Диссертация (Разработка метода и исследование напряженного состояния физически ортотропных цилиндрических оболочек при локализованных термосиловых нагрузках), страница 4

Эта система представлена в таблице 1.1.19Таблица.1.1. Система трех дифференциальных уравнений в перемещенияхu(α,β)V(α,β)22+ 1 2 22(2 + 1 )+3+ 2 ( 33− 1) 2−2−22(2 + 1 )2Правая частьw(α,β)3+ 2 (+3−)1 3 2−2 2 + 1 2силовая нагрузка(1   1 2 ) R 2p1 ( ,  )E1h++ 2 (2 + 31 )3 2 4 + [ 4 + 2(2+ 21 ) ×42×+ ( 2 2  2(1   1 2 ) Rp2 ( ,  )E1h2температурное воздействие 1t  v2 2t  R  2t  v11t  Rt *t *0  2t  v11t  h t **62++ 2 (23+ 31 ) 2 −2(1   1 2 ) R 2p3 ( ,  )E1h+ 1) ]20   2t  v11t  Rt *    v2 2t   2t **  1th 2 6 2t  v11t   2t ** h62 1.1.4. Разрешающие дифференциальные уравнения припроизвольнораспределенных силовых и температурных воздействияхПрирешенииконкретныхзадачудобносвестисистемутрехдифференциальных уравнений в табл1.1 к одному разрешающему уравнениювосьмого порядка относительно разрешающей функций.

Через разрешающуюфункциюспомощьюсоответствующихдифференциальныхоператороввыражаются все силовые и деформационные факторы оболочки.При действии на оболочку только продольной поверхностной нагрузкиp1 (  )  0, p2 (  )  0, p3 (  )  0введем разрешающую функцию Ф(α,β), связаннуюс перемещениями, следующими дифференциальными зависимостями:u11A111 ; v 11A121 ; w 11A131(1.8)где 11 , 12 , 13 - алгебраические дополнения системы уравнений табл.1.1.Тогда в результате подстановки (1.8) в табл.1.1, на основании теоремалгебры, второе и третье уравнения обратятся в тождества, а первое дастследующее разрешающее уравнение при действии p1 (  ) :L( ,  )  88R4p1 ( ,  )D168(1.9)648где L   8  a6,2 6 2  2 2 6  a4,4 4 4  a4,2 4 2   4  a2,6 2 6      242 1  1 2  4 642    a2,4 2 4  a2,2 2 2   1  42  4  2c a6,2  v2 2 41 ; a4,4  2 3  1 (1  1 2 )  41 ( 2  1 )  ;1 2   v2 2a4,2  a4,4 ; a2,6  a6,2 ; a2,4  2  a6,2   2  ; a2,2    2 2  ; 1EvG  2  2 ; i  1  1v2  ; (i  1;2) .E1 v1EiПеремещения u, v, w, усилия, изгибающие моменты и другие факторы наосновании (1.8) и обобщенного закона Гука (1.6) связаны с разрешающей функцией(, ) следующими дифференциальными соотношениями:21u  ,     2 c 2 2 1 662242 11  1 6 4222 2 642    51  2 2  2 4  2  41  2  2 2  1   ;   2   2  (, )   2 c 2  (1 1  2 )6(54 (   2  3 1 2 ) 3  ( 2w(, )   2 3 3c2 321 1   2 )(2 2  4 1 )633 534 ()   21  2 ) ; 5 33 552(2)121 5 325  1 ;4 E1h  3c2  7   227 3 (4)21R 1  1 2   7 521T1 (, )  (5   2 2  4 1 2  2 2  221)7   227()26341 55 7(   2 2 )  2 2 (   2 2 )  4 1 2  3 2  2 2 5 1   2(   221T2 (, )  2 )52 3  ;241  D2   77(124)  4( 11 21 1R3   7527546 51   2 )  5 2 73455 2  3 ;123241  c 2Gh   2  7  2 2 27   225S1 (, ) ( 4 2 ) 4 3  ( 2 2 ) 4 R  1  6  11 (21S2 (, )  4)72 3  25 2(1)6;3 252 23 1 c 2Gh   2  7  2 2 2727(4)(4)24325R  1  6112 3  2   2255 2(1)(4)8;232 4 23 1 122(1.10)D1553 422G1 (, )   2  2 5  (   2 ) 3 2   3   2()R  4 2 77 c 2 4( 2  2 1 ) 5 2   2(3   2 2 )  2 (   2 2 )  3 4   1   (   2 2 )1G2 (, )  7  ;6 D253 42()1 22R2 5 3 4 2  7   2 1 ( 2  2 1 ) 2   772 c v1 7  1  5 2   (1  1 1 )  ( 2  2 1 )  3 4    11  257 2    ( 2  2 1 )  3 2   . 6 11Аналогично, разрешающие функции при действии на оболочку толькорадиальной поверхностной нагрузки; температурного поля постоянного потолщине; температурного перепада по толщине записываются следующимиобразами:L( ,  ) L* ( ,  ) R4p3 ( ,  );D12t  v11t *Rt ( ,  );c2L** ( ,  )  2t  v11t **ht ( ,  ).6c 2Перемещения, усилия, изгибающие моменты и другие искомые факторысвязаны с разрешающей функцией известными соотношениями [68].1.2.

Уравнения «типа теории Власова - Доннелла»: упрощенные покритерию В.В.Новожилова уравнения общей теории физически ортотропныхоболочекУравнения общей теории оболочек носят общий характер. На их основеможно определить НДС оболочек при действии произвольной поверхностнойнагрузки и температурного поля. Для решения многих задач прочности иустойчивости оболочек получили широкое применение уравнения моментной23технической теории (уравнения изотропных пологих оболочек, или ВласоваДоннелла). В различных источниках они записываются по-разному, но наиболеечасто – в форме Власова или Доннелла.

Различны также способы их получения:либо путём упрощения исходных соотношений [14], [26], либо путём наложенияопределённых ограничений на изменяемость НДС оболочки [66]. При второмспособе задача ставится так: из общих уравнений теории оболочек, записанных впредыдущемразделе,получитьуравнения,пригодныедляопределениянапряжённого состояния с высокой изменяемостью в направлении образующей иконтура оболочки.Математически это означает, что имеет место приближённое равенство [66]2 f 22 f 2f.(1.11)где f - любой фактор в оболочке (разрешающая функция, усилие и т.д.).Заметим, что изменяемость функции на данном интервале в каком-либонаправлении можно характеризовать, как это принято в [18], величиной, равнойотношению некоторого среднего для рассматриваемого интервала абсолютногозначения её производной к среднему абсолютному значению самой функции.Упростим разрешающее уравнение общей теории исходя из (1.11).

Приведемздесь разрешающее дифференциальное уравнение этой теории для случая действиипродольного нагрузки p1 ( ,  ) :L( ,  ) где L R4p1 ( ,  );D1(1.12)888881  1 2  42 aaa.6,24,42,6862 44 268c 2  4При этом значительно упрощаются и соотношения (1.9) и (1.10),связывающие искомые факторы – перемещения, усилия, изгибающие моменты - сразрешающей функцией [62]:u  ,     2Ф c 2 2 1 662242 11  1 6 4 2    51  2 2 662 ;246  24 2 c 2 (, )   (1 6(1  2 )5 (1  2 ) 3 3c2 w(, )   2 3   21 T1 (, ) 61   2 )(2 2  4 1 ) 336  ;5 552 (   ( 2  2 1 ) ) 3 2  1 5 5 1 ;4 E1h   3Фc2  7   227(4)21R   3 1  1 2   7 521 (5   2 2  4 1 2  2 2   221(1.13)7   22 7  ) 3 4  ( 2 )  ; 6  1D2   77T2 (, )  3 1 7  (1  21 2  41 1 ) 5 2   4(R   77  ;1   2 )  5 2  346 S (, )  S1 (, )  S 2 (, ) c 2Gh   2  7  2 2 27272 7 ( 4 2 ) 4 3  (  4) 2 5 ;7R  1  6  111  G1 (, )  D1555722()c4(2) 22221R25 324 52 7 (   2 2 )  7   2(3   2 2 )  2 (   2 2 )  3 4  ;6 1  1D255 7   2 1 ( 2  2 1 ) 2   72G2 (, )   2 1 2 5   c v1 7  1  5 2R4  11  77 2 (1  1 1 )  ( 2  2 1 )  3 4   . 6 В частном случае изотропного материала (   1 ) дифференциальноеуравнение (1.12) и соотношения (1.13) переходят в соответствующие зависимоститеории пологих оболочек, или уравнений Власова-Доннелла [14,46].При больших значениях показателя изменяемости напряжённого состоянияуравнения (1.12) из-за возможности пренебрежения его последним членомпереходитвполигармоническоеуравнение,распадающеесянадвабигармонических: 4 44 4    4    v2 24 R4 2v2  2 2   4  () p1 ( ,  ) 4  2(v2  21 ) 2 2   4   4        1 D1   25Одно из них описывает тангенциальное напряженное состояние, являющеесяаналогом плоского напряженного состояния:  4Ф 4Ф     22 4Ф(1   1 2 ) R 2 2 2  2 2   4  p ( ,  ) , 4  1E1h  (1.14) 2  2   2Ф 2 u  2 Ф;V;1  1  2   1  T1   3     22 3 Ф;22(1   1 2 ) R   3  1  E1h 3 3E2 h3 E1h3 T2  2 1 Ф; S  Ф.(1   1 2 ) R   3  2 (1   1 2 ) R   3 2 1.3.

Дискретно-континуальная модель В.З.Власова «ортотропной»оболочки:статическиеигеометрическиегипотезы,уравнения.Полубезмоментная модель исходя из критерия В.В. НовожиловаНаиболеепростымивариантамитеорииоболочек,занимающимипромежуточное положение между общей теорией и безмоментной теорией,являются полубезмоментная теория оболочек и теория краевого эффекта, наиболееполно разработанная вначале применительно к решению задач осесимметричногодеформирования оболочек [82], а много позже - и для случаев действия нагрузкипо закону sin  , cos  [87].Уравнения полубезмоментной теории (или технической теории) [15]оболочек впервые были получены на основепринятия статических игеометрических гипотез, что позволило заменить оболочку некоторой дискретноконтинуальной моделью [14].