Автореферат (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения)

На правах рукописиЛеонов Сергей СергеевичМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧМЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ИЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯСпециальность 05.13.18 —«Математическое моделирование, численные методы и комплексыпрограмм»Авторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква — 2016Работа выполнена на кафедре «Дифференциальные уравнения» Федеральногогосударственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования«Московский авиационный институт (национальный исследовательскийуниверситет)» (МАИ, Московский авиационный институт)Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорКузнецов Евгений БорисовичОфициальные оппоненты: Лопаницын Евгений Анатольевич,доктор физико-математических наук, профессор,профессор центра математического образованияФГБОУ ВО «Московский политехнический уни­верситет»Орлов Игорь Александрович,кандидат физико-математических наук,научный сотрудник лаборатории теории механиз­мов и структуры машин отдела «Механика машини управление машинами» ФГБУН «Институт ма­шиноведения им.

А. А. Благонравова Российскойакадемии наук»Ведущая организация:Федеральное государственное бюджетное учре­ждение науки «Институт прикладной механикиРоссийской академии наук»Защита состоится «16» декабря 2016 года в 12 ч. 00 мин. на заседании диссерта­ционного совета Д 212.125.04 Московского авиационного института по адресу: 125993,Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.СдиссертациейможноознакомитьсявбиблиотекеМосков­скогоавиационногоинститутапоадресу:125993,Москва,А-80,ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4 или на сайте МАИ по ссылке:https://www.mai.ru/events/defence/index.php?ELEMENT_ID=72710Автореферат разослан «»2016 г.Отзывы в 2-х экземплярах, заверенные печатью, просим отправлять по адресу:125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Ученый совет МАИ.Ученый секретарь диссертационногосовета Д 212.125.04, кандидатфизико-математических наук, доцентСеверинаНаталья СергеевнаОбщая характеристика работыАктуальность темы. Многие задачи физики и механики моделируются пло­хо обусловленными задачами Коши для систем обыкновенных дифференциальныхуравнений (ОДУ) с несколькими предельными особыми точками (ПОТ), в которыхправые части уравнений системы теряют смысл.

Явные методы для решения такихзадач могут оказаться малоэффективными. Методы же решения жестких задач наоснове неявных схем, разрабатываемые такими учеными как Ракитский Е. В., Ару­шанян О. Б., Калиткин Н. Н., Скворцов Л. М., Новиков Е. А., Демидов Г. В., БулатовМ. В., Лебедев В. И., Gear C. W., Rosenbrock H. H., Lambert J. D., Wanner G., Hairer E.,Campbell S. L. и др., имеют ряд недостатков, связанных с решением систем нелинейныхуравнений, возникающих при реализации неявных схем. Поэтому разработка новыхчисленных методов решения плохо обусловленных задач является актуальной.Одним из наиболее эффективных подходов к решению плохо обусловленных на­чальных задач для систем ОДУ является метод продолжения решения по наилучшемупараметру *, отсчитываемому вдоль интегральной кривой рассматриваемой задачи. Си­стематическое развитие данный метод получил в работах Григолюка Э.

И., Шалаши­лина В. И., Кузнецова Е. Б. и их учеников, ими показана эффективность наилучшейпараметризации при решении широкого класса плохо обусловленных задач. Такжепараметризацию в своих работах использовали Калиткин Н. Н., Лопаницын Е. А., Га­врюшин С. С., Карпов В. В., Семенов А. А., Riks E., Crisfield A. E. и др.В диссертационной работе разрабатываются новые методы численного решенияплохо обусловленных задач Коши для систем ОДУ с несколькими ПОТ, использующиепродолжение решения по параметру.

В качестве приложения предложенных методоврассматриваются тестовые задачи расчета длительной прочности металлических кон­струкций в условиях ползучести †. Для моделирования процесса ползучести вплотьдо разрушения применяется использующий понятие параметра поврежденности кине­тический подход (Работнов Ю. Н., Качанов Л. М., Шестериков С.

А., Соснин О. В.,Локощенко А. М., Никитенко А. Ф., Горев Б. В., Хажинский Г. М., Hayhurst D. R.,Altenbach H., Krajcinovic D., Trampczynski W., Betten J. и др.).Характерной чертой моделирования процесса ползучести является то, чтоопределяющие уравнения, используемые для описания данного процесса, содержатнесколько материальных констант, которые необходимо определять на основании ин­формации о протекании процесса деформирования, главным источником которой яв­ляется эксперимент. Кроме того, значения материальные константы зависят от многихфакторов, включающих температуру и уровень нагружения, что существенно услож­няет процесс их определения. В качестве нового подхода к идентификации моделейползучести предложен метод, основанный на применении нейросетевой методологии,разрабатываемой Васильевым А.

Н. и Тарховым Д. А.‡Целью работы является создание новых эффективных методов численного ре­шения плохо обусловленных задач Коши для систем ОДУ с несколькими ПОТ, а такжеметодов построения моделей, описываемых такими начальными задачами.Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:*Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация вприкладной математике и механике. – М.: Эдиториал УРСС, 1999. – 224 с.†Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 2014. – 752 с.‡Васильев А. Н., Тархов Д.

А. Нейросетевое моделирование. Принципы. Алгоритмы. Приложения. – СПб.: Изд-воСПбГПУ, 2009. – 528 с.31. В рамках метода продолжения решения по параметру разработать подход кчисленному решению плохо обусловленных начальных задач.2. Указать преимущества использования метода продолжения решения по па­раметру к решению плохо обусловленных начальных задач по сравнению с традици­онными методами численного интегрирования задачи Коши.3. Разработать метод, использующий алгоритмы нейросетевого моделирования,для идентификации моделей, описываемых плохо обусловленными задачами Коши соскалярными параметрами, и расчета недоопределенных граничных задач.4. Апробировать разработанные методы на тестовых задачах расчета длитель­ной прочности металлических конструкций в условиях ползучести.Методы исследования. Для решения задачи Коши в работе применяютсятрадиционные явные и неявные методы, а также метод продолжения решения по па­раметру.

Для идентификации моделей и решения недоопределенных граничных задачиспользуются искусственные нейронные сети. Для моделирования рассматриваемыхв диссертационной работе тестовых задач ползучести применяются уравнения кинети­ческой теории.Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новыерезультаты:1. Рассмотрено применение метода продолжения решения по параметру, в томчисле и наилучшему, к расчету моделей, описывающих деформирование элементовконструкций в условиях ползучести при разных температурно-силовых воздействиях.2. Для решения плохо обусловленных задач Коши предложен новый аргументпродолжения решения, названный модифицированным наилучшим, для которого опре­делено отклонение направления отсчета по отношению к наилучшему, позволяющееоценивать обусловленность параметризованных им задач.

Доказана единственностьнаилучшего аргумента в классе модифицированных аргументов продолжения специ­ального вида, используемых для задач ползучести.3. Разработан метод идентификации моделей ползучести по результатам экспе­римента, комбинирующий возможности нейросетевого моделирования и продолжениерешения по параметру.Научная и практическая значимость полученных в диссертационной ра­боте результатов состоит в следующем:1. Применение наилучшей параметризации к решению плохо обусловленныхзадач Коши для систем ОДУ с двумя ПОТ позволяет упростить процесс вычисления,существенно уменьшить время счета и погрешность решения по сравнению с другимиметодами.

При этом, для реализации метода продолжения по параметру не требуетсясущественных затрат, что способствует его быстрому внедрению.2. Модифицированный аргумент продолжения решения позволяет при расчетеболее гибко учитывать особенности конкретной задачи, что дает возможность полу­чать более удобный вид параметризованной задачи с необходимыми свойствами и ещебольше сократить время счета.3. Предложенный нейросетевой подход к идентификации моделей не зависит отвида используемых уравнений, что делает его применимым для широкого класса задачи на практике позволяет получить более точное согласование экспериментальных ирасчетных данных.4.

По результатам проводимых в диссертации исследований разработан ком­плекс программ «Численное решение задачи Коши. Метод наилучшей парамет­4ризации» (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ№ 2016613378), который может быть использован для решения практических задач.Достоверность полученных результатов обеспечивается: 1) строгим использо­ванием классических механических концепций и адекватного математического аппара­та, 2) удовлетворительным согласованием полученных расчетных данных с точнымианалитическими решениями рассматриваемых задач, а также опубликованными рас­четными и экспериментальными результатами других авторов.Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы доклады­вались и обсуждались на следующих научных конференциях, симпозиумах и конкур­сах: 1) XVIII и XIX международных конференциях по вычислительной механике исовременным прикладным программным системам (Алушта, 2013 и 2015), 2) IV меж­дународной научной конференции «Фундаментальные проблемы системной безопасно­сти и устойчивости» (Москва, 2013), 3) 12-ой и 13-ой международных конференциях«Авиация и космонавтика» (Москва, 2013 и 2014), 4) конкурсе научно-технических ра­бот и проектов «Молодежь и будущее авиации и космонавтики» (Москва, 2013), 5) XXи XXI международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы ме­ханики конструкций и сплошных сред» им.

А. Г. Горшкова (Кременки, 2014 и 2015), 6)X и XI международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях(Алушта, 2014 и 2016), 7) VIII всероссийской конференции по механике деформируе­мого твердого тела (Чебоксары, 2014), 8) международной конференции «Успехи меха­ники сплошных сред» (Владивосток, 2014), 9) московской молодежной научно-прак­тической конференции «Инновации в авиации и космонавтике» (Москва, 2015), 10)XI всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и приклад­ной механики (Казань, 2015), 11) XXVI международной конференции «Математиче­ское и компьютерное моделирование в механике деформируемых сред и конструкций»(Санкт-Петербург, 2015), 12) International Simposium «Mathematics of XXI Centure &Netural Science» (St.

Petersburg, 2015), 13) X юбилейной международной научно-прак­тической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образова­ние» (Москва, 2015), 14) Thirteenth International Symposium on Neural Networks (St.Petersburg, 2016).Личный вклад. Автору принадлежат формулировки и доказательства основ­ных теоретических результатов, представленных в диссертационной работе. Такжеавтором реализованы используемые численные методы решения задачи Коши в сре­де Matlab, проведены численные эксперименты и выполнен анализ полученных рас­четных данных. Выбор численных методов расчета, круга рассматриваемых задач иразработка алгоритма применения метода продолжения решения по параметру длязадач ползучести проводились под руководством Е.