Автореферат (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения), страница 2

Б. Кузнецова. Адаптация нейросе­тевого подхода к решению задач ползучести выполнена совместно с А. Н. Васильевым.Программная реализация алгоритмов нейросетевого моделирования в среде Mathcadвыполнена автором диссертации.Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 29 ра­ботах, среди которых 6 статей в журналах из перечня ВАК [1-6] и 23 публикации вдругих изданиях, основные из которых [7-11].Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав,заключения и четырех приложений. Полный объем диссертации составляет 176 стра­ниц с 28 рисунками и 56 таблицами. Список литературы содержит 115 наименований.Работа поддержана грантами РФФИ № 13-08-00473-а и № 16-08-00943-а.5Благодарности. Прежде всего автор хотел бы выразить глубокую благодар­ность своему научному руководителю Евгению Борисовичу Кузнецову за многолетнеевнимание к работе и обсуждение кандидатской диссертации на всех этапах ее созда­ния. Огромную признательность автор выражает Александру Николаевичу Василье­ву, советы которого позволили значительно улучшить часть диссертационной работы,посвященную использованию искусственных нейронных сетей. Автор безгранично бла­годарен своим родителям Галине Владимировне и Сергею Алексеевичу за неоценимуюморальную поддержку, без которой диссертационная работа не была бы завершена.Содержание работыВо введении обосновывается актуальность проводимых исследований, приво­дится краткий обзор научной литературы по изучаемой проблеме, ставятся цель изадачи работы, формулируются научная новизна и практическая значимость получен­ных результатов.В первой главе рассмотрено применение традиционных явных и неявных ме­тодов решения задачи Коши к расчету моделей, которые описываются плохо обуслов­ленными задачами Коши для систем ОДУ с несколькими ПОТ.

В качестве тестовыхиспользуются задачи расчета ползучести и длительной прочности металлических кон­струкций при постоянной температуре, которые моделируются уравнениями теорииструктурных параметров Ю. Н. Работнова в форме системы двух ОДУ вида*2 () 1 () =,=(1)Ψ() Ω()с однородными начальными условиями(0) = 0, (0) = 0.(2)Здесь – деформация ползучести, – безразмерный параметр поврежденности, –действующее напряжение, – время, функциональные зависимости, входящие в пра­вые части, определяются по результатам эксперимента.

Параметр поврежденности изменяется от нулевого значения, в случае когда конструкция абсолютно целая, доединицы в момент разрушения.Аналитическое решение задач вида (1)-(2) удается получить крайне редко, по­этому основным инструментом их исследования являются численные методы.В первой части главы рассматривается решение плохо обусловленных началь­ных задач для систем ОДУ с одной ПОТ. Примером подобных задач является одноос­ное растяжение плоских образцов из титанового сплава ОТ-4 при постоянных напря­жениях 0 и температуре = 500 ∘ C в условиях ползучести.

Для описания даннойзадачи используется конкретизация уравнений (1) в энергетической форме †1 e0e0=·=,=(3)0 0 (* − )(* − )с начальными условиями(0) = 0, (0) = 0.(4)В системе (3) роль параметра поврежденности играет величина удельной работы рас­сеяния , принимающая в момент разрушения свое критическое значение * . Мате­*Работнов Ю. Н.

Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 2014. – 752 с.Соснин О. В. Энергетический вариант ползучести и длительной прочности. Сообщение 1. Ползучесть и разрушениенеупрочняющихся материалов // Проблемы прочности. – 1973. – №. 5. – С. 45-49.†6риальные константы для системы (3) имеют вид: * = 88.2 МДж/м3 , = 3, =0.0357 МПа−1 , = 1023.829 МПа4 · ч−1 .Задача (3)-(4) плохо обусловлена в окрестности момента разрушения, но можетбыть решена явными методами, в качестве которых использовались методы Эйлера(ЭЯ), Эйлера-Коши (ЭКЯ) и Рунге-Кутты 4 порядка точности (РК4Я) с постоянными переменным шагом.

Смена шага проводится по методу Рунге-Ромберга-Ричардсона(РРР) с параметрами 1 и 2 = 1 /2, отвечающими за уменьшение и увеличение шагасоответственно. Для метода РК4Я результаты даны в таблице 1, где * , * и * –расчетные значения длительной прочности конструкции, деформации ползучести иудельной работы рассеяния в момент разрушения соответственно, – среднее времясчета, ℎ – шаг по аргументу , 1 – задаваемая точность.

При этом, для задачи (3)-(4)может быть найдено точное решение[︀]︀1/(+1)() = * − +1− ( + 1)e0 , () = ()/0 ,(5)*используя которое вычислялись следующие характеристики для относительной по­грешности : m – максимальное значение, med – медиана, av – среднее значе­ние и dev – среднеквадратическое отклонение от среднего значения (см. таблицу 1).Здесь и далее методами ЭЯ и ЭКЯ получены аналогичные расчетные данные.Таблица 1. Расчетные данные для сплава ОТ-40 ,МПа** ,МДж/м398112.71470.88350.77410.586386.578887.237486.179498112.71470.90.78260.688.199888.199588.1987m ,%Постоянный шаг, ℎ = 10−4 ч446.2275 283871.838263.9683 167861.09177.5427 4926.2 2.291Переменный шаг, 1 = 10−4446.2276 1040.3 0.016263.9683 1032.6 0.02377.5427 1020.2 0.017* , ч , мсav ,%med ,%dev ,%4 · 10−75 · 10−73 · 10−63 · 10−93 · 10−96 · 10−109 · 10−47 · 10−40.0036 · 10−67 · 10−66 · 10−63 · 10−139 · 10−139 · 10−133 · 10−43 · 10−43 · 10−4На рис.

1 изображены кривые ползучести для задачи деформирования образцовиз сплава ОТ-4, полученные методом РК4Я при переменном шаге интегрирования сточностью 1 = 10−4 . Точками отмечены экспериментальные данные, полученные подруководством О. В. Соснина. Квадратными маркерами отмечены кривые, соответству­ющие точному аналитическому решению (5). Треугольными маркерами отмечены при­ближенные решения задачи (3)-(4). При постоянном шаге интегрирования полученыаналогичные кривые ползучести.Применение явных методов численного решения задачи Коши с постояннымшагом интегрирования для расчета длительной прочности прямоугольных образцовиз титанового сплава может требовать значительных вычислительных ресурсов.

Приэтом, постоянный шаг позволяет получить решение высокой точности вне некоторойокрестности ПОТ, но не дает возможности близко подойти к ней. Более рациональ­ным является применение переменного шага интегрирования с оценкой локальной по­грешности в каждой точке по методу РРР, который в большинстве случаев позволяетсущественно уменьшить вычислительные затраты, а также дает возможность полу­чить решения заданной точности и близко подойти к ПОТ. Применения специальныхметодов решения плохо обусловленных задач Коши не требуется.

Данные выводы под­тверждают также результаты расчета задачи деформирования трубчатых образцов из7нержавеющей стали Х18Н10Т под действием постоянной одноосной растягивающей на­грузки при температуре = 850 ∘ C в условиях ползучести *.Рис. 1. Кривые ползучести для сплава ОТ-4Во второй части главы рассмотрены задачи Коши для систем ОДУ с двумяПОТ.

Примером является задача одноосного растяжения цилиндрических образцов изстали 45 при постоянных напряжениях 0 и температуре = 850∘ C, определяющиеуравнения для которой записываются в форме системы ОДУ (1) вида† 0 0,(6)= = (1 − +1 ) (1 − +1 )с начальными условиями (2). Материальные константы для системы (6): = 9.967 ·10−19 МПа− с−1 , = 9.689 · 10−17 МПа− с−1 , = 0.849, = 8.1, = 6.97, = 2.83.Задача (6), (2) имеет две ПОТ: в начальный момент времени и при разрушении.Применение явных методов для решения подобных задач малоэффективно. В диссер­тационной работе для решения задачи (6), (2) использовались неявный метод Эйлера(ЭНЯ) и неявный гауссов метод 4 порядка точности (Г4НЯ) ‡ с переменным шагом ин­тегрирования.

Реализация данных методов сопряжена с необходимостью численногорешения систем нелинейных уравнений, что приводит к возникновению ограниченияна шаг ℎ , вид которого для задачи (6), (2) определяетТеорема 1. Для сходимости итерационного процесса метода простых итера­ций решения систем нелинейных уравнений, возникающих при решении задачи (6),(2) неявными методами, достаточно, чтобы шаг ℎ для методов ЭНЯ и Г4НЯ удо­влетворял соответственно неравенствам⃒⃒)︁ (︀(︁)︀−1(0) ⃒ (0) ⃒ℎ < 1, / ⃒2, ⃒ · 0 + 0и(7)*Локощенко А.

М., Шестериков С. А. Методика описания ползучести и длительной прочности при чистом растя­жении // Прикладная механика и техническая физика. – 1980. – №. 3. – С. 155-159.†Горев Б. В., Захарова Т. Э., Клопотов И. Д. К описанию процесса ползучести и разрушения материалов с немо­нотонным изменением деформационно-прочностных свойств // Физическая мезомеханика. – 2002.

– Т. 5. – № 2. –С. 17–22.‡Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгеб­раические задачи. – М.: Мир, 1999. – 685 с.8)︀(0)(0) (︀ −1··+ 0 02,⃒1,⃒]︁ .ℎ < [︁√(︀)︀ ⃒⃒ (0) ⃒⃒⃒ (0) ⃒(0)(0)1/2 · ⃒1, ⃒ · 2, + 1/2 + 3/3 · ⃒2, ⃒ · 1,(8)В таблице 2 даны результаты решения задачи (6), (2), полученные методомГ4НЯ с точностью 1 = 10−4 , где * – расчетное значение параметра поврежденностив момент разрушения.

С использованием точного решения задачи (6), (2){︁}︁1/(+1)[︀]︀ 0 1/(+1)() = 1 − 1 − ( + 1)( + 1) 0 , () =· (),(9) 0вычислена относительная погрешность , обозначения для которой аналогичны ис­пользуемым в таблице 1. Для старта неявных методов необходимо также задать при­ближение для начального момента времени, которое для метода Г4НЯ выбиралось в(0)(0)виде ℎ0 = 3 · 10−7 ч, 0 = 2 · 10−5 , 0 = 4 · 10−5 .Таблица 2. Расчетные данные для стали 450 ,МПа354045*** , ч , мс0.57140.66470.75920.999710.99987.00062.76011.214562.68174.86772.269m ,%79.18687.41891.929av ,%0.1850.1810.2med ,%0.0030.0020.003dev ,%2.4462.532.678На рис. 2 изображены кривые ползучести для задачи одноосного растяженияобразцов из стали 45, полученные методом Г4НЯ при переменном шаге интегрирова­ния с точностью 1 = 10−4 , звездочкой обозначен момент разрушения в эксперименте.Экспериментальные данные получены под руководством Б.

В. Горева.Рис. 2. Кривые ползучести для стали 45Таким образом, для решения задачи расчета длительной прочности образцов изстали 45 необходимо использовать специальные методы решения жестких задач. При­меняемые в диссертационной работе неявные методы позволяют получить решениеданной задачи, но, в связи с необходимостью численного решения систем нелиней­ных уравнений, обладают рядом недостатков. К таковым относятся: необходимостьвыбора начального приближения и обоснования сходимости итерационных процессов,9возникновение ограничения на шаг интегрирования и т. д.