Автореферат (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения), страница 2
Описание файла
Файл "Автореферат" внутри архива находится в папке "Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения". PDF-файл из архива "Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Б. Кузнецова. Адаптация нейросетевого подхода к решению задач ползучести выполнена совместно с А. Н. Васильевым.Программная реализация алгоритмов нейросетевого моделирования в среде Mathcadвыполнена автором диссертации.Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 29 работах, среди которых 6 статей в журналах из перечня ВАК [1-6] и 23 публикации вдругих изданиях, основные из которых [7-11].Объем и структура работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав,заключения и четырех приложений. Полный объем диссертации составляет 176 страниц с 28 рисунками и 56 таблицами. Список литературы содержит 115 наименований.Работа поддержана грантами РФФИ № 13-08-00473-а и № 16-08-00943-а.5Благодарности. Прежде всего автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Евгению Борисовичу Кузнецову за многолетнеевнимание к работе и обсуждение кандидатской диссертации на всех этапах ее создания. Огромную признательность автор выражает Александру Николаевичу Васильеву, советы которого позволили значительно улучшить часть диссертационной работы,посвященную использованию искусственных нейронных сетей. Автор безгранично благодарен своим родителям Галине Владимировне и Сергею Алексеевичу за неоценимуюморальную поддержку, без которой диссертационная работа не была бы завершена.Содержание работыВо введении обосновывается актуальность проводимых исследований, приводится краткий обзор научной литературы по изучаемой проблеме, ставятся цель изадачи работы, формулируются научная новизна и практическая значимость полученных результатов.В первой главе рассмотрено применение традиционных явных и неявных методов решения задачи Коши к расчету моделей, которые описываются плохо обусловленными задачами Коши для систем ОДУ с несколькими ПОТ.
В качестве тестовыхиспользуются задачи расчета ползучести и длительной прочности металлических конструкций при постоянной температуре, которые моделируются уравнениями теорииструктурных параметров Ю. Н. Работнова в форме системы двух ОДУ вида*2 () 1 () =,=(1)Ψ() Ω()с однородными начальными условиями(0) = 0, (0) = 0.(2)Здесь – деформация ползучести, – безразмерный параметр поврежденности, –действующее напряжение, – время, функциональные зависимости, входящие в правые части, определяются по результатам эксперимента.
Параметр поврежденности изменяется от нулевого значения, в случае когда конструкция абсолютно целая, доединицы в момент разрушения.Аналитическое решение задач вида (1)-(2) удается получить крайне редко, поэтому основным инструментом их исследования являются численные методы.В первой части главы рассматривается решение плохо обусловленных начальных задач для систем ОДУ с одной ПОТ. Примером подобных задач является одноосное растяжение плоских образцов из титанового сплава ОТ-4 при постоянных напряжениях 0 и температуре = 500 ∘ C в условиях ползучести.
Для описания даннойзадачи используется конкретизация уравнений (1) в энергетической форме †1 e0e0=·=,=(3)0 0 (* − )(* − )с начальными условиями(0) = 0, (0) = 0.(4)В системе (3) роль параметра поврежденности играет величина удельной работы рассеяния , принимающая в момент разрушения свое критическое значение * . Мате*Работнов Ю. Н.
Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 2014. – 752 с.Соснин О. В. Энергетический вариант ползучести и длительной прочности. Сообщение 1. Ползучесть и разрушениенеупрочняющихся материалов // Проблемы прочности. – 1973. – №. 5. – С. 45-49.†6риальные константы для системы (3) имеют вид: * = 88.2 МДж/м3 , = 3, =0.0357 МПа−1 , = 1023.829 МПа4 · ч−1 .Задача (3)-(4) плохо обусловлена в окрестности момента разрушения, но можетбыть решена явными методами, в качестве которых использовались методы Эйлера(ЭЯ), Эйлера-Коши (ЭКЯ) и Рунге-Кутты 4 порядка точности (РК4Я) с постоянными переменным шагом.
Смена шага проводится по методу Рунге-Ромберга-Ричардсона(РРР) с параметрами 1 и 2 = 1 /2, отвечающими за уменьшение и увеличение шагасоответственно. Для метода РК4Я результаты даны в таблице 1, где * , * и * –расчетные значения длительной прочности конструкции, деформации ползучести иудельной работы рассеяния в момент разрушения соответственно, – среднее времясчета, ℎ – шаг по аргументу , 1 – задаваемая точность.
При этом, для задачи (3)-(4)может быть найдено точное решение[︀]︀1/(+1)() = * − +1− ( + 1)e0 , () = ()/0 ,(5)*используя которое вычислялись следующие характеристики для относительной погрешности : m – максимальное значение, med – медиана, av – среднее значение и dev – среднеквадратическое отклонение от среднего значения (см. таблицу 1).Здесь и далее методами ЭЯ и ЭКЯ получены аналогичные расчетные данные.Таблица 1. Расчетные данные для сплава ОТ-40 ,МПа** ,МДж/м398112.71470.88350.77410.586386.578887.237486.179498112.71470.90.78260.688.199888.199588.1987m ,%Постоянный шаг, ℎ = 10−4 ч446.2275 283871.838263.9683 167861.09177.5427 4926.2 2.291Переменный шаг, 1 = 10−4446.2276 1040.3 0.016263.9683 1032.6 0.02377.5427 1020.2 0.017* , ч , мсav ,%med ,%dev ,%4 · 10−75 · 10−73 · 10−63 · 10−93 · 10−96 · 10−109 · 10−47 · 10−40.0036 · 10−67 · 10−66 · 10−63 · 10−139 · 10−139 · 10−133 · 10−43 · 10−43 · 10−4На рис.
1 изображены кривые ползучести для задачи деформирования образцовиз сплава ОТ-4, полученные методом РК4Я при переменном шаге интегрирования сточностью 1 = 10−4 . Точками отмечены экспериментальные данные, полученные подруководством О. В. Соснина. Квадратными маркерами отмечены кривые, соответствующие точному аналитическому решению (5). Треугольными маркерами отмечены приближенные решения задачи (3)-(4). При постоянном шаге интегрирования полученыаналогичные кривые ползучести.Применение явных методов численного решения задачи Коши с постояннымшагом интегрирования для расчета длительной прочности прямоугольных образцовиз титанового сплава может требовать значительных вычислительных ресурсов.
Приэтом, постоянный шаг позволяет получить решение высокой точности вне некоторойокрестности ПОТ, но не дает возможности близко подойти к ней. Более рациональным является применение переменного шага интегрирования с оценкой локальной погрешности в каждой точке по методу РРР, который в большинстве случаев позволяетсущественно уменьшить вычислительные затраты, а также дает возможность получить решения заданной точности и близко подойти к ПОТ. Применения специальныхметодов решения плохо обусловленных задач Коши не требуется.
Данные выводы подтверждают также результаты расчета задачи деформирования трубчатых образцов из7нержавеющей стали Х18Н10Т под действием постоянной одноосной растягивающей нагрузки при температуре = 850 ∘ C в условиях ползучести *.Рис. 1. Кривые ползучести для сплава ОТ-4Во второй части главы рассмотрены задачи Коши для систем ОДУ с двумяПОТ.
Примером является задача одноосного растяжения цилиндрических образцов изстали 45 при постоянных напряжениях 0 и температуре = 850∘ C, определяющиеуравнения для которой записываются в форме системы ОДУ (1) вида† 0 0,(6)= = (1 − +1 ) (1 − +1 )с начальными условиями (2). Материальные константы для системы (6): = 9.967 ·10−19 МПа− с−1 , = 9.689 · 10−17 МПа− с−1 , = 0.849, = 8.1, = 6.97, = 2.83.Задача (6), (2) имеет две ПОТ: в начальный момент времени и при разрушении.Применение явных методов для решения подобных задач малоэффективно. В диссертационной работе для решения задачи (6), (2) использовались неявный метод Эйлера(ЭНЯ) и неявный гауссов метод 4 порядка точности (Г4НЯ) ‡ с переменным шагом интегрирования.
Реализация данных методов сопряжена с необходимостью численногорешения систем нелинейных уравнений, что приводит к возникновению ограниченияна шаг ℎ , вид которого для задачи (6), (2) определяетТеорема 1. Для сходимости итерационного процесса метода простых итераций решения систем нелинейных уравнений, возникающих при решении задачи (6),(2) неявными методами, достаточно, чтобы шаг ℎ для методов ЭНЯ и Г4НЯ удовлетворял соответственно неравенствам⃒⃒)︁ (︀(︁)︀−1(0) ⃒ (0) ⃒ℎ < 1, / ⃒2, ⃒ · 0 + 0и(7)*Локощенко А.
М., Шестериков С. А. Методика описания ползучести и длительной прочности при чистом растяжении // Прикладная механика и техническая физика. – 1980. – №. 3. – С. 155-159.†Горев Б. В., Захарова Т. Э., Клопотов И. Д. К описанию процесса ползучести и разрушения материалов с немонотонным изменением деформационно-прочностных свойств // Физическая мезомеханика. – 2002.
– Т. 5. – № 2. –С. 17–22.‡Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999. – 685 с.8)︀(0)(0) (︀ −1··+ 0 02,⃒1,⃒]︁ .ℎ < [︁√(︀)︀ ⃒⃒ (0) ⃒⃒⃒ (0) ⃒(0)(0)1/2 · ⃒1, ⃒ · 2, + 1/2 + 3/3 · ⃒2, ⃒ · 1,(8)В таблице 2 даны результаты решения задачи (6), (2), полученные методомГ4НЯ с точностью 1 = 10−4 , где * – расчетное значение параметра поврежденностив момент разрушения.
С использованием точного решения задачи (6), (2){︁}︁1/(+1)[︀]︀ 0 1/(+1)() = 1 − 1 − ( + 1)( + 1) 0 , () =· (),(9) 0вычислена относительная погрешность , обозначения для которой аналогичны используемым в таблице 1. Для старта неявных методов необходимо также задать приближение для начального момента времени, которое для метода Г4НЯ выбиралось в(0)(0)виде ℎ0 = 3 · 10−7 ч, 0 = 2 · 10−5 , 0 = 4 · 10−5 .Таблица 2. Расчетные данные для стали 450 ,МПа354045*** , ч , мс0.57140.66470.75920.999710.99987.00062.76011.214562.68174.86772.269m ,%79.18687.41891.929av ,%0.1850.1810.2med ,%0.0030.0020.003dev ,%2.4462.532.678На рис. 2 изображены кривые ползучести для задачи одноосного растяженияобразцов из стали 45, полученные методом Г4НЯ при переменном шаге интегрирования с точностью 1 = 10−4 , звездочкой обозначен момент разрушения в эксперименте.Экспериментальные данные получены под руководством Б.
В. Горева.Рис. 2. Кривые ползучести для стали 45Таким образом, для решения задачи расчета длительной прочности образцов изстали 45 необходимо использовать специальные методы решения жестких задач. Применяемые в диссертационной работе неявные методы позволяют получить решениеданной задачи, но, в связи с необходимостью численного решения систем нелинейных уравнений, обладают рядом недостатков. К таковым относятся: необходимостьвыбора начального приближения и обоснования сходимости итерационных процессов,9возникновение ограничения на шаг интегрирования и т. д.