Автореферат (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения), страница 4

Резуль­таты, полученные методом РК4Я с точностью 1 = 10−4 , даны в таблице 5. Кривыеползучести для задачи (23), (12) аналогичны изображенным на рис. 2.Таблица 5. Расчетные данные для стали 45, задача (23), (12)0 ,МПа354045*** , ч , мс0.57150.66440.75880.99980.99960.99947.00052.76011.214522.9217.5415.6m ,%0.4080.4080.408av ,%7 · 10−49 · 10−40.001med ,%2 · 10−73 · 10−74 · 10−7dev ,%0.0130.0140.016Анализируя результаты таблицы 5, можно видеть, что переход к аргументу позволяет сократить время счета в среднем еще от нескольких десятков процентов до13нескольких раз. Это объясняется тем, что для -преобразованной задачи (23), (12)удается получить значительно более простой вид определяющих соотношений посравнению с задачами (6), (2) и (11), (12). Наблюдается уменьшение погрешно­сти решения в разы, но порядок погрешности сохраняется на уровне, получен­ном для -преобразованной задачи (11), (12).

Сохранение порядка погрешности для-преобразованной задачи (23), (12) подтверждает и величина среднего отклоненияΞ, равная 0.8588 для всех значений начального напряжения, что говорит о близостиобусловленности -преобразованной задачи к наилучшей. Аналогичные результаты по­лучены и при решении задачи расчета ползучести и длительной прочности круглыхстержней из анизотропного титанового сплава 3В при одноосном растяжении.Для задачи расчета длительной прочности прямоугольных образцов из титано­вого сплава ОТ-4 выберем аргумент в виде(︂)︂2222() = () + () +.(24)(* − )Тогда задача (3)-(4), преобразованная к аргументу , примет формуe0= √= const,4 0 · e0= √= const,40 · (* − )√=4(25)с начальными условиями (15). Здесь 4 = 02 + (02 + 1) · 2 · e20 = const.Правые части уравнений системы (25) также ограничены.

Результаты решениязадачи (25), (15), полученные методом РК4Я, представлены в таблице 6, где ℎ –шаг по аргументу . Кривые ползучести, полученные при решении задачи (25), (15),аналогичны изображенным на рис. 1.Таблица 6. Расчетные данные для сплава ОТ-4, задача (25), (15)0 ,МПа** ,МДж/м398112.71470.90.78260.688.199988.199988.298112.71470.90.78260.688.199588.199788.1991m ,%Постоянный шаг, ℎ = 10−4446.2276 6252.4 0.143263.9683 6238.9 0.15777.5427 6247.7 0.148Переменный шаг, 1 = 10−4446.2276 1021.9 0.088263.9683 1020.1 0.03877.5427 1026.4 0.074* , ч , мсav ,%med ,%dev ,%2 · 10−42 · 10−42 · 10−410−92 · 10−92 · 10−90.0040.0040.0055 · 10−510−55 · 10−510−104 · 10−116 · 10−110.0025 · 10−40.002Из таблицы 6 можно видеть, что по сравнению с задачей (3)-(4) переход к ар­гументу для постоянного шага позволяет снизить время счета до четырех раз, нопри 0 = 147 МПа происходит увеличение времени счета на 20-25 процентов. Это жехарактерно и для методов ЭЯ и ЭКЯ.

Для переменного шага время счета для ме­тода РК4Я мало отличается по сравнению с решением непараметризованной задачи,но для методов ЭЯ и ЭКЯ уменьшение времени счета более существенное – от 1.5до 2 раз, что объясняется значительным упрощением вида системы (25) по сравне­нию с исходной (3). В случае использования постоянного шага также удается близкоподойти к ПОТ в момент разрушения, но погрешность увеличивается даже в сравне­нии с наилучшей параметризацией, что объясняется как фактическим увеличениемшага по аргументу , так и ухудшением обусловленности (значение меры отклоненияΞ = 5.095, 2.9979, 0.8791 для 0 = 98, 112.7, 147 МПа соответственно). Для переменно14го шага погрешность также возрастает, но ее порядок сопоставим с результатами наи­лучшей параметризации.

Стоит отметить, что при использовании метода РРР длязадач, преобразованных к аргументу , шаг интегрирования стабилизируется на неко­тором значении, затем не изменяясь до конца вычислений.В четвертой главе рассмотрено применение методов нейросетевого моделиро­*вания к решению задачи Коши для системы ОДУ -ого порядка с неизвестнымискалярными параметрами, задаваемыми вектором ¯ = (1 , . . . , )F(,y,y′ , .

. . , y() , ¯ ) = 0, ∈ [0 ,* ](26)y(0 ) = y0 , . . . , y(−1) (0 ) = y−1 .(27)с начальными условиямиЗдесь F : R(+1)++1 → R – вектор-функция векторного аргумента с компонентами : R(+1)++1 → R, = 1, . . . ,, y : R1 → R – искомое решение, 0 – начальнаяточка, * – конечная точка, y = (1 , . . .

, ) , = 0, . . . , − 1 – значения y() и ее − 1 первых производных в точке 0 , y() () = y()/ , y(0) () = y().При описании физических процессов на области изменения параметров1 , . . . , могут накладываться ограничения вида ∈ ⊆ R, = 1, . . . , .(28)Пусть для задачи (26)-(27) выполнены условия теоремы Коши о существованиирешения начальной задачи. Кроме того, имеются экспериментальных наблюденийy( ) = y , ∈ (0 ,* ], = 1, . . .

, ,(29))︀(︀ , . . . ,– значения y() в точках 1 , . . . , соответственно.где y = 1Для решения начальной задачи (26)-(27) методами нейросетевого моделирова­ния, каждую компоненту вектор-функции y() разложим по нейросетевому базису∑︁^ (, w ) = (,a ), = 1, . . . , ,(30) =1где w = (w1 , . . . ,w ) – настраиваемыематрицы нейросетевых коэффициентов,(︀ 1 2 )︀w = ( ,a ), и a = , – линейно и нелинейно входящие параметрысоответственно, – количество нейронов в разложениях (30).Используя разложения (30), запишем нормированный функционал ошибки длязадачи (26)-(27) в дискретной форме(︃ ⃒2∑︁∑︁ ⃒⃒1⃒′()^ ,¯·y,^y ,...y)⃒ +(¯,w1 , . . .

w ) =⃒ (ℎ ,^1 =1ℎ=1)︃(31)−1 ⃒⃒2∑︁∑︁⃒⃒⃒⃒ () ⃒2⃒^ ( , w ) − +.⃒^ (0 , w ) − ⃒ + =1=0^ () ,) вычисляется на множествеВ данной формуле вектор-функция F(,^y,^y′ , . . . yпробных точек {ℎ }ℎ=1 , генерируемых случайным образом по равномерному за­кону∑︀ распределения на отрезке [0 ,* ], M – количество пробных точек, 1 =^ (,w1 , . . . w ) – вектор нейросетевых разложений.=1 ( · + · + · ), y*Васильев А. Н., Тархов Д. А. Нейросетевое моделирование. Принципы. Алгоритмы. Приложения.

– СПб.: Изд-воСПбГПУ, 2009. – 528 с.15Для нахождения неизвестных параметров 1 , . . . , и нейросетевых коэффици­ентов w1 , . . . ,w решается задача минимизации функционала ошибки (31). Во избежа­ние остановки процесса минимизации в точке локального минимума, после несколькихитераций алгоритма минимизации производится перегенерация пробных точек.Сформулированный нейросетевой подход применим к идентификации моделей,описывающих ползучесть и длительную прочность металлических конструкций. Дляопределения материальных констант, входящих в систему (6), описывающую растяже­ние образцов из стали 45, запишем разложения (30) в форме2∑︁th (12 + 22 )th (11 + 21 ), ^ (, b, D) =2.^(, c, A) =1(1++)(1++)34341122 =1 =11∑︁(32)21Здесь c = {1 }, b = {2 } – векторы линейно входящих параметров, A = {1 },D = {2 } – матрицы нелинейно входящих параметров, = 1, .

. . ,4.Результаты для стали 45, полученные при минимизации функционала ошибкивида (31) методом сопряженных градиентов, даны в таблице 7. Минимизация функци­онала ошибки велась до значений меньших 5 · 10−4 и занимала в среднем 12-17 минут.Таблица 7. Материальные константы для задачи (6), (2)0 , МПа354045Б. В. Горев с соавторами † 0 , ч−1 0 , ч−10.0115297 0.02017140.0340058 0.0511611 0.849 2.830.0882853 0.1162713Нейросетевое моделированиеч−1 0 , ч−10.0079387 0.0156534 0.9468 3.87250.0382844 0.0619040.8061.9660.1602613 0.2551528 0.2971 1.4793 0 ,С использованием полученных материальных констант в таблице 8 приведеныданные о процессе деформирования образцов из стали 45, где * и * – точные значениядеформации ползучести в момент разрушения и длительной прочности соответствен­но, * и * – относительная погрешность точного значения деформации ползучестив момент разрушения и длительной прочности по отношению к экспериментальному.Таблица 8.

Основные данные о процессе деформирования для задачи (6), (2)Эксперимент †0 ,МПа354045Б. В. Горев с соавторами †Нейросетевое моделирование* , ч** , ч** , %* , %* , ч** , %* , %6.7062.981.2240.5160.6160.6337.00052.76011.21450.57160.66470.75934.3927.3790.78210.7757.90619.9536.73473.01571.21870.50720.61840.62810.4281.1980.4331.7050.390.774Зависимости деформации ползучести и параметра поврежденности от време­ни, построенные с использованием полученных материальных констант, показаны нарис.

4, где непрерывные и штрих-пунктирные линии – аналитические зависимости,соответствующие параметрам модели, полученным Б. В. Горевым с соавторами † и сиспользованием нейросетевого моделирования соответственно.Применение нейросетевого моделирования позволило для каждого значения на­чального напряжения построить модель, описывающую процесс ползучести рассмат­риваемой конструкции вплоть до разрушения. Относительные погрешности * и *†Горев Б. В., Захарова Т.

Э., Клопотов И. Д. К описанию процесса ползучести и разрушения материалов с немо­нотонным изменением деформационно-прочностных свойств // Физическая мезомеханика. – 2002. – Т. 5. – № 2. –С. 17–22.16не превосходят нескольких процентов. Схожие результаты получены для модели, опи­сывающей растяжение прямоугольных образцов из сплава 3В при постоянных напря­жениях и температуре в условиях ползучести.Рис. 4. Кривые ползучести для стали 45, точные аналитические решенияРанее отмечалось, что задача (6), (2) имеет две ПОТ: в начальный момент вре­мени и при разрушении. Метод нейронных сетей позволяет обойти данную особенностьи получить параметры модели, а также приближенное решение данной задачи, имею­щее вид близкий к кривым, изображенным на рис.

4 штрих-пунктирными линиями.Однако особенность остается, и можно ожидать, что если нам удастся устранить ее, тоэто позволит сократить временные затраты на минимизацию функционала ошибки ииспользовать более простые формы базисных функций в разложениях (30). Для этойцели будем использовать задачу (23), (12), преобразованную к аргументу . Обозна­чая линейные и нелинейные параметры разложения для времени за r и S, запишемнейросетевые разложения для данной задачи в виде12∑︁∑︁^(, c, A) = · th (0 + 1 ) , ^ (, b, D) = · th (0 + 1 ) ,=1=1^(, r, S) =3∑︁(33) · th (0 + 1 ) .=1Результаты процесса идентификации для задачи (23), (12) при 0 = 35 МПа,полученные при минимизации функционала ошибки вида (31) методом сопряженныхградиентов, даны в таблице 9. Минимизация функционала ошибки велась до значе­ний меньших 5 · 10−4 , время счета удалось сократить до 7 минут. Графики зависимо­стей деформации ползучести и параметра поврежденности от времени, построенныес использованием полученных материальных констант, аналогичны изображенным нарис.