Диссертация (Разработка метода и исследование напряженного состояния физически ортотропных цилиндрических оболочек при локализованных термосиловых нагрузках), страница 5

Дискретно-континуальная модель В.З.Власова«ортотропной» оболочки заключается в том, что цилиндрические оболочкипроизвольного очертания, подкреплённые продольными и поперечными ребрами(стрингерами и шпангоутами) при достаточно частном расположении этих реберможно рассмотреть, как тонкостенную ортотропную пространственную систему, впоперечныхсеченияхкотороймогутвозникатьтолькотангенциальные(нормальные и сдвигающие) усилия. Продольные изгибающие и крутящие26моменты, вследствие их слабого влияния на напряжённое состояние оболочки,принимаются равными нулю.

По продольным сечениям, помимо нормальных исдвигающих усилий, могут возникать также и поперечные силы и окружные(кольцевые) изгибающие моменты. В силу указанных статических гипотез зарасчётную модель принимается тонкостенная система, состоящая по длине (вдольобразующей) как бы из бесконечного множества поперечных элементарныхизгибающих полосок. Каждая из таких полосок уподобляется плоскому кривомустержню, работающему в каждом своем сечении не только на растяжение -сжатие,но также и на поперечный изгиб и сдвиг. Взаимодействие между двумя смежнымипоперечными полосками в оболочке выражается в передаче с одной полоски надругие полоски одних только нормальных и сдвигающих усилий.В этом случае проблема может быть сведена к решению дифференциальногоуравнения четвертого порядка по продольной координате, которое при разложениинагрузки и всех факторов в ряды по окружной координате приводится кследующему обыкновенному дифференциальному уравнению дляn-го членаряда [15]:N nIV ( )  2rn2 N nII ( )  sn4 N n ( )  0 ,гдеN n ( )- амплитудное(1.15)значение продольного усилия, разложенного, как иостальные силовые факторы и перемещения, в ряд по окружной координате:N ( )   N n ( )cos n ,n 1rn2 , sn4-коэффициенты,зависящиеотномерагармоникиn-гочленатригонометрического ряда и от упругих характеристик подкрепляющих элементови самой оболочки, получившей название «ортотропной».rn2 1 BDn 2 (n 2  1)2;2 C n 4 В  2 Ben 2  BR 2(1.16)sn4 BDn 4 (n  1) 2.A n 4 В  2 Ben 2  BR 227В технике, как известно, такие тонкостенные конструкции называютконструктивно-ортотропными,вотличиеотанизотропных,физическиортотропных, рассматриваемых в диссертации.Изложенный метод позволяет рассчитать оболочки с учётом 1, ж2 , ,  2 , неравных нулю.Власов В.З.

[14] также вводит и геометрические гипотезы, согласно которымдеформации удлинений оболочки по линиям, параллельным направляющей еёсредней поверхности, и деформации сдвига в срединной поверхности, каквеличины, мало влияющие на состояние внутренних сил оболочки, принимаютсяравными нулю (   0,  2  0 ).При этом деформация оболочки происходит так:- линии этой поверхности, перпендикулярные к образующей в каждой точкеостаются не растяжными;- углы между линями главных кривизн (координатными линями), прямые додеформации, остаются прямыми и после деформации.Исходя из гипотезы, что деформация сдвига равна нулю   0 .

В приведенномвыше уравнении (1.16), жесткость С, соответствующая этой деформации,полагается равной бесконечности, тогда уравнение (1.16) принимает вид:N nIV ( )  sn4 N n ( )  0(1.17)Это уравнение, по сути, только в другой записи широко используется приописании основного состояния при решении многих силовых и термоупргих задач[44].Здесь, в отличие от дискретно-континуальной модели В.З. Власова«ортотропной» оболочки рассматривается оболочки из не изотропного, афизически ортотропного материала.

Такой вид материала, когда плоскостиупругой симметрии совпадают с координатными плоскостями, представляетсяважным ввиду его широкого применение в конструкциях [7,9,12,27,81].Как отмечает В. В. Новожилов [66], некоторые из трактовки В.З. Власова сточки зрения основной идеи полубезмоментной теории ( G1  G12  0 ) не являютсяобязательными.28Представляется наиболее рациональным подход к упрощению уравнений,предложенный В. В.

Новожиловым [66], заключающийся в том, что в уравненияхобщей теории оболочек принимается сильное неравенство:2 f 22 f 2,(1.18)означающее, что характер изменения перемещений и напряжений в направленииобразующей существенно более плавный, чем в направлении контура.И если принять в качестве рабочей гипотезы сильное неравенство (1.18), топридём к одному из вариантов полубезмоментной теории, для которого основноеразрешающее уравнение в случае действия продольной нагрузки, вместо (1.9),принимает вид:2 4c 2  4   2R21p(, ) 4 1  1 2 4  2E2 h(1.19)Вследствие применения(1.18) к (1.9- 1.10), в (1.19), по сравнению с (1.9),вдвое понижается порядок разрешающего дифференциального уравнения попродольной координате.При этом существенным образом упрощаются и соотношения, связывающиевсе искомые факторы с функцией ( ,  ) :u (, )   2 2 3;v(,);w(,); 22T1 (, )  E1h  3D2    64 2 2 ;T(,);22 R 3R 3   6 41  S (, )  S1 (, )  S2 (, ) G1 (, )   2(1.20)c 2Gh  2  3  2( 2  1) 2 ;3R1 D1    42 D2    42 ;G(,) .2R 2   4 2 R 2   4 2 При   1 уравнение (1.19) и соотношения (1.20) переходят в известныеуравнения и соотношения полубезмоментной теории [14], или основногонапряженного состояния [18].Визотропныхвариантах(   1)этитеориисотвечающимиимразрешающими уравнениями (1.19), (1.20) получили применение при решении29различных задач из области прочности конструкций, как самостоятельные [14], таки в качестве элементарных напряженных состояний: основного и с большойизменяемостью [18, 68].К наиболее простому варианту полубезмоментной теории оболочек приводит 2 f /  2следующее допущение:f.(1.21)С учётом (1.21) разрешающее дифференциальное уравнение (1.19) иостальные соотношения упрощаются: 4c 2  8R2p(, ). 4 1  1 2 8E2 hБылопоказано[46],насколькобольшиевозможности(1.22)сулитприпреобразовании выражений для искомых факторов в ряде задач предположение(1.21) при рассмотрении напряжённого состояния от различного рода локальныхвоздействий.Уравнения напряженного состояния типа краевого эффекта получаются изуравнений моментной технической теории, если принять предположение, прямопротивоположное принятому при выводе уравнений полубезмоментной теории, аименно2 f 22 f 2.(1.23)Разрешающее уравнение при действии радиальной нагрузки:4w 1  v2R4wp3  ,   . 4c2D(1.24)И силовые факторы краевого эффекта:T2  E2 hD2  2 wv D 2wGw ; G1   2 2 1.;2RR 2  2R  2В виде (1.24) уравнение получило широкое применение при рассмотрениизадач осесимметричного деформирования оболочек под действием радиальнойнагрузки [82].

Его отличие от случая осесимметричного деформированиязаключается лишь в замене обычной производной на частную.301.4. Об асимптотической погрешности уравнений теории оболочек ирасчленении напряженного состоянияАсимптотический анализ точных уравнений теории изотропных оболочекпоказывает, что в зависимости от изменяемости внешних воздействий инапряжённого состояния они допускают те или иные упрощения [18, 29].

Степеньупрощения зависит от показателя изменяемости поверхностной или краевойнагрузки и, следовательно, от показателя изменяемости напряженного состояния.Обозначим показатель изменяемости через  и заметим, что он связан сотносительной толщиной оболочки h / R и номером гармоникиnпри разложениивнешней нагрузки и напряженного состояния в ряд по окружной координате [18]:nh;*h1h с; с*2 3(1.25).RВ (1.25) величина n характеризует изменяемость n -й гармоники.Таблица 1.2Тип теории оболочек илиАсимптотическая погрешностьдифференциального уравненияПолубезмоментная теория.Теория краевого эффекта.Уравнения Власова – Доннелла.Уравнения изгибного состояния.Уравнения тангенциального состояния.В зависимости от2h     22 4 1 2 3 R  1n    222 4 1   2  12  2n2  4 1  1    222 4 1   2  12  2c2n2  4 1 1можно прийти к приближённым уравнениям теорииоболочек, описывающим различные элементарные напряжённые состояния.