂ ) ,– средняя за период безразмерная избыточная температу-ра цилиндра;( ̂) =( ̂) = −Ber(̂,)+Bei(Bei(̂,)+Ber();̂,).̂,Как следует из (2.101) – (2.103), безразмерная избыточная температура зависиттолько от переменных ̂ , ̂ и параметров процессаж(̂ ), Bi( ̂ ), Fo , ̂ .а)б)Рис.

2.3. Характерные для парциально охлаждаемой лопатки зависимости безразмерной избыточной температуры жидкой среды (а) и критерия Био (б) от безразмерного времени напериоде процессаРассмотрим характерные для парциально охлаждаемой лопатки условиятеплообмена (рис. 2.2), для которых̇ж() = [ δ( ) − δ( −̇ ( ) = [ δ( ) − δ( −̇ ж ( ) = [ δ( ) − δ( −ппп)]()]()](п−г ),0≤ < ;п−г ),0≤ < ;п п−г г ),0≤ < .При переходе к безразмерным величинам (рис. 2.3) функцияж(̂ ) будет полно-стью определяться только степенью паровой парциальности, а Bi( ̂ ) – степеньюпаровой парциальности, средним за период значением критерия Био Bi = ̅ ⁄и коэффициентом интенсивности охлажденияслучае=п⁄ г≡ Biп ⁄Biг .

В таком81Bi =Biп =п BiпBi1 + ( − 1)+ (1 −п;Biг =п )Biг ;Bi1 + ( − 1)ж(Отсюда следует, что для рассматриваемых.п̂ ) и Bi( ̂ ) поле безразмерной из-быточной температуры зависит от критериев подобияп,Bi, , Fo , ̂ .Чтобы выяснить степень влияния времени релаксации теплового потокана тепловой процесс, описываемый (2.59) – (2.61), необходимо первоначальнорешить аналогичную задачу для уравнения теплопроводности параболическоготипа, в которой не учитывается конечная скорость распространения теплоты.2.3.

Исследование тепловых волн в цилиндребез учета инерции теплового потокаМатематическая модель исследуемого процесса имеет вид:1=,0 <(0, )( , )−(2.104)< , > −∞;(2.105)= 0, > −∞;= ( )[ ( , ) −ж((2.106))], > −∞.Поскольку задача (2.104) – (2.106) является частным случаем (2.59) – (2.61) при= 0, то ее решение также должно вытекать из решения общей задачи. Чтобыпроверить это, непосредственно проинтегрируем (2.104) с ГУ (2.105) и (2.106).Решение (2.104) – (2.106), как и ранее, представляет собой тригонометрический ряд Фурье (2.63)( , )=2+( ) cos()+( ) sin() ,коэффициенты которого удовлетворяют уравнениям (2.19) и (2.21), принимающим в цилиндрической системе координат вид:1−= 0,0 << ;(2.107)821+= 0,0 << .(2.108)Граничными условиями на оси цилиндра для (2.107) и (2.108) остаются (2.78) и(2.79).( ) используем уравнение (2.23), которое для нашейДля определениязадачи запишем в виде+̂2̂̂+1̂1̂+̂(2.109)= 0,0 < ̂ < 1.+̂Уравнение (2.109) имеет решение [47]( ̂) = ̿̂√+ ̿̂√+̂ √̂ √ ,+которое может быть записано через вещественные функции( ̂) =гдеber(=̂) +bei(̂) +ker(̂) +kei(̂) ,(2.110).

Используя соотношения1ber1ker= − bei ;= − kei ;1bei1kei= ber ;= ker ,справедливые для функций Кельвина, и уравнение (2.107), находим( ̂) = −bei(̂) +ber(̂) −kei(̂) +ker(̂) .(2.111)Посколькуlim→ber= 0; limbei→ker= 0; lim→= ∞; lim→=то для выполнения (2.78) и (2.79) необходимо положить( ̂) =( ̂) = −ber(̂) +bei(bei(̂) +ber(̂) ;̂) .kei= ∞,≡ 0, что дает(2.112)(2.113)Используя (2.89) и ортогональность тригонометрической системы функций, получаем из граничного условия (2.106) уравнения=ж;(2.114)83( )( )+=ж+=ж( )иЗаменив в (2.114) – (2.116)(2.115);(2.116).( ) их значениями из (2.112) и (2.113) исгруппировав члены, приходим к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с бесчисленным множеством неизвестных, которая может бытьзаписана в матричной форме:ℊ…⋱……⋱,⎛ ⋮⎜ℊℊ⎝ ⋮,,ℊℊ,⋮ℊℊж…⎡⎤⎡ ⎤⋱⎞ ⋮⋮⎢⎥⎢ ⎥…⎟ ⎢ ⎥ = 2 ⎢ ж ⎥ ,… ⎢ ⎥⎢ ж⎥⋱⎠ ⎣ ⋮ ⎦⎣ ⋮ ⎦,⋮ℊℊ,,⋮,,⋮(2.117)гдеℊℊ,=2=,berℊ−2,ℊ,ℊ,=,bei=Θ,ℊ;ℊ;ℊber,;ℊ=,=2,−Σ;beibei,+2+δ,,bei+Σ,ber+δ,Ξ ;=Υ,ber+Ω,bei−δ,Ξ ;,bei−Ω,ber+δ,Φ ;Θ,=+;Σ,=+;Υ,=−;Ω,=−;;Ξ = 2beiΦ =2berber=ber; bei= 1,2, … ;=bei;Φ ;=Θ=Υber;;= 1,2, … .Решая систему (2.117) методом редукции, находим постоянные коэффициентыв (2.112) и (2.113).

В частном случае ( ) =симости для коэффициентов:≡ const получаем точные зави-84ж=ж;=−+жж;=++ж,где=Biber+ ber;=bei+ bei .BiПри ГУ I рода (2.100) выражения для коэффициентов принимают вид:=ж;ber=berж− bei+ beiж;bei=berж+ ber+ beiж.Найденные аналитические зависимости полностью совпадают с решениями задачи (2.59) – (2.61), если положить в них= 0, что подтверждает пра-вильность полученных результатов.Чтобы установить степень влияния инерции теплового потока на протекание процесса, было проведено два расчета температуры цилиндра при характерных для парциально охлаждаемых лопаток параметрах (табл.